重庆市2021届高三第二次预测性考试 数学（含答案）

2021届重庆市高三第二次预测性考试

数  学（预测卷二）

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1.已知函数的定义域为M， 的定义域为N，则 （    ）

A.    B.    C.   D.∅

2.若复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（    ）

A.              B.     C.1      D.-1

3.定义“有增有减”数列如下：存在,满足，且存在，满足.已知“有增有减”数列共四项,若，且，则数列共有（    ）

A.64个     B.57个     C.56个     D.54个

4.《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上．从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为（3丈＝5步）（    ）

A.1200步    B.1300步    C.1155步    D.1255步

5.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个。若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（    ）

A.     B.     C.​​​​​​ D.

6.一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险.现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效。（附：，答案采取四舍五入精确到0.1小时）

A.2.3小时    B.3.5小时    C.5.6小时     D.8.8小时

7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则 的最小值为（    ）
A.     B.0      C.4      D.-1

8.已知点F为双曲线的右焦点，直线与E交于M，N两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）
A.   B.   C.   D.

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.已知斜率为的直线经过抛物线的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（    ）
A.   B.    C.   D.F为AD中点

10.下列有关命题的说法正确的是（    ）

A.命题，都有，则，使得
B.函数与函数是同一个函数
C.，使得成立
D.若x,y,z均为正实数，且，则n=4

11.设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是（    ）

A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B.已知，则是间隔递增数列
C.已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2
D.已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则

12.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延。疫情就是命令，防控就是责任。在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争。下侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（    ）

A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大
B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数
C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000
D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若光线由点射到x轴上，反射后过点，则反射光线所在直线方程是          .

14.已知△ABC的面积等于1，若BC=1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，=         .

15.在三棱锥P-ABC中，，∠BAC=120°，AP=，AB=2，M是线段BC上动点，线段PM的长度最小值为，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为            ．

16.如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是         ； 若向量，则的最小值为            ．

四、解答题。本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤等。

17.（10分）已知非空集合，
（1）当a=10时，求A∩B，A∪B；
（2）求能使A∪B=B成立的a的取值范围．

18.（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150°．
（1）若，，求△ABC的面积；
（2）若，求C．

19.从2021年起，重庆推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用3+2+1模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分。另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试，每门科目满分均为100分。为了应对新高考，某中学从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取45人。

（1）求n的值；

（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一个不完整的2×2列联表，请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X，求X的分布列及期望。

附：

20.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．
（1）求证：MN // 平面BDE；
（2）求二面角C-EM-N的正弦值；
 

21.（12分）已知椭圆过点（0，1），离心率e为．

（1）求椭圆方程；

（2）已知不过原点的直线与椭圆E相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为M，直线AB，MB分别与x轴相交于点P，Q，求的值．

22.（12分）已知函数．
（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；
（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数b的最大值．

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学答案（预测卷二）

1.C  2.B  3.D

4.D  5.C  6.A

7.A  8.B  9.BCD

10.AD   11.BCD

12.BC

13.

14.

15.

16.；

17.解：（1）当a=10时，集合A={x|21≤x≤25}，B={x|3≤x≤22}，
∴求A∩B={x|21≤x≤22}，
A∪B={x|3≤x≤25}．
（2）∵非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，A∪B=B，
∴A⊆B，
∵A≠∅，∴，解得6≤a≤9．
∴a的取值范围是[6，9]．

18.解：（1）△ABC中，B=150°，a=c，b=2，
cosB===，
∴c=2，a=2，
∴=．
（2）sinA+sinC=，
即sin（180°-150°-C）+=，
化简得=，
sin（C+30°）=，
∵0°＜C＜30°，
∴30°＜C+30°＜60°，
∴C+30°=45°，
∴C=15°．

19. 解：（1）由题意得，
解得n＝100．
（2）2×2列联表为：

，
故有的把握认为选择科目与性别有关．
（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择“物理”，4人选择“地理”，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择“物理"的人数X可为0，1，2，3，4．
设事件X发生的概率为P（X），则
，
，
，
，
．
所以X的分布列为

期望

20.（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，
∵M为AD中点，
∴MF∥BD，
∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，
∴MF∥平面BDE．
∵N为BC中点，
∴NF∥AC，
又D、E分别为AP、PC的中点，
∴DE∥AC，则NF∥DE．
∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，
∴NF∥平面BDE．
又MF∩NF=F，且MF，NF⊂平面MFN，
∴平面MFN∥平面BDE，
又MN⊂平面MFN，则MN∥平面BDE；
（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．


∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），
M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），
则，，
设平面MEN的一个法向量为，
由，得，取z=2，得．
由图可得平面CME的一个法向量为．
∴cos＜＞=．
∴二面角C-EM-N的余弦值为，则正弦值为；

21.解：（1）因为椭圆过点（0，1），所以；

又，所以.        

即椭圆方程为.                                

（2）法一：设，则

由，得，        

所以，                

在直线中，令，则，即，  

直线，令，              

则，即，

所以，

即 .            

（2）法二：设，

则，，

由A,B,P三点共线，则有，即

所以；         

由B,M,Q三点共线，则有，即，

所以            

所以  

因为A，B在椭圆E上，

所以，所以，同理，

代入（1）中，得,

即.                 

22.解：（1）=．…（1分）
因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…（2分）
即，解得a=0．…（3分）
又当a=0时，f'（x）=x（x-2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（4分）
（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，
所以在区间[3，+∞）上恒成立．…（5分）
①当a=0时，f'（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．…（6分）
②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，
所以2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．…（7分）
令g（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），其对称轴为，…（8分）
因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，
因为g（3）=-4a2+6a+1≥0，
解得．…（9分）
因为a＞0，所以．
由①可得，a=0时，符合题意；
综上所述，a的取值范围为[0，]．…（10分）

（2）若时，方程可化为，．
问题转化为b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，
即求函数g（x）=xlnx+x2-x3的值域．…（11分）
以下给出两种求函数g（x）值域的方法：
方法1：因为g（x）=x（lnx+x-x2），令h（x）=lnx+x-x2（x＞0），
则，…（12分）
所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…（13分）
因此h（x）≤h（1）=0．
而x＞1，故b=x•h（x）≤0，
因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）
方法2：因为g（x）=x（lnx+x-x2），所以g'（x）=lnx+1+2x-3x2．
设p（x）=lnx+1+2x-3x2，则．
当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；
当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；
因为p（1）=0，故必有，又，
因此必存在实数使得g'（x0）=0，
∴当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减；
当x0＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（x0，1）上单调递增；
又因为，
当x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．
因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）

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