初中数学湘教版九年级下册1.2 二次函数的图像与性质第3课时教学设计

这是一份初中数学湘教版九年级下册1.2 二次函数的图像与性质第3课时教学设计，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。




1．会用描点法画出y＝a(x－h)2的图象；


2．掌握形如y＝a(x－h)2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)


3．理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的联系．(难点)





一、情境导入


涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？





二、合作探究


探究点一：二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质


【类型一】 y＝a(x－h)2的顶点坐标


已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值．


解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴a(－4＋2)2＝2.∴a＝eq \f(1,2).


方法总结：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题


【类型二】 二次函数y＝a(x－h)2图象的形状


顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－eq \f(1,2)x2的图象相同的抛物线的解析式为( )


A．y＝eq \f(1,2)(x－2)2 B．y＝eq \f(1,2)(x＋2)2


C．y＝－eq \f(1,2)(x＋2)2 D．y＝－eq \f(1,2)(x－2)2


解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x－h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝－eq \f(1,2)x2的图象相同，所以a＝－eq \f(1,2)，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h＝－2，把a＝－eq \f(1,2)，h＝－2代入y＝a(x－h)2得y＝－eq \f(1,2)(x＋2)2.故选C.


方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题


【类型三】 二次函数y＝a(x－h)2的增减性及最值


对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )


A．y随x的增大而增大


B．当x＞0时，y随x的增大而增大


C．当x＝－1时，y有最小值0


D．当x＞1时，y随x的增大而增大


解析：因为a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h＝1，顶点坐标为(1，0)，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D.


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题


探究点二：二次函数y＝a(x－h)2图象的平移


【类型一】 利用平移确定y＝a(x－h)2的解析式


抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．


解析：y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．


解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝eq \f(1,4)，∴平移后二次函数关系式为y＝eq \f(1,4)(x－3)2.


方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题


【类型二】 确定y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系


向左或向右平移函数y＝－eq \f(1,2)x2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．


解：能，理由如下：


设平移后的函数为y＝－eq \f(1,2)(x－h)2，


将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－eq \f(1,2)(－9－h)2，


所以h＝－5或h＝－13，


所以平移后的函数为y＝－eq \f(1,2)(x＋5)2或y＝－eq \f(1,2)(x＋13)2.


即抛物线的顶点坐标为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题


探究点三：二次函数y＝a(x－h)2与几何图形的综合


把函数y＝eq \f(1,2)x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．


解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点坐标，最后求△ABC的面积．


解：平移后的函数为y＝eq \f(1,2)(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，OC＝4.


解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)（x－4）2，,y＝x，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝8.))


∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8)，∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝eq \f(1,2)×4×8－eq \f(1,2)×4×2＝12.


方法总结：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题


三、板书设计








通过本节学习使学生认识到y＝a(x－h)2的图象是由y＝ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a，h对y＝a(x－h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左、向右平移，从中领会数形结合的数学思想.