初中数学湘教版九年级下册1.2 二次函数的图像与性质教案设计

这是一份初中数学湘教版九年级下册1.2 二次函数的图像与性质教案设计，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，B两点．，板书设计等内容，欢迎下载使用。




1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；


2．会用配方法或公式法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握其性质；(重点)


3．二次函数性质的综合应用．(难点)





一、情境导入


火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？





二、合作探究


探究点一：化二次函数y＝ax2＋bx＋c为y＝a(x－h)2＋k的形式


把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则( )


A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3


C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21


解析：y＝x2－3x＋5化为顶点式为y＝(x－eq \f(3,2))2＋eq \f(11,4).将y＝(x－eq \f(3,2))2＋eq \f(11,4)向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为y＝x2＋bx＋c.则y＝x2＋bx＋c＝(x＋eq \f(3,2))2＋eq \f(19,4)，化简后得y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故选A.


方法总结：二次函数由一般式化为顶点式，平移时遵循“左正右负，上正下负”，逆向推理则相反．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题


探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质


【类型一】 二次函数与一次函数图象的综合


在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )





解析：A、B中由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(2,2m)＝－eq \f(1,m)＞0，则对称轴应在y轴右侧，故A、B选项错误；C中由函数y＝mx＋m的图象可知m＞0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(2,2m)＝－eq \f(1,m)＜0，则对称轴应在y轴左侧，故C选项错误；D中由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(2,2m)＝－eq \f(1,m)＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．故选D.


方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．


【类型二】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质


若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )


A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3


C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2


解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝2.∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.故选C.


方法总结：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第3题


【类型三】 二次函数图象的位置与各项系数符号的关系


已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－eq \f(b,2a)＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________．


解析：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c＞0，对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，∴abc＜0；∵对称轴在y轴右侧，对称轴为－eq \f(b,2a)＞0；由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③④都正确．


方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题


【类型四】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值


已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )


A．3 B．－1 C．4 D．4或－1


解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝eq \f(4ac－b2,4a)＝eq \f(4a（a－1）－42,4a)＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.


方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题


探究点三：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与几何图形的综合应用


如图，已知二次函数y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点．


(1)求这个二次函数的解析式；


(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．





解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2＋2b＋c＝0，,c＝－6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝－6.))


∴这个二次函数的解析式为y＝－eq \f(1,2)x2＋4x－6；


(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－eq \f(4,2×（－\f(1,2)）)＝4，


∴点C的坐标为(4，0)，


∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，


∴S△ABC＝eq \f(1,2)×AC×OB＝eq \f(1,2)×2×6＝6.


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题


三、板书设计








本节课所学的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质可以看作是y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律.