五年级思维专项训练23 因数与倍数(原卷+解析版)全国通用

五年级思维训练23    因数与倍数1、由不小于30人，不大于50人的学生围成一个圆圈，由某人开始从1连续报数，如果报30和198是同一个人时，请问：这批学生一共多少人？.   2、有这样一类2009位数，它们不含有数字0，任何相邻两位（按原来的顺序）组成的两位数都有一个因数和20相差1，这样的2009位数共有多少个？    3、一个自然数，它的最大的因数和次大的因数和是111，这个自然数是（ 74   ）    4、筐中有60个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同。问：有多少种分法？    5、称一个两头（首位和末位）都是1的数为“两头蛇数”。一个四位数的“两头蛇数”去掉两头得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的因数，这个“两头蛇数”是                                        。（写出所有可能）  6、你能在3×3的方格表（如下图）中填入彼此不同的9个自然数（每个格子里只填一个数），使得每行、每列、两条对角线上三个数的乘积都等于2005吗？若能，请填出一例；若不能，请说明理由）    7、已知三位数240有d个不同的因数，求d的值。    8、100以内有10个因数的最小自然数是(      ),它的所有因数的和是（         ）。    9、一个正整数，它的2倍的因数恰好比它自己的因数多2个，它的3倍的数的因数恰好比自己的因数多3个。那么这个正整数是（       ）    10、能被2145整除且恰有2145个因数的数有（     ）个。     11、一个自然数恰好有18个因数，那么它最多有（     ）个因数的个位是3.    12、N是1，2，3，...，1995，1996，1997的最小公倍数，请问N等于多少个2与一个奇数的积？    13、在下面一列数中，从第二个开始，每个数都比它前面相邻的数大7，数列如下：8，15，22，29，36.....它们前n-1个数相乘的积末尾0的个数比前n个数相乘积的末尾0的个数少3个，求n的最小值。    14、，，,......中，共有（      ）个最简分数。   15、美术老师要在一张长12分米、宽84厘米的纸上裁出同样大小的正方形手工纸若干张，且没有纸剩下，那么每张正方形纸的边长最大是（      ）厘米，一共能裁出（    ）张这样的手工纸？    16、如下图所示，某公园有两段路，AB=175m,BC=125m,在这两段路上安路灯，要求A,B,C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装多少盏灯？   17、将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为(       ),这些“好数”的最大公因数是（     ）。   18、自然数b与175的最大公因数记为d。如果176×（b-11×d+1)=5×d+1,则b=(    ).   19、三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公因数之和的最大值是（     ）。   20、电子钟每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。问：下一次响铃又亮灯是几点钟？   21、已知a.b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60,a与c的最小公倍数是270.求b与c的最小公倍数。   22、一个数分别除以1，，，所得的商都是自然数，这个数最小是（      ）    23、如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是（     ）    24、两个自然数A,B的最小公倍数等于50，问A+B有多少种可能的数值。    25、若两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210.这两个自然数的和是77.则这两个自然数是（   )和（             ）。   26、两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公因数，得到两个商的和是16.请写出这两个数。  27、如下图所示，鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A,B开始向另一端挖洞，老鼠对鼹鼠说：“你挖好后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖（     ）个洞？
    28、夜里下了一场大雪，早上，小明和爸爸一起步测花园里的一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印。那么这条小路长（       ）米。    29、若a,b,c是三个互不相等的大于0的自然数，且a+b+c=1155，则它们的最大公约数的最大值为（ 165     ），最小公倍数的最小值为（  660   ），最小公倍数的最大值为（     ）。    30、已知a与b的最大公因数是12，a与c最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300.那么满足上述条件的自然数a,b,c共有（ 30    ）组。（例：a=12,b=300,c=300这一组与a=300、b=12,c=300是不同的两个自然数组）
五年级思维训练23    因数与倍数参考答案1、由不小于30人，不大于50人的学生围成一个圆圈，由某人开始从1连续报数，如果报30和198是同一个人时，请问：这批学生一共多少人？【分析】因为报30和198是同一个人，198-30=168，说明学生总人数是168的因数。而总人数是小于30人，不大于50人，又是168的因数，这个数只有42.答：这批学生一共42人.2、有这样一类2009位数，它们不含有数字0，任何相邻两位（按原来的顺序）组成的两位数都有一个因数和20相差1，这样的2009位数共有多少个？【分析】组成的两位数都有一个约数和20差1，即都有一个19或21的约数。
于是，两位数中19的倍数有：19，38，57，76，95
两位数中21的倍数有：21，42，63，84
观察发现这9个数中，十位数字分别包含1~9这9个数字，个位数字也包含这9个数字。
也就是说符合题目要求的数字我们只要确定下其中的一位数字，那么其他的数字也就确定了。例如我们从最后一位数字选起，当最后1位选1时，那么它的前一位只能是2，再前面一位只能是4，然后是8，3，6…………
所以一共只有9种选法，即一共有9个数符合要求。3、一个自然数，它的最大的因数和次大的因数和是111，这个自然数是（ 74   ）【分析】111是奇数，奇数+偶数=奇数。最大因数与次大因数是一奇一偶。一个数的最大因数是它本身，而一个数如果有偶因数则它是一个偶数，一个偶数的次大因数应是它本身的。如设次大因数为a，则它本身为2a，由题意知：a+2a=111.求得：2a=744、筐中有60个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同。问：有多少种分法？【分析】60的偶因数有8个，可分成2 ，4 ，6 ，10 ，12， 20 ，30 ，60 堆 。即有8种分法。5、称一个两头（首位和末位）都是1的数为“两头蛇数”。一个四位数的“两头蛇数”去掉两头得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的因数，这个“两头蛇数”是                                        。（写出所有可能）【分析】去掉两头得到的两位数，它恰好是原数的因数，说明这个两位数是1001的约数。1001的两位因数有：11、13、77、91.所有可能的数有：1111，1131，1771，1911.6、你能在3×3的方格表（如下图）中填入彼此不同的9个自然数（每个格子里只填一个数），使得每行、每列、两条对角线上三个数的乘积都等于2005吗？若能，请填出一例；若不能，请说明理由）         【分析】若能，则填入彼此不同的9个自然数将是2005的彼此不同的9个因数。而2005彼此不同的因数只有1、5、401、2005这4个。所以不能。7、已知三位数240有d个不同的因数，求d的值。【分析】240=24×3×5.由因数个数定理可知：d=（4+1）×（1+1）×（1+1）=208、100以内有10个因数的最小自然数是(      ),它的所有因数的和是（         ）。【分析】10=2×5=1×10，两个质因数要最小，质因数的个数是1或4，不可能是0和9.因此取24×3=48，48的所有因数的和是：（20+21+22+23+24）×（30+31）=1249、一个正整数，它的2倍的因数恰好比它自己的因数多2个，它的3倍的数的因数恰好比自己的因数多3个。那么这个正整数是（       ）解;这个数有2个因数不是2的倍数，有3个因数不是3的倍数，这个数只有质因数2和3.这个正整数是22 × 31 = 12 他有约数 (2+1)(1+1) = 6 个 他的2倍 24有约数 (3+1)(1+1) = 8 个 他的3倍 36有约数 (2+1)(2+1) = 9 个。10、能被2145整除且恰有2145个因数的数有（     ）个。   【分析】先将2145分解质因数：2145＝3×5×11×13，所以能被2145整除的数必定含有3，5，11，13这4个质因数；由于这样的数恰有2145个约数，所以它至多只有4个质因数，否则至少有5个质因数，根据约数个数的计算公式，则有5个大于1的整数的乘积等于2145，而2145只能分解成3，5，11，13的乘积，矛盾．所以所求的数恰好只有3，5，11，13这4个质因数．对于这样的每一个数，分解质因数后3，5，11，13这4个因子的幂次都恰好是2＝3－1，4＝5－1，10＝11－1，12＝13－1的一个排列，所以共有4！＝24种。 11、一个自然数恰好有18个因数，那么它最多有（  9    ）个因数的个位是3.  【分析】一、 18 = 2×3×3 = (1+1)×(2+1)×(2+1) 这个自然数可能是M×N2×K2的形式。 则使其因数个位含3的尽可能多是： M是个位为3的质数、N、K是个位为1的质数。 则个位含3的因数个数有：(2+1)×(2+1) = 9 个。（包含这个自然数本身） 二、 18 = 3×6 = (2+1)×(5+1) 这个自然数可能是M2×N5的形式。 则使其因数个位含3的最大可能是： M是个位为3的质数、N是个位为1的质数，则个位含3的因数个数有5+1=6个。 粗略考虑其他情况如：7的3次方尾数为3等，均使得M、N可用的幂次数大大下降，则个位含3的因数个数无法超过2×4、3×3的情况，即不会比9多。 综上，一个自然数恰好有18个因数，最多有9个因数个位是3。12、N是1，2，3，...，1995，1996，1997的最小公倍数，请问N等于多少个2与一个奇数的积？【分析】在这些数中1024是2的10次方，含2的次数最多，其它含因数2的数在计算最小公倍数的时候可以约去2，所以N是10个2和某一个奇数的积。 13、在下面一列数中，从第二个开始，每个数都比它前面相邻的数大7，数列如下：8，15，22，29，36.....它们前n-1个数相乘的积末尾0的个数比前n个数相乘积的末尾0的个数少3个，求n的最小值。【分析】由这列数可知：每个数除以7余数为1，因为前n-1个数相乘的积末尾0的个数比前n个数相乘积的末尾0的个数少3个，所以是后一个数必有3个5的因数。第n个数可以写成125a，要使n最小，又要除以7余1，a取6，125×6=750，（750-1）÷7=107答：n的最小值是107。 14、，，,......中，共有（      ）个最简分数。【分析】这些分数是分子比分母小7，那么如果分子是7的倍数，这个分数就不是最简分数；如果不是7的倍数那它就是最简分数。2002÷7=286（个），不是7的倍数有：2002-286=1716.答：共有1716个最简分数。15、美术老师要在一张长12分米、宽84厘米的纸上裁出同样大小的正方形手工纸若干张，且没有纸剩下，那么每张正方形纸的边长最大是（      ）厘米，一共能裁出（    ）张这样的手工纸？【分析】这个正方形有的边长是120、84的最大公约数：（120，84）=12.120×84÷（12×12）=70（张）答：那么每张正方形纸的边长最大是12厘米，一共能裁出70张这样的手工纸. 16、如下图所示，某公园有两段路，AB=175m,BC=125m,在这两段路上安路灯，要求A,B,C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装多少盏灯？【分析】175和125的最大公约数为25   以25m作为间隔铺设路灯，125=25×7，在AB上有7+1=8盏，125=25×5，BC上有5+1=6盏，其中B处重复一次，需要减去，故结果为13盏.17、将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为(       ),这些“好数”的最大公因数是（     ）。【分析】例举找规律：1位数只有6 ，2位数：相加直接得6的，有15、24、33、42、51、60 ，个位、十位数相加得15的，有：69、78、87、96…… 把这些数排成数列，可以看到 6、15、24、33、42…… 这是个前后两个数相差为9的等差数列 （2012-6）÷9 = 222……8 因此这个数列的尾项是6 + 9×222 = 2004 项数（个数）是（2004 - 6）÷9 + 1 = 223个。 答： 不超过2012的“好数”的个数为223，这些“好数”的最大公约数是3。18、自然数b与175的最大公因数记为d。如果176×（b-11×d+1)=5×d+1,则b=( 385   ).【分析】d是175的约数，175=5×5×7，所以d只在取1，5，7，25，35，175中的某一个。由176×（b-11×d+1)=5×d+1可知：5×d+1≧176，d≧35.d可取35，175.如取35，176×（b-11×35+1)=5×35+1，b=385.如d取175，176×（b-11×175+1)=5×175+1=876，b不是整数，所以175不合要求。答：b 是385,最大公因数是35.19、三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公因数之和的最大值是（     ）。【分析】126=2*3*3*7
我们可以把其中的约数6分解成6=1+2+3，也可以把7分解成7=1+2+4
(1) 126=21+42+63 此时两两的最大公约数之和为21+21+21=63
(2) 126=18+36+72 此时两两的最大公约数之和为 18+18+36=72
通过比较发现第二种情况的两两最大公约数之和最大，其值为7220、电子钟每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。问：下一次响铃又亮灯是几点钟？【分析】由题意可知，既响铃又亮灯的时间是9和60的公倍数。【9，60】=180，中午12点整既响铃又亮灯，说明下一次既响铃又亮灯的时间 是再过180分钟。180分=3时。答：下一次既响铃又亮灯是下午3时。21、已知a.b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60,a与c的最小公倍数是270.求b与c的最小公倍数。【分析】60=22×3×5，270=2×33×5.b有因数22，c有因数33.若因数5是b 和c都有的，则【b,c]=22×33×5=540；若因数5是a的，则【b,c]=22×33=108.答：b与c的最小公倍数可能是540，也可能是108.22、一个数分别除以1，，，所得的商都是自然数，这个数最小是（      ）【分析】，，这三个分数分母的最大公约数是7，分子的最小公倍数是60.这个数最小是。23、如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是（23     ）【分析】126=14×9.14+9=2324、两个自然数A,B的最小公倍数等于50，问A+B有多少种可能的数值。【分析】50=2×5×5，A,B的值可能取1，2，5，10，25，50.或A取50，B有1，2，5，10，25，50.6种可能 ，若A取25，则B有2、10两种取法。共8种可能的数值。25、若两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210.这两个自然数的和是77.则这两个自然数是（ 35    )和（     42        ）。【分析】设这两个自然数为A,B。（A,B)=7，我们可设A=7a，B=7b。则ab=210÷7=30，a+b=77÷7=11.可得出a=5,b=6..这两个自然数是5×7=35，6×7=4226、两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公因数，得到两个商的和是16.请写出这两个数。【分析】1925=5×5×7×11 由于商的和是16，看约数情况，这里只能是11+5=16 所以2个商应该是11和5，所以这两个数应该是5×7×5和5×7×11 这样除以最大公约数5×7就剩下5和11. 所以这两个数就是5×7×5=175和5×7×11=38527、如下图所示，鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A,B开始向另一端挖洞，老鼠对鼹鼠说：“你挖好后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖（     ）个洞？【分析】由于老鼠是“倒”着挖，挖洞的地点的个位数字不一定是0，或5，需要具体分析，所以把它作为突破口，老鼠挖洞的地点依次为152、147，147同时也是3的倍数，这样，依次往前递减15所得到的数一定既是3的倍数，也是5的倍数，因此一共少挖147÷[3，5]+1个洞．【分析】147÷（3×5）=9…12，
9+1=10（个）；
答：所以老鼠可以少挖10个洞．
 28、夜里下了一场大雪，早上，小明和爸爸一起步测花园里的一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印。那么这条小路长（       ）米。【分析】54和72的最小公倍数是216，216÷72=3，216÷54=4，即父3步明4步时脚印重合，也就是他们一共走了7步但只留下6个脚印。216厘米里有6个脚印。此时有60个脚印，那么这条路长是60÷6×216=2160厘米。29、若a,b,c是三个互不相等的大于0的自然数，且a+b+c=1155，则它们的最大公约数的最大值为（ 165     ），最小公倍数的最小值为（  660   ），最小公倍数的最大值为（     ）。【分析】1155=3×5×7×11=7×165=（1+2+4）×165 那么这三个数分别为1×165、2×165、4×165 三个数都含因数165，且165为第1个数的最大因子，所以最大公约数为165。 显然的，第3个数是前两个数的倍数，所以最小公倍数就应该是第3个数4×165=660 。要使最小公倍数尽可能大，应使这三个数两两互质且尽可能接近，我们可以找到这样三个数：383、385、387.它们 的最小公倍数为：383×385×387=5706508530、已知a与b的最大公因数是12，a与c最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300.那么满足上述条件的自然数a,b,c共有（ 30    ）组。（例：a=12,b=300,c=300这一组与a=300、b=12,c=300是不同的两个自然数组）【分析】首先a与b的最小公倍数为300/k, k为300/12=25的因子，
即可以是1,5,25三种可能，也就是说a与b的最小公倍数可以为300,60,12三种可能
即a与b 有（12,12），（12,60）（60,12），（12,300）（300,12）这五种可能
而C为25*m,m为12的因子（1,2,3,4,6,12）六种可能。
组合一下，一共30种。