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福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考 数学（含答案） 试卷
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2020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷高中三年数学科试卷命题学校：永泰一中 命题教师：审核教师：考试日期：11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150 分一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（ ）A． B． C． D． 2．已知：“函数在上是增函数”，：“”，则是的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．4．右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ） A．直线与直线平行 B．直线与直线相交C．直线与直线异面且垂直 D．直线与直线异面且所成的角为60°5．记为正项等比数列的前项和，若，则（ ）．A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为（ ）A．36 B．16 C．8 D．47．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数的图象（ ）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称8．已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9．已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（ ）A． B．C．复数的实部为 D．复数对应复平面上的点在第二象限10．已知，如下四个结论正确的是（ ）A．； B．四边形为平行四边形；C．与夹角的余弦值为； D．11．在中，角A，B，C的对边分别是 a，b，c， 若 ，，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．的面积为612．已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（ ）A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为B．无论点在上怎么运动，都有C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若，则________． 14．已知数列的前项和，则__________．15．在三棱锥中，垂直平面，，，则三棱锥外接球的表面积为_________ .16．函数满足，当时，，若有个不同的实数解，则实数的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分10分）已知是数列的前项和，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和. 18．（本小题满分12分）在① ，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的角，，对边分别为，，而且______．（1）求；（2）求周长的范围． 19．（本小题满分12分）已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求二面角的余弦值. 20．（本小题满分12分）如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为，C、D两点在半圆弧上满足，设，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由和组成．（1）若，求观光通道l的长度；（2）用表示观光通道的长l，并求观光通道l的最大值； 21．（本小题满分12分）已知函数的极值为.（1）求的值并求函数在处的切线方程；（2）已知函数，存在，使得成立，求得最大值。 22．（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若不等式在时恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：.
2020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷高中三年数学科试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5: B A C DD 6-8: C A B二、选择题题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9.BD 10.BD 11.ABD 12.ABD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16. 四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分10分）解：（1）因为，所以. 相减得， 2分所以， 所以. 又，解得， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即的通项公式为. 5分（2）由（1）可得. 8分所以. 10分18．（本小题满分12分）解：(1)选①:由正弦定理得即： 2分因为 3分因为 4分选②:由正弦定理得因为 2分因为，所以， 3分因为 4分选③:因为,所以,即, 2分所以, 3分因为,所以; 4分(2)由(1)可知:,在中,由余弦定理得,即, 6分所以, 所以,当且仅当时等号成立, 10分所以,即周长的最大值为. 又因为，所以周长的取值范围为 12分19．（本小题满分12分）解：（1）在图①中，连接，如图所示：因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.因为为的中点，所以，. 2分又，所以.在图②中，，所以，即.因为，所以，. 4分又，，平面.所以平面. 5分又平面，所以平面平面. 6分（2）由（1）知，，.因为，，平面.所以平面.以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，.因为为的中点，所以.所以，. 8分设平面的一个法向量为，由得.令，得.设平面BDA的一个法向量为.因为，由 得令 得 10分设二面角的大小为，由题意知该二面角为锐角.则.所以二面角的余弦值为. 12分若有其他解法，可酌情给分！20．（本小题满分12分）（1）因为 所以 1分在中，利用余弦定理可得所以 2分同理 3分所以观光通道长 4分（2）作，垂足为E，在直角三角形中，，则有， 6分同理作，垂足为F，，即：， 8分从而有： 10分因为，所以当时，l取最大值5，即观光通道长l的最大值为． 12分若有其他解法，可酌情给分！21．（本小题满分12分）解：（1）定义域为R因为 1分若则在R上单调递增，无极值，不合题意，舍去 2分若则令得所以解得 3分经检验，符合题意。 因为切线斜率又因为所以切点为所以切线方程为：即切线方程为： 5分（2）因为存在，使得成立则 即即即即 （*） 6分由（1）得所以在区间上单调递减，在区间上单调递增 7分因为，所以，所以即且所以存在使得所以存在使得 即 令 所以 9分因为得所以在区间上单调递增，在区间单调递减所以的最大值为所以又因为，所以 11分所以m的最大值为 12分若有其他解法，可酌情给分！22．（本小题满分12分）解：（1）因为 所以所以在区间上单调递减；在区间上单调递增 3分（2）求导数可得，当时，，函数在上单调递增；当时，由可得，函数在上单调递增，在上单调递减； 5分①当时，函数在上单调递增，，即不等式在时恒成立，②当时，函数在上单调递减，存在使得，所以不合题意，舍去。综上可知实数的取值范围为，； 7分（3）由（2）得当时，不等式在时恒成立，即，，． 9分即，，，，，将上述式子相加可得原不等式得证． 12分若有其他解法，可酌情给分！ 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org
