湖南省衡阳一中2021届上学期第二次月考 数学（含答案） 试卷

衡阳一中2021届上学期第二次月考数学试题（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，若有2个子集，则不可能为（    ）A.0            B.1               C.2                D.42.已知实数，，满足，且，则下列不等式中正确的是（  ）A.        B.         C.        D.3.已知函数，则 的值为(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是(      )A． B．C． D．5.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为(      )（参考数据 ln19≈3）A．60     B． 62     C．66       D．63 6.对于函数，把满足的实数叫做函数的不动点。设，若有两个不动点，则实数的取值范围是  A.        B.            C.            D.7.若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是（      ）A．         B．          C.          D．8.奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（    ）A．                        B． C．               D．二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列选下选项中，值为的是（      ）A．cos 72°cos 36°               B．   ＋.  C．sinsin                  D．；10．某同学在研究函数时，给出下面几个结论中正确的有(    )A．的图象关于原点对称 B．若，则C．的值域为 D．函数仅有一个零点11．设，且，那么（    ）A．有最小值 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值12.设函数，则下列说法正确的是(        )A．定义域是（0，+）          B．∈（0，1）时，图象位于轴下方C．存在单调递增区间             D．有且仅有一个极值点三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知 为自然常数，则函数的零点为             14.已知，则＝               15.已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围是              16.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是               四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足________________，且，求的面积.18.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1＝1，Sn＋1－1＝Sn＋an，数列{bn}为等比数列，满足b1＝4b3，b2＝<b1，n∈N*。(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列的前n项和为Wn，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Wn与的大小。19．（本小题满分12分）如图，正方体的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱上的动点．（1）点Q在何位置时，直线，DC，AP交于一点，并说明理由；（2）求三棱锥的体积；（3）棱上是否存在动点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在指出点Q在棱上的位置，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求这300名员工日行步数（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数（单位：千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2，根据该正态分布估计该企业被抽取的300名员工中日行步数的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额（单位：元）的分布列和数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，，.21．（本小题满分12分） 已知椭圆的左，右焦点分别为，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于点在椭圆左顶点的左侧）且，22（本小题满分12分）已知函数   ()。(1)设函数，求函数的单调区间；(2)若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围。        
1.【答案】C2.【解析】且，则，.所以.故选B.3. 【答案】C已知函数，则 的值为(  C   )4.【答案】A【解析】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，所以 的周期为， 则， 所以，由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选：A.5. 【答案】D【解析】，所以，所以，解得   故选：D． 6.  【答案】B 7. 【答案】A【解析】设切点为，则有，，，故选A.8. 【答案】D【解析】令，则当时，，所以当时，函数单调递减， 又为奇函数，所以函数为偶函数， 而当时，不等式等价于，即，所以，根据偶函数性质得到，故选D．三．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.【答案】A，C【解析】对于A中cos 36°cos 72°＝＝＝＝.对于B中原式＝＝＝＝＝4.对于C中sin sin ＝sin cos ＝＝＝.对于D中=，故选A，C。.10．【答案】ABCD【解析】函数的定义域为全体实数，，所以是奇函数，图象关于原点对称，.选项A：由上分析函数关于原点对称，本选项是正确的；选项B：当时，，显然函数单调递增，此时；当时，，显然函数单调递增，此时，因此函数在整个实数集上是单调递增的，因此若，则是正确的，本选项是正确的；选项C：由选项B的分析可以知道本选项是正确的；选项D：，只有一个零点，D正确，故选ABCD11． 【答案】AD解：①由题已知得：,故有,解得或（舍）,即（当且仅当时取等号）,A正确;②因为,所以,又因为,   有最小值,D正确.故选：AD12.BCD【解析】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；由，当时，，∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；   ，所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D正确；故选BCD．三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.     114.解析：由sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，两式平方相加，得2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，整理得sin(α＋β)＝－.15. 【解析】根据函数对于任意，都有，可得函数在区间为单调递减函数，由，可得函数为偶函数，图象关于轴对称，所以函数在区间为单调递增函数，当时，函数，可得，根据函数在区间为单调递增函数，可得在上恒成立，即在上恒成立，可转化为在上恒成立，令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，解得，即实数的取值范围是.16.【解析】根据题设可知，当时，，故，同理可得：在区间上，，所以当时，.作函数的图象，如图所示.在上，由，得.由图象可知当时，.. 五、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】横线处任填一个都可以，面积为．【解析1】（1)在横线上填写“”.解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又所以.又，得.由余弦定理及，得，即.将代入，解得.所以.【解析2】在横线上填写“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因为，所以.从而有.又，所以由余弦定理及，得即.将代入，解得.所以.【解析3】在横线上填写“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.将代入，解得.所以.18.【解】　(1)由Sn＋1－1＝Sn＋an，得Sn＋1－Sn＝an＋1，即an＋1－an＝1，又a1＝1，所以数列{an}是首项和公差均为1的等差数列，可得an＝n。因为数列{bn}为等比数列，满足b1＝4b3，b2＝<b1，n∈N*，所以设公比为q，可得b1＝4b1q2，所以q＝±，当q＝时，b1＝，可得b1＝>。当q＝－时，－b1＝，得b1＝－，不满足b2<b1，舍去，所以bn＝。(2)＝＝－，Wn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，Tn＝1－， 此时易知：当时，当时，，即有19．【解】（1）当Q是中点时,直线,DC,AP交于一点．理由如下：延长AP交DC于M,连结交于点Q,∵,∴,∴．∵,∴,∴．∴Q是中点．（2）V棱锥棱锥．（3）以D为原点,DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建系则,,,,,,设面的法向量为,则取,,即设与面所成角为则化简得解得或（舍去）  所以存在点Q,且点Q为的中点时可使得与平面所成角的正弦值为。20．【解】（1）    由题意有 （千步）（2）由，由（1）得所以所以300名员工中日行步数的人数：.(3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：.每人获得奖金额为100元的概率为：每人获得奖金额为200元的概率为：的取值为0，100，200,300,400.          所以的分布列为：01002003004000.00040.03520.77840.1760.01 （元）21．【解】  （1）椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的离心率为，即有，即，，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为，直线与圆相切，则有，即有，则椭圆C的方程为；（2）证明：设，由，可得直线和关于x轴对称即有，即，即有，①设直线，代入椭圆方程，可得，判别式，即为②，③，代入①可得，，将③代入，化简可得，则直线的方程为，即．即有直线恒过定点．将代入②，可得，解得或则直线的斜率的取值范围是．22.【解】(1)，定义域为，，①当，即时，令，∵，∴；令，∵，∴，②当，即时，恒成立，综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增；(2)由题意可知在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值，由第(1)问可知：①当，即时，在上单调递减，∴，∴，又∵，∴，②当，即时，在上单调递增，∴，，③当，即时，∴，∵，，，此时不存在使成立，综上可得所求的范围是：或。