初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质第3课时教学设计

这是一份初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质第3课时教学设计，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质





1．掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2(a≠0)图象之间的联系；(重点)


2．能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点)











一、情境导入


二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象可以由y＝ax2(a≠0)的图象平移得到：


当c>0时，向上平移c个单位长度；


当c<0时，向下平移－c个单位长度．


问题：函数y＝ (x－2)2的图象，能否也可以由函数y＝ x2平移得到？本节课我们就一起讨论．


二、合作探究


探究点：二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质


【类型一】 二次函数y＝a(x－h)2的图象


顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－eq \f(1,2)x2的图象相同的抛物线的解析式为( )


A．y＝eq \f(1,2)(x－2)2 B．y＝eq \f(1,2)(x＋2)2


C．y＝－eq \f(1,2)(x＋2)2 D．y＝－eq \f(1,2)(x－2)2


解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x－h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝－eq \f(1,2)x2的图象相同，所以a＝－eq \f(1,2)，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h＝2，把a＝－eq \f(1,2)，h＝2代入y＝a(x－h)2得y＝－eq \f(1,2)(x＋2)2.故选C.


方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题


【类型二】 二次函数y＝a(x－h)2的性质


若抛物线y＝3(x＋eq \r(2))2的图象上的三个点，A(－3eq \r(2)，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________．


解析：∵抛物线y＝3(x＋eq \r(2))2的对称轴为x＝－eq \r(2)，a＝3＞0，∴x＜－eq \r(2)时，y随x的增大而减小；x＞－eq \r(2)时，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3eq \r(2)，y1)，∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为(eq \r(2)，y1)．∵－1＜0＜eq \r(2)，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.


方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题


【类型三】 二次函数y＝a(x－h)2的图象与y＝ax2的图象的关系


将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( )


A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位


C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位


解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.


方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题


【类型四】 二次函数y＝a(x－h)2与三角形的综合


如图，已知抛物线y＝(x－2)2的顶点为C，直线y＝2x＋4与抛物线交于A、B两点，试求S△ABC.


解析：根据抛物线的解析式，易求得点C的坐标；联立两函数的解析式，可求得A、B的坐标．画出草图后，发现△ABC的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．


解：抛物线y＝(x－2)2的顶点C的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x＋4，,y＝（x－2）2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝4，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝6，,y2＝16.))所以点A的坐标为(6，16)，点B的坐标为(0，4)．





如图，过A作AD⊥x轴，垂足为D，则S△ABC＝S梯形ABOD－S△ACD－S△BOC＝eq \f(1,2)(OB＋AD)·OD－eq \f(1,2)OC·OB－eq \f(1,2)CD·AD＝eq \f(1,2)(4＋16)×6－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×4×16＝24.


方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题


【类型五】 二次函数y＝a(x－h)2的探究性问题


某抛物线是由抛物线y＝－2x2向左平移2个单位得到．


(1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象；


(2)设抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B.


①求线段AB的长及直线AB的解析式；


②在此抛物线的对称轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出这样的点C的坐标；若不存在，请说明理由．


解析：(1)抛物线y＝－2x2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y＝－2(x＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A和B点的坐标，然后根据A，B两点的坐标即可求出直线AB的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．





解：(1)y＝－2(x＋2)2，图略；


(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y＝－2(x＋2)2，可得A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(0，－8)．因此在Rt△ABO中，根据勾股定理可得AB＝2eq \r(17).设直线AB的解析式为y＝kx－8，已知直线AB过A点，则有0＝－2k－8，k＝－4，因此直线AB的解析式为y＝－4x－8；


②本题要分三种情况进行讨论：当AB＝AC时，此时C点的纵坐标的绝对值即为AB的长，因此C点的坐标为C1(－2，2eq \r(17))，C2(－2，－2eq \r(17))；当AB＝BC时，B点位于AC的垂直平分线上，所以C点的纵坐标为B点的纵坐标的2倍，因此C点的坐标为C3(－2，－16)；当AC＝BC时，此时C为AB垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B作BD垂直于抛物线的对称轴于D，那么在直角三角形BDC中，BD＝2(A点横坐标的绝对值)，CD＝8－AC，而BC＝AC，由此可根据勾股定理求出AC＝eq \f(17,4)，因此这个C点的坐标为C4(－2，eq \f(17,4))．


综上所述，存在四个点，C1(－2，2eq \r(17))，C2(－2，－2eq \r(17) )，C3(－2，－16)，C4(－2，－eq \f(17,4))．


方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题


三、板书设计


二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质


1．二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质


2．二次函数y＝a(x－h)2的图象与y＝ax2的图象的关系


3．二次函数y＝a(x－h)2的图象的应用





本节课采用启发式、讨论式结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构. 另外，在教学过程中，采用多媒体辅助教学，直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率.