数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式导学案

这是一份数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式导学案，共7页。学案主要包含了考纲要求，基本不等式，常用的几个重要不等式，算术平均数与几何平均数，利用基本不等式求最值等内容，欢迎下载使用。
一、考纲要求：


1.了解基本不等式的证明过程．


2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．


3．了解证明不等式的基本方法——综合法．


二、基本不等式


三、常用的几个重要不等式


(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R) (2)ab≤(eq \f(a＋b,2))2(a，b∈R)


(3)eq \f(a2＋b2,2)≥(eq \f(a＋b,2))2(a，b∈R) (4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号且不为零)


上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.


四、算术平均数与几何平均数


设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．





四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+：


当且仅当a＝b时取等号.


五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数．


(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2eq \r(P).


(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值eq \f(1,4)S2.


强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.


正：两项必须都是正数；


定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。


等：等号成立的条件必须存在.


2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）


想一想:错在哪里？





























3、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋eq \f(1,x))(y＋eq \f(1,y))的最小值为________．


解一：因为对a>0，恒有a＋eq \f(1,a)≥2，从而z＝(x＋eq \f(1,x))(y＋eq \f(1,y))≥4，所以z的最小值是4.


解二：z＝eq \f(2＋x2y2－2xy,xy)＝(eq \f(2,xy)＋xy)－2≥2eq \r(\f(2,xy)·xy)－2＝2(eq \r(2)－1)，所以z的最小值是2(eq \r(2)－1)．


【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．


【正确解答】 z＝(x＋eq \f(1,x))(y＋eq \f(1,y))＝xy＋eq \f(1,xy)＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝xy＋eq \f(1,xy)＋eq \f(x＋y2－2xy,xy)＝eq \f(2,xy)＋xy－2，


令t＝xy，则00，a＋b＝1，


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,a)＋eq \f(a＋b,b)＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)


≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立)．


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥4.∴原不等式成立．


练习：已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(eq \f(1,a)－1)(eq \f(1,b)－1)(eq \f(1,c)－1)≥8.


证明：∵a、b、c均为正实数，且a＋b＋c＝1，


∴(eq \f(1,a)－1)(eq \f(1,b)－1)(eq \f(1,c)－1)


＝eq \f(1－a1－b1－c,abc)


＝eq \f(b＋ca＋ca＋b,abc)≥eq \f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8.


当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时取等号．


考点2 利用基本不等式求最值


(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．


(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．


例4： (1)设00.且2x+5y=20,求 xy的最大值.





（4）已知eq \f(4,a－2)＋a，求的取值范围．


显然a≠2，当a>2时，a－2>0，∴eq \f(4,a－2)＋a＝eq \f(4,a－2)＋(a－2)＋2≥2eq \r(\f(4,a－2)·a－2)＋2＝6，


当且仅当eq \f(4,a－2)＝a－2，即a＝4时取等号，


当a0，且x＋y＝1，求eq \f(3,x)＋eq \f(4,y)的最小值．


∵x>0，y>0，且x＋y＝1，


∴eq \f(3,x)＋eq \f(4,y)＝(eq \f(3,x)＋eq \f(4,y))(x＋y)


＝7＋eq \f(3y,x)＋eq \f(4x,y)≥7＋2eq \r(\f(3y,x)·\f(4x,y))＝7＋4eq \r(3)，


当且仅当eq \f(3y,x)＝eq \f(4x,y)，即2x＝eq \r(3)y时等号成立，


∴eq \f(3,x)＋eq \f(4,y)的最小值为7＋4eq \r(3).





练习：


求下列各题的最值．


(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝eq \f(2,x)＋eq \f(5,y)的最小值；


解：(1)由x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.


则eq \f(2,x)＋eq \f(5,y)＝eq \f(2y＋5x,10)≥eq \f(2\r(10xy),10)＝2.∴zmin＝2.当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．


(2)x0，求f(x)＝eq \f(12,x)＋3x的最大值；


∵x>0，∴f(x)＝eq \f(12,x)＋3x≥2eq \r(\f(12,x)·3x)＝12，等号成立的条件是eq \f(12,x)＝3x，即x＝2，


∴f(x)的最小值是12.


(3)xc>0，求2a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,aa－b)－10ac＋25c2的最小值。


A．2 B．4 C．2eq \r(5) D．5


【分析】 通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件．


【解析】 原式＝(a2－10ac＋25c2)＋eq \f(1,ab)＋ab＋eq \f(1,aa－b)＋a(a－b)＋a2－ab－a(a－b)


＝(a－5c)2＋eq \f(1,ab)＋ab＋eq \f(1,aa－b)＋a(a－b)


≥0＋2eq \r(\f(1,ab)·ab)＋2eq \r(\f(1,aa－b)·aa－b)＝4，


当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝1,aa－b＝1,a＝5c))，即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)，c＝eq \f(\r(2),5)时，等号成立．【答案】 B


练习：


（1）(2011年浙江)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．


解析：4x2＋y2＋xy＝1，∴4x2＋4xy＋y2－3xy＝1


∴(2x＋y)2－1＝3xy＝eq \f(3,2)·2x·y≤eq \f(3,2)·(eq \f(2x＋y,2))2


∵(2x＋y)2－1≤eq \f(3,8)(2x＋y)2 ∴(2x＋y)2≤eq \f(8,5)


即－eq \f(2\r(10),5)≤2x＋y≤eq \f(2\r(10),5)当且仅当2x＝y时取等号，∴(2x＋y)最大值＝eq \f(2,5)eq \r(10).


（2）已知，求的最大值。








（3）已知，，求的最小值及相应的的值。








考点4 基本不等式的实际应用


应用基本不等式解决实际问题的步骤是：


(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；


(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；


(3)应用基本不等式求出函数的最值；


(4)还原实际问题，作出解答．


例4 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；


(2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．


【分析】 (1)首先明确总费用y＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出y与x的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论．


【解】 (1)如图，设矩形的另一边长为a m.


则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.


由已知xa＝360，得a＝eq \f(360,x)，


所以y＝225x＋eq \f(3602,x)－360(x>2)．


(2)∵x>2，


∴225x＋eq \f(3602,x)≥2eq \r(225×3602)＝10800.


∴y＝225x＋eq \f(3602,x)－360≥10440.当且仅当225x＝eq \f(3602,x)时，等号成立．


即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．





方法归纳：


(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．


(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．





练习：


1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d＝kv2l＋eq \f(1,2)l(k为正常数)，假定车身长都为4 m，当车速为60 km/h时，车距为2.66个车身长．


(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；


(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？


解：(1)∵当v＝60 km/h时，d＝2.66l，∴k＝eq \f(2.66l－\f(1,2)l,602l)＝eq \f(2.16,602)＝0.0006，


∴d＝0.0024v2＋2.


(2)设每小时通过的车辆为Q，则Q＝eq \f(1000v,d＋4)，即Q＝eq \f(1000v,0.0024v2＋6)＝eq \f(1000,0.0024v＋\f(6,v)).


∵0.0024v＋eq \f(6,v)≥2eq \r(0.0024v·\f(6,v))＝0.24，∴Q≤eq \f(1000,0.24)＝eq \f(12500,3).


当且仅当0.0024v＝eq \f(6,v)，即v＝50时，Q取最大值eq \f(12500,3).


答：当v＝50 km/h时，大桥上每小时通过的车辆最多．


2、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840，画面的宽与高的比为，画面的上下各留8的空白，左右各留5空白，怎样确定画面的高于款的尺寸，使宣传画所用纸张面积最小？如果要求，那么为何值时使宣传画所用纸张面积最小？














归纳提升：


1．创设应用基本不等式的条件：


(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；


(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．


2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．


(1)a＋eq \f(1,a)≥2(a>0，且a∈R)，当且仅当a＝1时“＝”成立．


(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a>0，b>0，a，b∈R)，当且仅当a＝b时“＝”成立．


(3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y＝ax＋eq \f(b,x)，当a>0，b>0时函数在[－eq \r(\f(b,a))，0)，(0, eq \r(\f(b,a))]上是减函数，在(－∞，－eq \r(\f(b,a)))，( eq \r(\f(b,a))，＋∞)上是增函数；当a0
a＝b