2020年 人教版八年级数学上册期末专题《压轴题专练》（含答案）

期末专题《压轴题专练》

1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B；

（1）求证：CD⊥AB，并指出你在证明过程中应用了哪两个互逆的真命题；

（2）如图2，若AE平分∠BAC，交CD于点F，交BC于E．求证：∠AEC=∠CFE；

（3）如图3，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC=3CE，AB=4AD，△ABC、△CEF、△ADF的面积分别为S△ABC、S△CEF、S△ADF，且S△ABC=36，则S△CEF﹣S△ADF=      ．（仅填结果）

2.阅读下列材料：

某同学遇到这样一个问题：如图1,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的高．P是BC边上一点,PM,PN分别与直线AB，AC垂直,垂足分别为点M,N.求证：BD=PM+PN．

他发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP，即.由AB=AC,可得BD=PM+PN．

他又画出了当点P在CB的延长线上,且上面问题中其他条件不变时的图形,如图2所示.他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：BD=PN-PM．

请回答：

（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；

证明：连接AP．

∵      ，

∴              ．

∵AB=AC，

∴BD=PN-PM．

（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：

在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．

①如图3，若点P在△ABC 的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：             ；

②若点P在如图4所示位置，利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间数量关系是:         ．

3.已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：

（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积_______△ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）

（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：，解得_______，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为_______．

（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．

4.如图1，在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(4，0)，且满足(a+b)2+|a﹣b+6|=0，线段AB交y轴于F点.

(1)求点A、B的坐标；

(2)点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图 2，求∠AMD的度数；

(3)如图 3，(也可以利用图 1)①求点F的坐标；②坐标轴上是否存在点P，使得△ABP和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

5.问题情境：

如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；

特例探究：

如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.证明：△ABD≌△CAF；

归纳证明：

如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF；

拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为　 　.

6.如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且FD=BD.

(1)求证：∠B+∠AFD=180°；

(2)如果∠B+2∠DEA=180°，探究线段AE，AF，FD之间满足的等量关系，并证明.

7.（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE；

（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

8.如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．

（1）直接写出∠AFC的度数：　60°　；

（2）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（3）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．

9.已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN．

(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；

(2)在（1）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系________；

(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的面积．

10.观察发现：

如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD.请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由.

拓展应用：

如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由.

11.（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.

① 求证：OE=BE；

② 若△ABC 的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长；

（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式.

12.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动.

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由.

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

参考答案

1.（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，

∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，即CD⊥AB，

证明时应用了“直角三角形两锐角互余”和“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”；

（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE，

∵∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，∴∠AEC=∠AFD，

∵∠AFD=∠CFE（对顶角相等），∴∠AEC=∠CFE；

（3）解：∵BC=3CE，AB=4AD，∴S△ACD=S△ABC=×36=9，S△ACE=S△ABC=×36=12，

∴S△CEF﹣S△ADF=S△ACE﹣S△ACD=12﹣9=3．故答案为：3．

2.解：（1）证明：连接AP．

∵，

∴． 

∵AB=AC，

∴．

（2）①；

②．

3.解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，

∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD=CD，∴，，∴S△ABD=S△ACD，

（2）解方程组得，∴S△AOD=S△BOD=10，∴S四边形ADOB=S△AOD+S△AOE=10+10=20，故答案为：得，20；

（3）如图3，连结AO，∵AD：DB=1：3，∴S△ADO=S△BDO，∵CE：AE=1：2，∴S△CEO=S△AEO，

设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得：S△ABE=S△ABC=40，S△ADC=S△ABC=15，

可列方程组为：，解得：，∴S四边形ADOE=S△ADO+S△AEO=x+2 y=13．

4.

5.证明：图②，

∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，

∴∠BDA=∠AFC=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，

∴∠ABD=∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

∵，

∴△ABD≌△CAF（AAS）；

图③，

∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，

∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，

在△ABE和△CAF中，

∵，

∴△ABE≌△CAF（ASA）；

图④，解：∵△ABC的面积为15，CD=2BD，

∴△ABD的面积是：×15=5，

由图3中证出△ABE≌△CAF，

∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，

即等于△ABD的面积是5，

故答案为：5.

6.解：(1)在AB上截取AG=AF.

∵AD是△ABC的角平分线，∴∠FAD=∠DAG.

在△AFD和△AGD中，∴△AFD≌△AGD(SAS)，∴∠AFD=∠AGD，FD=GD，

∵FD=BD，∴BD=GD，∴∠DGB=∠B，∴∠B+∠AFD=∠DGB+∠AGD=180°；

(2)AE=AF+FD.过点E作∠DEH=∠DEA，点H在BC上.

∵∠B+2∠DEA=180°，∴∠HEB=∠B.

∵∠B+∠AFD=180°，∴∠AFD=∠AGD=∠GEH，

∴GD∥EH.∴∠GDE=∠DEH=∠DEG.∴GD=GE.

又∵AF=AG，∴AE=AG+GE=AF+FD.

7.证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中，，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中，，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE．

8.解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=60°，

∴∠BAC=90°﹣60°=30°，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC=15°，∠FCA=45°，

∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠ACF）=120°

（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF=EF．

理由：如图2，在AC上截取CG=CD，

∵CE是∠BCA的平分线，

∴∠DCF=∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF=GF．

∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF，

∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°﹣∠B）=60°，

∴∠AFC=120°，

∴∠CFD=60°=∠CFG，

∴∠AFG=60°，

又∵∠AFE=∠CFD=60°，

∴∠AFE=∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF=GF，

∴DF=EF；

（3）结论：AC=AE+CD．

理由：如图3，在AC上截取AG=AE，

同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），

∴∠EFA=∠GFA．

又由题可知，∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°﹣∠B）=60°，

∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°，

∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC，

∴∠CFG=∠CFD=60°，

同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），

∴CD=CG，

∴AC=AG+CG=AE+CD．

9.解：（1）如图1，

∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，
∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，PM=PN,PB=PC ，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），
∴BM=CN

   
（2）AM+AN=2AC
（3）解：如图2，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，
∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，PM=PN,PB=PC，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），
∴BM=CN，
∴S△PBM=S△PCN
∵AC：PC=2：1，PC=4，
∴AC=8，
∴由（2）可得，AB=AC=8，PB=PC=4，
∴S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM=S△APN+S△APB+S△PCN=S△APC+S△APB
= 0.5AC•PC+ 0.5AB•PB= 0.5×8×4+ 0.5×8×4=32

10.解：（1）AD=BD.

理由：∵OP平分∠MON，

∴∠DOA=∠DOB，

∵OA=OB，OD=OD，

∴△OAD≌△OBD，

∴AD=DB.

（2）FE=FD.[

理由：如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG，

∴△AEF≌△AGF，

∴∠AFE=∠AFG，FE=FG.

∵∠ACB是直角，即∠ACB=90°，

又∵∠B=60°，

∴∠BAC=30°，

∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，

∴∠FAC+∠FCA=15°+45°=60°=∠AFE，

∴∠AFE=∠AFG=∠CFD=60°，

∴∠CFG=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠CFG=∠CFD，

又FC为公共边，[来源:学科网]

∴△CFG≌△CFD，

∴FG=FD，

∴FE=FD.

11.（1）∵BO平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC，

∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠OBC，

∴∠EOB=∠EBO，

∴OE=BE

（2）△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16

(3)延长BA，证明P点在∠BAC外角的角平分线上，

从而得到2∠PAC+∠BAC=180°

12.解：(1)经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，

∵△ABC中，AB=AC，∴在△BPD和△CQP中，

，∴△BPD≌△CQP(SAS).

(2)设点Q的运动速度为x(x≠3)cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，∵AB=AC，∴∠B=∠C，

根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；

①当BD=PC且BP=CQ时，8﹣3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；

②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8﹣3t，解得：x=；

故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等.