初中数学湘教版九年级下册2.5 直线与圆的位置关系教案设计

这是一份初中数学湘教版九年级下册2.5 直线与圆的位置关系教案设计，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

2．5.1 直线与圆的位置关系





1．了解直线和圆的不同位置关系及相关概念；(重点)


2．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．(难点)





一、情境导入


你看过日出吗，如果把海平面看做一条直线，太阳看做一个圆，在日出过程中，二者会出现几种位置关系呢？如图，二者是什么关系呢？





二、合作探究


探究点一：直线与圆的位置关系


【类型一】 根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系


已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP＝5，直线l与⊙O的位置关系是( )


A．相切 B．相交


C．相离 D．相切或相交


解析：我们考虑圆心到直线l的距离，如果距离大于半径，则直线l与⊙O的位置关系是相离；若距离等于半径，则直线l与⊙O相切；若距离小于半径，则直线l与⊙O相交．分两种情况讨论：(1)OP⊥直线l，则圆心到直线l的距离为5，此时直线l与⊙O相切；(2)若OP与直线l不垂直，则圆心到直线的距离小于5，此时直线l与⊙O相交．所以本题选D.


方法总结：判断直线与圆的位置关系，主要看该圆心到直线的距离，所以要判断直线与圆的位置关系，我们先确定圆心到直线的距离．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题


【类型二】 坐标系内直线与圆的位置关系的应用








如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为( )


A．(－1，－2) B．(1，2)


C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)





解析：过点A作AQ⊥MN于Q，连接AN.设半径为r，由垂径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r.利用勾股定理可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．故选A.


方法总结：在圆中如果有弦要求线段的长度，通常要将经过圆心的半径画出，利用垂径定理和勾股定理解决问题．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题


【类型三】 由直线与圆的位置关系确定圆心到直线的距离


已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是________．


解析：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离，所以圆心到直线的距离大于圆的半径．故答案为d＞5.


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题


探究点二：直线与圆的位置关系的应用


如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.动点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2.


(1)若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB有怎样的位置关系？


(2)当OC等于多少时，⊙O与直线AB相切？





解析：(1)当圆心O与点C重合时，根据勾股定理求AB的长，利用“面积法”求点C到AB的距离，再与半径比较即可判断直线与圆的位置关系；


(2)作ON⊥AB，使ON＝2，利用相似三角形的性质可求此时OC的长．





解：(1)作CM⊥AB，垂足为M.在Rt△ABC中，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(32＋42)＝5.∵eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·CM，∴CM＝eq \f(12,5).∵eq \f(12,5)>2，∴⊙O与直线AB相离；


(2)如图，设⊙O与AB相切，切点为N，连接ON，则ON⊥AB，∴ON∥CM.∴△AON∽△ACM，∴eq \f(AO,AC)＝eq \f(NO,CM).设OC＝x，则AO＝3－x，∴eq \f(3－x,3)＝eq \f(2,\f(12,5))，∴x＝0.5.∴当CO＝0.5时，⊙O与直线AB相切．


方法总结：本题考查的是直线与圆的位置关系的判断与性质，解决此类问题可通过比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小关系来解题．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题


三、板书设计








教学过程中，强调学生从实际生活中感受，体会直线与圆的几种位置关系，并会用数学语言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程.