辽宁省沈阳市郊联体2021届高三上学期期中考试 数学(含答案)

沈阳市郊联体2021届高三上学期期中考试

数学

考试时间：120分钟  试卷总分：150分

注意事项：

本试卷由第I卷和第II卷两部分组成。第I卷和第II卷选择题部分，一律用2B铅笔按题号依次填涂在答题卡上；第I卷和第II卷非选择题部分，按要求答在答题卡相应位置上。

一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合A＝{－2，－1，0，1，2)，B＝{x|log2x<2}，则A∩B＝

A.{2}     B.{1，2}     C.{0，1，2}     D.(－2，－1，0，1，2)

2.若复数z＝(m＋1)＋(2－m)i(m∈R)是纯虚数，则＝

A.     B.3     C.5     D.3

3.在△ABC中，能使sinA>成立的充分不必要条件是

A.(0，)     B.(，)     C.(，)     D.(，)

4.边长为6的等边△ABC中，D是线段BC上的点，BD＝4，则＝

A.48     B.30     C.24     D.12

5.已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a5＋a7＋a9＝

A.21     B.42     C.63     D.84

6.函数f(x)＝cosx·ln(－x)(－2≤x≤2)的图象大致为

7.己知f(x)＝1－是定义域为R的奇函数，且对任意实数x，都有f(x2－mx＋2)>，则m的取值范围是

A.m>2     B.0<m<2     C.－4<m<4     D.－2<m<2

8.已知曲线C：y＝，P为曲线C上任意一点，设曲线C在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是

A.[，π)     B.[，)     C.(，]     D.(0，]

二、多项选择题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9.下列说法中正确的有

A.存在a，使得不等式a＋≤2成立     B.不等式a＋b≥2恒成立

C.若a，b∈(0，＋∞)，则≥2      D.若正实数x，y满足x＋2y＝1，则≥8

10.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则

A.该函数的解析式为y＝2sin(x＋)

B.该函数的单调递增区间是[3kπ－，3kπ＋]，k∈z

C.该函数的对称中心为(kπ－，0)，k∈z

D.把函数y＝2sin(x＋)的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变可得到该函数图象

11.已知平面向量，，满足||＝||＝||＝1.若·＝，则(－)·(2－)的值可能为

A.3－     B.－2     C.0     D.－

12.已知函数f(x)＝，若函数F(x)＝f(x)－ax有4个零点，则a的可能的值为

A.     B.     C.     D.

第II卷(共90分)

三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题纸上。)

13.已知，，其中，是互相垂直的单位向量，则|－2|＝         。

14.等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S3＝6，则数列的前50项的和为：         。

15.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0，1)时，f(x)＝2x－1，则f()的值等于         。

16.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了。造化钟神秀，阴阳割昏晓，荡胸生层云，决毗入归鸟。会当凌绝顶，一览众山小。”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”。在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等。如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A，B，C，D在同一水平面内)，则A，D间的距离为         。

四、解答题：(满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置)

17.(本小题满分10分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c。

(1)求C：

(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长。

18.(本小题满分12分)

已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8。

(I)求{bn}与{an}的通项公式；

(II)若{bn}中去掉{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20项和。

19.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝sinωx，ω>0。

(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)＝的解集；

(2)已物ω＝1，，x∈[0，]，求g(x)的值域。

20.(本小题满分12分)

己知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3·2n＋1。

(1)设bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝。

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；

(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0。

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝x2lnx－ax3－x2。

(1)若函数y＝f(x)在定义域上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)设函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证：ln(x1x2)>4。

2020---2021学年度上学期沈阳市郊联体期中考试题

高三数学答案

一、选择题：

B A B C D    C D A

    二、多项选择题：

ACD   ABD   BCD   CD

三、填空题：

13、     14、    15、-0.75  16、km

四、解答题：

17、（本题满分10分）

解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0

已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，

整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，

即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC

2cosCsinC=sinC

∴cosC=，……………3分

∵0＜c＜π

∴C=；……………5分

（2）因为△ABC的面积S＝＝＝，

所以ab＝6，…………7分

由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣3ab＝7，

所以a+b＝5…………9分

△ABC的周长a+b+c＝．…………10分

18、（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵，

∴当n≥2且n∈N*时bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2n．…………2分

又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n．…………3分

∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，

∴等比数列{an}的公比为2，

∴．…………6分

（Ⅱ）∵a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，b25＝50，

∴c1+c2+…+c20＝（b1+b2+…+b25）﹣（a1+a2+…+a5）…………9分

＝＝＝650﹣62＝588．

…………12分

19、（本题满分12分）

解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω＝，…………1分

所以f（x）＝sin．

令sin，故或，…………3分

整理得或．…………4分

故解集为{x|或，k∈Z}．…………5分

（2）由于ω＝1，

所以f（x）＝sinx．

所以g（x）＝

＝＝﹣

＝﹣sin（2x+）．…………8分

由于x∈[0，]，

所以．

，

故，…………10分

故．

所以函数g（x）的值域为[﹣．…………12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）证明：将两边同时除以2n+1得，，……3分

即bn+1﹣bn＝3，

又a1＝2，故数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列…………4分

得bn＝3n﹣2，即．…………6分

（2）Sn＝1•2+4•22+…+（3n﹣2）•2n，①

则2Sn＝1•22+4•23+…+（3n﹣2）•2n+1，②…………7分

①②相减得﹣Sn＝2+3（22+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1…………8分

＝2+3•﹣（3n﹣2）•2n+1，…………10分

化简得．…………12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）＝﹣．

∴f′（0）＝2，即曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k＝2，…………2分

∴曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）＝2x．

即2x﹣y﹣1＝0为所求．…………4分

（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，

可得＝﹣．…………5分

令f′（x）＝0，可得，

当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．

∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，…………7分

注意到a≥1时，函数g（x）＝ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）＝4a+1＞0

函数f（x）的图象如下：

∵a≥1，∴，则≥﹣e，…………11分

∴f（x）≥﹣e，

∴当a≥1时，f（x）+e≥0．…………12分

22、（本题满分12分）

解：（1）由题意得f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，

∵f′（x）＝2xlnx+x﹣ax2﹣3x＝x（2lnx﹣ax﹣2），

∴2lnx﹣2﹣ax≤0在（0，+∞）恒成立，…………1分

即a≥在（0，+∞）上恒成立，

令g（x）＝，则g′（x）＝，…………2分

∴当x∈（0，e2）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）递增，

当x∈（e2，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）递减，

故当x＝e2时，函数g（x）有极大值，也是最大值，…………3分

故a≥g（e2）＝，

故实数a的取值范围是[，+∞）；…………4分

（2）证明：由（1）知，f′（x）＝x（2lnx﹣ax﹣2），

则，故2ln（x1x2）＝a（x1+x2）+4，

2ln＝a（x1﹣x2），…………6分

故2ln（x1x2）＝（x1+x2）+4，…………7分

∵x1≠x2，∴令x1＞x2，＝t，…………8分

则ln（x1x2）＝lnt+2，

令h（t）＝lnt+2，（t＞1），

要证h（t）＞4在（1，+∞）上恒成立，

即证（t+1）lnt﹣2t+2＞0，…………9分

令F（t）＝（t+1）lnt﹣2t+2，则F′（t）＝lnt+﹣1，

则F″（t）＝﹣＝＞0，

故F′（t）在（1，+∞）递增，…………11分

∴F′（t）＞F′（1）＝0，F（t）在（1，+∞）递增，

从而F（t）＞F（1）＝0，

即原不等式成立．…………12分