数学必修 第二册6.1 平面向量的概念教学设计

这是一份数学必修 第二册6.1 平面向量的概念教学设计，共14页。



易误提醒


1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．


2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．


[自测练习]


1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )


A．有不相等的模 B．不共线


C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量


解析：若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．


答案：C


2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )


A．共线 B．不共线


C．共线且同向 D．不一定共线


解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D正确．


答案：D


知识点二 向量的线性运算





易误提醒


1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．


2．数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数．


[自测练习]


3．已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是( )


A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))


C.eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)) D．2eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))


解析：本题考查向量的线性运算．A错，应为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))；B错，应为eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))；C错，应为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))；D正确，2eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))，故选D.


答案：D


知识点三 共线向量定理


向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.


易误提醒


1．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．


2．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．


必记结论 三点共线等价关系：


A，P，B三点共线⇔eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))(λ≠0)⇔eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．


[自测练习]


4．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.


解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))


答案：－eq \f(1,3)








考点一 向量的基本概念|





1．已知a，b，c是任意向量，给出下列命题：


①若a∥b，b∥c，则a∥c；


②若a∥b，则a，b方向相同或相反；


③若a＝－b，则|a|＝|b|；


④若a，b不共线，则a，b中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是( )


A．4 B．3


C．2 D．1


解析：按照平面向量的概念逐一判断．若b＝0，则①②都错误；若a＝－b，则|a|＝|b|，③正确；若a，b不共线，则a，b中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1个．


答案：D


2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的是( )


A．a＝2b B．a∥b


C．a＝－eq \f(1,3)b D．a⊥b


解析：由eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0得eq \f(a,|a|)＝－eq \f(b,|b|)≠0，即a＝－eq \f(b,|b|)·|a|≠0，则a，b共线且方向相反，因此当向量a，b共线且方向相反时，能使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立．对照各个选项可知，选项A中向量a，b的方向相同，选项B中向量a，b共线，方向相同或相反，选项C中向量a，b的方向相反，选项D中向量a，b互相垂直，故选C.


答案：C





解决向量的概念问题应关注五点


(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．


(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．


(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．


(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．


(5)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是a方向上的单位向量．








考点二 平面向量的线性运算|





(1)设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))，则( )


A.eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))


B.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))


C.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))


D.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))


[解析] 由题意得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))，故选A.


[答案] A


(2)(2015·东北三校联考(二))已知在△ABC中，D是AB边上的一点，若eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，则λ＝________.


[解析] 因为eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(2,3).


[答案] eq \f(2,3)





平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略


(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．


(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．








1．设O为△ABC内部的一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为( )


A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3)


C．2 D．1


解析：取AB的中点E，连接OE，则有eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝2(eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，所以E，O，C三点共线，所以有△AEO与△BEO面积相等，因此△AOC的面积与△BOC的面积之比为1，故选D.


答案：D








考点三 共线向量定理的应用|





设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.


[解析] 由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝eq \f(1,2).


[答案] eq \f(1,2)





1．共线向量定理的应用


(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．


(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．


2．证明三点共线的方法


若eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，则A、B、C三点共线．








2．设两个非零向量e1和e2不共线．


(1)如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；


(2)如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq \(AF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，求k的值．


解：(1)证明：eq \(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，


∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝4e1＋e2，


又eq \(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，


∴eq \(CD,\s\up6(→))＝－2eq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线．


又∵eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))有公共点C，∴A，C，D三点共线．


(2)∵eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，


∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝3e1－2e2.


∵A，C，F三点共线．


∴eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(AF,\s\up6(→))，从而存在实数λ，使得eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AF,\s\up6(→)).


∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，


又e1，e2是不共线的非零向量，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝3λ，,－2＝－λk，))因此k＝2.∴实数k的值为2.











13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用


【典例】 如图所示，在△ABO中，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，AD与BC相交于点M，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b.试用a和b表示向量eq \(OM,\s\up6(→)).


[思路点拨] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．


(2)既然eq \(OM,\s\up6(→))能用a，b表示，那我们不妨设出eq \(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb.


(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．


[解] 设eq \(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb，


则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝ma＋mb－a＝(m－1)a＋nb.


eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)b.


又∵A，M，D三点共线，∴eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))共线．


∴存在实数t，使得eq \(AM,\s\up6(→))＝teq \(AD,\s\up6(→))，


即(m－1)a＋nb＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(1,2)b)).


∴(m－1)a＋nb＝－ta＋eq \f(1,2)tb.


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1＝－t，,n＝\f(t,2)，))消去t得，m－1＝－2n，


即m＋2n＝1.①


又∵eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝ma＋nb－eq \f(1,4)a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,4)))a＋nb，


eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝b－eq \f(1,4)a＝－eq \f(1,4)a＋b.


又∵C，M，B三点共线，


∴eq \(CM,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))共线．


∴存在实数t1，使得eq \(CM,\s\up6(→))＝t1eq \(CB,\s\up6(→))，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,4)))a＋nb＝t1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)a＋b))，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t1，,n＝t1.))


消去t1得，4m＋n＝1.②


由①②得m＝eq \f(1,7)，n＝eq \f(3,7)，∴eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,7)a＋eq \f(3,7)b.


[方法点评] (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A，M，D三点共线和B，M，C三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．


[跟踪练习] 如图，△ABC中，eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b.若eq \(CP,\s\up6(→))＝ma，eq \(CQ,\s\up6(→))＝nb，CG∩PQ＝H，eq \(CG,\s\up6(→))＝2eq \(CH,\s\up6(→))，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝________.


解析：由eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，知G为△ABC的重心，取AB的中点D(图略)，则eq \(CH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,6m)eq \(CP,\s\up6(→))＋eq \f(1,6n)eq \(CQ,\s\up6(→))，由P，H，Q三点共线，得eq \f(1,6m)＋eq \f(1,6n)＝1，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝6.


答案：6


课时跟踪检测


A组 考点能力演练


1．关于平面向量，下列说法正确的是( )


A．零向量是唯一没有方向的向量


B．平面内的单位向量是唯一的


C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量


D．共线向量就是相等向量


解析：对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C.


答案：C


2．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝0，则向量eq \(OC,\s\up6(→))等于( )


A.eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→)) B．－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))


C．2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)) D．－eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))


解析：因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，所以2eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝2(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝0，所以eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，故选C.


答案：C


3．已知在△ABC中，M是BC的中点，设eq \(CB,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，则eq \(AM,\s\up6(→))＝( )


A.eq \f(1,2)a－b B.eq \f(1,2)a＋b


C．a－eq \f(1,2)b D．a＋eq \f(1,2)b


解析：eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝－eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝－b＋eq \f(1,2)a.


答案：A


4.(2015·海淀期中)如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m－n＝( )


A．2


B．－2


C．1


D．－1


解析：eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(AD,\s\up6(→))，则m＝－eq \f(1,2)，n＝eq \f(3,2)，所以m－n＝－2.


答案：B


5．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b的起点相同，已知a，tb，eq \f(1,3)(a＋b)三个向量的终点在同一条直线上，则t＝( )


A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．2 D．－2


解析：设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝tb，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝ta－a.要使A，B，C三点共线，只需eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，即－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b＝λtb－λa即可，又a，b是两个不共线的非零向量，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)＝－λ，,\f(1,3)＝λt，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)，,t＝\f(1,2)，))∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t＝eq \f(1,2).


答案：A


6．(2016·长沙一模)在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若eq \(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq \(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq \(OC,\s\up6(→))＝________.(用e1，e2表示)


解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(5e1＋3e2)．


答案：eq \f(1,2)(5e1＋3e2)


7．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.


解析：因为a与b共线，所以a＝xb，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,λx＝－1，))故λ＝－eq \f(1,2).


答案：－eq \f(1,2)


8.已知点G是△ABC的外心，eq \(GA,\s\up6(→))，eq \(GB,\s\up6(→))，eq \(GC,\s\up6(→))是三个单位向量，且2eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则|eq \(OA,\s\up6(→))|的最大值为________．


解析：因为点G是△ABC的外心，且2eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，所以点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，且∠BAC是直角．又eq \(GA,\s\up6(→))，eq \(GB,\s\up6(→))，eq \(GC,\s\up6(→))是三个单位向量，所以BC＝2，又△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，所以点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|eq \(GA,\s\up6(→))|＝1，所以当OA经过BC的中点G时，|eq \(OA,\s\up6(→))|取得最大值，且最大值为2|eq \(GA,\s\up6(→))|＝2.


答案：2


9．已知a，b不共线，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝d，eq \(OE,\s\up6(→))＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．


解：由题设知，eq \(CD,\s\up6(→))＝d－c＝2b－3a，eq \(CE,\s\up6(→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得eq \(CE,\s\up6(→))＝keq \(CD,\s\up6(→))，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，


整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.


因为a，b不共线，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－3＋3k＝0，,t－2k＝0，))


解之得t＝eq \f(6,5).


故存在实数t＝eq \f(6,5)使C，D，E三点在一条直线上．


10．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\a\vs4\al(\(AB,\s\up6(→))),|\a\vs4\al(\(AB,\s\up6(→)))|)＋\f(\a\vs4\al(\(AC,\s\up6(→))),|\a\vs4\al(\(AC,\s\up6(→))|))))，λ∈[0，＋∞)．求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点：


①△ABC的外心；②△ABC的内心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心．


解：如图，记eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\(AB,\s\up6(→)))|)，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(\a\vs4\al(\(AC,\s\up6(→))),|\a\vs4\al(\(AC,\s\up6(→)))|)，则eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))都是单位向量，





∴|eq \(AM,\s\up6(→))|＝|eq \(AN,\s\up6(→))|，eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))，则四边形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC.


∵eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))，由条件知eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(AQ,\s\up6(→))，


∴eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AQ,\s\up6(→))(λ∈[0，＋∞))，


∴点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过△ABC的内心．


B组 高考题型专练


1．)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝( )


A.eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))


C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))


解析：设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(EB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)b＋a，eq \(FC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋b，从而eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)b＋a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a＋b))＝eq \f(1,2)(a＋b)＝eq \(AD,\s\up6(→))，故选C.


答案：C


2．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )


A．|a·b|≤|a||b|


B．|a－b|≤||a|－|b||


C．(a＋b)2＝|a＋b|2


D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2


解析：对于A选项，设向量a，b的夹角为θ，∵|a·b|＝|a||b||cs θ|≤|a||b|，∴A选项正确；对于B选项，∵当向量a，b反向时，|a－b|≥||a|－|b||，∴B选项错误；对于C选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；对于D选项，根据向量的运算法则，可推导出(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，故D选项正确，综上选B.


答案：B


3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC.若eq \(DE,\s\up6(→))＝λ1eq \(AB,\s\up6(→))＋λ2eq \(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．


解析：eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq \f(1,2).


答案：eq \f(1,2)


4．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足eq \(AB,\s\up6(→))＝2a，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)


①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥eq \(BC,\s\up6(→))；⑤(4a＋b)⊥eq \(BC,\s\up6(→)).


解析：∵eq \(AB,\s\up6(→))＝2a，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，∴a＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(BC,\s\up6(→))，又△ABC是边长为2的等边三角形，∴|a|＝1，|b|＝2，故①正确，②错误，③错误；由b＝eq \(BC,\s\up6(→))，知b∥eq \(BC,\s\up6(→))，故④正确；∵4a＋b＝2eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，∴(4a＋b)·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－2＋2＝0，∴(4a＋b)⊥eq \(BC,\s\up6(→))，故⑤正确．答案为①④⑤.


答案：①④⑤





名称
定义
向量
既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模)
零向量
长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
平行向量
表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相反向量
长度相等且方向相反的向量
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算



三角形法则





平行四边形法则
(1)交换律：


a＋b＝b＋a；


(2)结合律：


(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差



三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；


(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ