初中数学北师大版九年级下册1 锐角三角函数第2课时教案

这是一份初中数学北师大版九年级下册1 锐角三角函数第2课时教案，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第2课时 正弦与余弦








1．理解正弦与余弦的概念；(重点)


2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点)











一、情境导入


如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m，他的相对位置升高了5m.





如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了am呢？


在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？


根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了．


二、合作探究


探究点：正弦和余弦


【类型一】 直接利用定义求正弦和余弦值


在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，csA.


解析：利用勾股定理求出AC，然后根据正弦和余弦的定义计算即可．


解：由勾股定理得AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(132－52)＝12，sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(5,13)，csA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(12,13).


方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题


【类型二】 已知一个三角函数值求另一个三角函数值








如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cs∠ADC＝eq \f(3,5)，求sinB的值．


解析：先由AD＝BC＝5，cs∠ADC＝eq \f(3,5)及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定义解答．


解：∵AD＝BC＝5，cs∠ADC＝eq \f(3,5)，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝eq \r(AD2－CD2)＝eq \r(52－32)＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(42＋52)＝eq \r(41)，∴sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(4,\r(41))＝eq \f(4\r(41),41) .


方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题


【类型三】 比较三角函数的大小


sin70°，cs70°，tan70°的大小关系是( )


A．tan70°＜cs70°＜sin70°


B．cs70°＜tan70°＜sin70°


C．sin70°＜cs70°＜tan70°


D．cs70°＜sin70°＜tan70°


解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cs70°＜1，tan70°＞1.又cs70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cs70°.故选D.


方法总结：当角度在0°<∠A<90°间变化时，0csA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1.


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题


【类型四】 与三角函数有关的探究性问题


在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边(除端点外)上的一点，设∠ADC＝α，∠B＝β.


(1)猜想sinα与sinβ的大小关系；


(2)试证明你的结论．


解析：(1)因为在△ABD中，∠ADC为△ABD的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想sinα＞sinβ；(2)利用三角函数的定义可求出sinα，sinβ的关系式即可得出结论．


解：(1)猜想：sinα＞sinβ；


(2)∵∠C＝90°，∴sinα＝eq \f(AC,AD) ，sinβ＝eq \f(AC,AB) .∵AD＜AB，∴eq \f(AC,AD)＞eq \f(AC,AB)，即sinα＞sinβ.


方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题的关键．


【类型五】 三角函数的综合应用








如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cs∠DAC.


(1)求证：AC＝BD；


(2)若sinC＝eq \f(12,13)，BC＝36，求AD的长．


解析：(1)根据高的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到tanB＝eq \f(AD,BD)，cs∠DAC＝eq \f(AD,AC)，再利用tanB＝cs∠DAC得到eq \f(AD,BD)＝eq \f(AD,AC)，所以AC＝BD；(2)在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sinC＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(12,13)，可设AD＝12k，AC＝13k，再根据勾股定理计算出CD＝5k，由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24.


(1)证明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，tanB＝eq \f(AD,BD)，在Rt△ACD中，cs∠DAC＝eq \f(AD,AC).∵tanB＝cs∠DAC，∴eq \f(AD,BD)＝eq \f(AD,AC)，∴AC＝BD；


(2)解：在Rt△ACD中，sinC＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(12,13).设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝eq \r(AC2－AD2)＝5k.∵BD＝AC＝13k，∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36，解得k＝2，∴AD＝12×2＝24.


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题


三、板书设计


正弦与余弦


1．正弦的定义


2．余弦的定义


3．利用正、余弦解决问题





本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.