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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理复习练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理复习练习题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(共 50 分)
1.3x+11x−15的展开式中的常数项为( )
A.14B.-14
C.16D.-16
【答案】A
【解析】
【分析】[来源:学&科&网]
把1x−15按照二项式定理展开，可得3x+11x−15的展开式中的常数项．
【详解】
解：∵ 3x+11x−15=3x+11x5−5x4+10x3−10x2+5x−1，
故它的展开式中的常数项为3×5+1×(−1)=14，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
2.将2−xn的展开式按x的升幂排列，若倒数第三项的系数是−40，则n的值是（ ）
A.4B.5C.6D.7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据通项公式，求得倒数第三项为Tn−1=Cnn−222−xn−2，再利用系数是−40求解.
【详解】
倒数第三项为Tn−1=Cnn−222−xn−2，
所以Cnn−222−1n−2=−40，
所以Cn222−1n−2=−40，
即n2−n−20=0，
解得n=5.
故选：B
【点睛】
本题主要考查二项式定理展开式项的系数及组合数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3.关于a−b10的说法，错误的是（ ）
A.展开式中的二项式系数之和为1024
B.展开式中第6项的二项式系数最大
C.展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
【答案】C
【解析】
【分析】
A. 根据二项式系数的性质，二项式系数之和为2n判断.
B. 根据二项式系数的性质，当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项来判断.
C. 根据二项式系数的性质，当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项来判断.
D. 根据二项式系数的性质和二项式系数和系数间的关系判断.
【详解】
由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1024，故A正确；
当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；
因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故D正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二项式系数的性质及与项的系数间的关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
4.若2x+15=a0+a1x+1+a2x+12+a3x+13+a4x+14+a5x+15，则a4=( )
A.10B.−10C.80D.−80
【答案】D
【解析】
【分析】
由2x+15=2x+1−15，利用二项式展开式的通项即可求解.
【详解】
2x+15=2x+1−15，通项Tr+1=C5r2x+15−r−1r，
故当r=1时，T1+1=C512x+15−1−11=−80x+14，所以a4=−80.
故选：D
【点睛】
本题考查了二项式的展开式，熟记展开式是解题的关键，属于基础题.
5.(1+2x−y2)8的展开式中x2y2项的系数是（ ）
A.420B.-420C.1680D.-1680
【答案】A
【解析】
【分析】
(1+2x−y2)8表示的是8个1+2x−y2相乘，要得到x2y2，则其中有2个因式取2x，有两个因式取−y2，其余4个因式都取1，然后算出即可.
【详解】
(1+2x−y2)8表示的是8个1+2x−y2相乘，
要得到x2y2，则其中有2个因式取2x，有两个因式取−y2
其余4个因式都取1
所以展开式中x2y2 项的系数是C8222C62(−12)2C44=420.
故选：A
【点睛】
本题考查的是二项式定理，属于典型题.
6.设1−3x9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，则a0+a1+a2+⋯+a9的值为（ ）
A.29B.49
C.39D.59
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二项式特点知，a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，令x=−1，得1+39=a0−a1+a2−a3+⋯+a8−a9=a0+a1+⋯+a9.
【详解】
因为a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，
令x=−1，得1+39=a0−a1+a2−a3+⋯+a8−a9=49，
a0+a1+⋯+a9=a0−a1+a2−a3+⋯+a8−a9=49
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7.在x−1xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（ ）
A.-126B.-70C.-56D.-28
【答案】C
【解析】
【分析】
根据只有第5项的二项式系数最大，得到n=8，再利用x−1x8的展开式的通项Tk+1=−1kC8kx8−32kk=0,1,2,⋯,8，分析二项式系数和项的系数间的关系求解.
【详解】
∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n=8，x−1x8的展开式的通项为Tk+1=C8kx8−k−1xk=−1kC8kx8−32kk=0,1,2,⋯,8，
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的展开式系数相等，
偶数项的二项式系数与相应偶数项的展开式系数互为相反数.
而展开式中第5项的二项式系数最大，
因此展开式第4项和第6项的系数相等且最小，
系数为−13C83=−56.
故选：C
【点睛】
本题主要考查二项式定理的展开式、通项公式以及二项式系数与项的系数间的关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8.设m为正整数，(x−y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x−y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=( )
A.5B.6C.7D.8[来源:ZXXK]
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b，即可求得m的值．
【详解】
∵m为正整数，由(x−y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=C2mm，
同理，由(x−y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b=C2m+1m+1．
再由13a=7b，可得13C2mm=7C2m+1m，即13×(2m)!m!⋅m!=7×(2m+1)!m!⋅(m+1)!，
即13=7×2m+1m+1，即13(m+1)=7(2m+1)，解得m=6，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二项式系数的性质的应用，考查组合数的计算公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力．
9.若(x2+1x3)n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( )
A.1B.5C.10D.20
【答案】C
【解析】
【分析】
由二项式(x2+1x3)n展开式的各项系数之和为32，求得n=5，再结合展开式的通项，即可求解常数项.
【详解】
由题意，二项式(x2+1x3)n展开式的各项系数之和为32，
令x=1，可得2n=32，解得n=5，
则二项式(x2+1x3)5展开式的通项为Tr+1=C5r(x2)r(1x3)5−r=C5rx5r−15，
令r=3，可得常数项为C53=10.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的系数的求法，以及二项展开式的通项是解答的关键.着重考查了计算能力，属于基础题.
10.已知数列an满足an+1=3an,a1=1，a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+⋯+an+1Cnn=64，则(x−1)(2x−1x)2n展开式中的常数项为（ ）
A.−160B.−80C.80D.160
【答案】D
【解析】
【分析】
根据an+1=3an，得数列an为等比数列，求得an=3n−1，再由a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+⋯+an+1Cnn=64，确定n，得到(x−1)(2x−1x)2n为(x−1)(2x−1x)6 ，然后利用通项公式求解.
【详解】
因为an+1=3an，
所以数列an为等比数列，
所以an=3n−1，
所以a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+⋯+an+1Cnn=30Cn0+31Cn1+32Cn2+⋯+3nCnn=(1+3)n=4n=64,，
解得n=3所以(x−1)(2x−1x)2n =(x−1)(2x−1x)6，
其中(2x−1x)6展开式的第r+1项为Tr+1=C6r(2x)6−r(−1x)r=(−1)r⋅C6r⋅26−r⋅x6−2r，
令6−2r=−1，得r=72（舍去），
令6−2r=0，得r=3 可得T4=(−1)3C63⋅23=−160，
所以二项式(x−1)(4x2+1x2−4)3展开式中常数项为−1×(−160)=160．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义及二项式定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题(共 25 分)
11.在二项式(x2−1x)6的展开式中，常数项是_______，所有二项式系数之和是_______.
【答案】 (1). 15 (2). 64
【解析】
【分析】
表示展开式中的第r+1项的表达式，令其未知项指数为零，求得r，再代入该项公式即可得解；给x赋特值-1，即可求得所有二项式系数之和.
【详解】
二项式(x2−1x)6的展开式的第r+1项为Tr+1=C6rx26−r−1xr=C6r−1r⋅x12−3r
令12−3r=0,r=4，所以常数项T5=C64−14=15
令x=−1，所有二项式系数之和为−12+116=64
【点睛】
本题考查求二项式展开式的常数项与所有二项式系数之和，属于中档题 .
12.在二项式x−12xn的展开式中，当且仅当第6项的二项式系数最大，则n=__________．
【答案】10
【解析】
【分析】
利用二项式定理的展开式的二项式系数的性质即可求出
【详解】
因为(x−12x)n的展开式中，当且仅当第6项的二项式系数最大
所以n=10
故答案为：10
【点睛】
本题考查的是二项式定理的知识，较简单.
13.在二项式(x+1ax2)5(a＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a的值是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
写出二项式(x+1ax2)5(a＞0)的展开式的通项公式，求出x﹣5的系数与常数项，令其相等，即得解.
【详解】
∵二项式(x+1ax2)5(a＞0)的展开式的通项公式为 Tr+1=C5r•(1a)r•x5-5r2，
令5-5r2=-5，求得r＝3，故展开式中x﹣5的系数为C53•(1a)3；
令5-5r2=0，求得r＝1，故展开式中的常数项为 C51•1a=5a，
由为C53•(1a)3=5•1a，可得a=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
14.已知(x2−y+2)n展开式的各项系数和为128，则展开式中含x4y3项的系数为______________.
【答案】−840
【解析】
【分析】
用赋值法令x=y=1，求出n，根据x4y3项的结构特征，即可求出其系数.
【详解】
令x=y=1得，2n=128，解得n=7，
将(x2-y+2)7看成7个x2-y+2相乘，
要得到含x4y3项，则这7个因式中2个因式取x2，
余下5个因式中3个取-y，余下2个因式取2，
所以含x4y3项的系数为C72C53(-1)3×22=-840.
故答案为:-840
【点睛】
本题考查赋值法求系数和，巧妙用组合思想求项的系数，减少计算量，属于中档题.
15.若(3x+1x2)n展开式中的各项系数之和为1024，则n=______，常数项为______.
【答案】 (1). 5 (2). 405
【解析】
【分析】
对二项式中的x赋值,令x=1,可得展开式的各项系数之和为4n,解得n=5,从而得到二项式的通项公式,再令通项公式中x的幂指数为0,即可求出常数项.
【详解】
在3x+1x2n中,令x=1,可得展开式的各项系数之和为:4n=1024,解得n=5,
所以3x+1x25的通项公式为:Tr+1=C5r(3x)5−r⋅(1x2)r=C5r⋅35−r⋅x5−5r2,
令5−5r2=0,得r=1,[来源:Z*xx*k.Cm]
所以常数项为:T2==C51⋅34=405,
故答案为:5;405.
【点睛】
本题主要应用赋值法求二项式的系数和及常数项,需要学生对二项展开式比较熟悉.
三、解答题(共 20 分)
16.在(2x−3y)10的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
【答案】（1）1024；（2）1；（3）奇数项的二项式系数和为29，偶数项的二项式系数和为29；（4）奇数项的系数和为1+5102，偶数项的系数和为1−5102；（5）x的奇次项系数和为1−5102，x的偶次项系数和为1+5102
【解析】
【分析】
设(2x−3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+⋅⋅⋅+a10y10，各项系数和为a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a10，奇数项系数和为a0+a2+⋅⋅⋅+a10，偶数项系数和为a1+a3+⋅⋅⋅+a9，奇次项系数和为a1+a3+⋅⋅⋅+a9，偶次项系数和为a0+a2+⋅⋅⋅+a10，再利用二项式定理的概念和赋值法求出相关系数和即可.
【详解】
设(2x−3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+⋅⋅⋅+a10y10，
各项系数和为a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a10，
奇数项系数和为a0+a2+⋅⋅⋅+a10，偶数项系数和为a1+a3+⋅⋅⋅+a9，
x的奇次项系数和为a1+a3+⋅⋅⋅+a9，x的偶次项系数和为a0+a2+⋅⋅⋅+a10
（1）二项式系数的和为C100+C101+C102+⋅⋅⋅+C1010=210=1024；
（2）令x=1，y=1，则2×1−3×110=1=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a10，
所以各项系数和为1；
（3）奇数项的二项式系数和为C100+C102+C104+⋅⋅⋅+C1010=29，
偶数项的二项式系数和为C101+C103+⋅⋅⋅+C109=29；
（4）由（2）知，a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a10=1①，取x=1，y=−1，
则2×1+3×110=510=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7+a8−a9+a10②，
所以奇数项的系数和a0+a2+⋅⋅⋅+a10=①+②2=1+5102，
偶数项的系数和a1+a3+⋅⋅⋅+a9=①-②2=1−5102；
（5）由（4）知，x的奇次项系数和为a1+a3+⋅⋅⋅+a9=①-②2=1−5102，[来源:学#科#网Z#X#X#K]
x的偶次项系数和为a0+a2+⋅⋅⋅+a10=①+②2=1+5102.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，注意二项式系数和系数的区别，考查利用赋值法求解系数的方法，属于中档题.
17.已知x+23xn展开式中的第3项与第2项二项式系数的比是4.
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项.
【答案】（1）n=9 （2）672x2、512x−3.
【解析】
【分析】
（1）根据二项式系数及第3项与第2项二项式系数比,结合组合数的计算公式,即可求得n的值.
（2）由二项展开式通项,展开化简后即可确定有理项.
【详解】
（1）x+23xn,第3项与第2项二项式系数的比是4
即Cn2:Cn1=4,
由组合数计算公式可得nn−12×1:n=4
化简可求得n=9
（2）x+23x9
根据二项展开式通项可得
Tr+1=C9r⋅x9−r23xr
=C9r⋅2r⋅x27−5r6
当27−5r6∈Z,r∈0,9,r∈Z
所以当r=3时, C93⋅23⋅x2=672x2
当r=9时, C99⋅29⋅x−3=512x−3
所以展开式中的有理项为672x2、512x−3.
【点睛】
本题考查二项展开式中二项式系数的概念,二项展开式通项的应用,有理项的确定,属于中档题.
18.已知2x−1x5.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）设2x−1x5的展开式中前三项的二项式系数之和为M，1−ax4的展开式中各项系数之和为N，若M=N，求实数a的值.
【答案】（1）T3=80x2,T4=−40x12
（2）3，-1
【解析】
【分析】
（1）当r=2或3时，二项式系数最大C52=C53=10，写出对应的项即得解；
（2）由题意：M=C50+C51+C52=16,N=(1−a)4，M=N即得解.
【详解】
（1）Tr+1=C5r(2x)5−r(−1x)r=(−1)r25−rC5rx5−32r，r=0,1,2...,5
当r=2或3时，二项式系数最大C52=C53=10
即：T3=80x2,T4=−40x12.
（2）由题意：M=C50+C51+C52=16,N=(1−a)4
若M=N，即16=(1−a)4∴a=3,−1
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
19.若1−12xn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，且a2=7.
（1）求1−12xn的展开式中二项式系数最大的项；
（2）求a1+2a2+22a3+23a4+⋯+2n−1an的值.
【答案】（1）358x4（2）−12
【解析】
【分析】
（1）由二项展开式通项公式得出a2，然后由a2=7求出n，根据二项式系数的性质得出最大项的项数，再求出该项即可；
（2）在展开式中令x=0可得a0，令x=2再结合a0可得结论．
【详解】
（1）因为T3=Cn2−12x2=14Cn2x2=a2x2，且a2=7，
所以14Cn2=n(n−1)8=7⇒(n−8)(n+7)=0，解得n=8或n=−7（舍），
故1−12xn的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为T5=C84−12x4=358x4；
（2）令x=0，可知a0=1，
令x=2，得0=a0+2a1+22a2+23a3+24a4+⋯+2nan，
所以2a1+22a2+23a3+24a4+⋯+2nan=−1，
故a1+2a2+22a3+23a4+⋯+2n−1an=122a1+22a2+23a3+24a4+⋯+2nan=−12.
【点睛】
本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，考查赋值法求系数的和．属于基本题型．
一、单选题(共 50 分)
1.3x+11x−15的展开式中的常数项为( )
A.14B.-14
C.16D.-16
【答案】A
【解析】
【分析】[来源:学&科&网]
把1x−15按照二项式定理展开，可得3x+11x−15的展开式中的常数项．
【详解】
解：∵ 3x+11x−15=3x+11x5−5x4+10x3−10x2+5x−1，
故它的展开式中的常数项为3×5+1×(−1)=14，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
2.将2−xn的展开式按x的升幂排列，若倒数第三项的系数是−40，则n的值是（ ）
A.4B.5C.6D.7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据通项公式，求得倒数第三项为Tn−1=Cnn−222−xn−2，再利用系数是−40求解.
【详解】
倒数第三项为Tn−1=Cnn−222−xn−2，
所以Cnn−222−1n−2=−40，
所以Cn222−1n−2=−40，
即n2−n−20=0，
解得n=5.
故选：B
【点睛】
本题主要考查二项式定理展开式项的系数及组合数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3.关于a−b10的说法，错误的是（ ）
A.展开式中的二项式系数之和为1024
B.展开式中第6项的二项式系数最大
C.展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
【答案】C
【解析】
【分析】
A. 根据二项式系数的性质，二项式系数之和为2n判断.
B. 根据二项式系数的性质，当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项来判断.
C. 根据二项式系数的性质，当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项来判断.
D. 根据二项式系数的性质和二项式系数和系数间的关系判断.
【详解】
由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1024，故A正确；
当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；
因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故D正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二项式系数的性质及与项的系数间的关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
4.若2x+15=a0+a1x+1+a2x+12+a3x+13+a4x+14+a5x+15，则a4=( )
A.10B.−10C.80D.−80
【答案】D
【解析】
【分析】
由2x+15=2x+1−15，利用二项式展开式的通项即可求解.
【详解】
2x+15=2x+1−15，通项Tr+1=C5r2x+15−r−1r，
故当r=1时，T1+1=C512x+15−1−11=−80x+14，所以a4=−80.
故选：D
【点睛】
本题考查了二项式的展开式，熟记展开式是解题的关键，属于基础题.
5.(1+2x−y2)8的展开式中x2y2项的系数是（ ）
A.420B.-420C.1680D.-1680
【答案】A
【解析】
【分析】
(1+2x−y2)8表示的是8个1+2x−y2相乘，要得到x2y2，则其中有2个因式取2x，有两个因式取−y2，其余4个因式都取1，然后算出即可.
【详解】
(1+2x−y2)8表示的是8个1+2x−y2相乘，
要得到x2y2，则其中有2个因式取2x，有两个因式取−y2
其余4个因式都取1
所以展开式中x2y2 项的系数是C8222C62(−12)2C44=420.
故选：A
【点睛】
本题考查的是二项式定理，属于典型题.
6.设1−3x9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，则a0+a1+a2+⋯+a9的值为（ ）
A.29B.49
C.39D.59
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二项式特点知，a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，令x=−1，得1+39=a0−a1+a2−a3+⋯+a8−a9=a0+a1+⋯+a9.
【详解】
因为a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，
令x=−1，得1+39=a0−a1+a2−a3+⋯+a8−a9=49，
a0+a1+⋯+a9=a0−a1+a2−a3+⋯+a8−a9=49
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7.在x−1xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（ ）
A.-126B.-70C.-56D.-28
【答案】C
【解析】
【分析】
根据只有第5项的二项式系数最大，得到n=8，再利用x−1x8的展开式的通项Tk+1=−1kC8kx8−32kk=0,1,2,⋯,8，分析二项式系数和项的系数间的关系求解.
【详解】
∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n=8，x−1x8的展开式的通项为Tk+1=C8kx8−k−1xk=−1kC8kx8−32kk=0,1,2,⋯,8，
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的展开式系数相等，
偶数项的二项式系数与相应偶数项的展开式系数互为相反数.
而展开式中第5项的二项式系数最大，
因此展开式第4项和第6项的系数相等且最小，
系数为−13C83=−56.
故选：C
【点睛】
本题主要考查二项式定理的展开式、通项公式以及二项式系数与项的系数间的关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8.设m为正整数，(x−y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x−y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=( )
A.5B.6C.7D.8[来源:ZXXK]
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b，即可求得m的值．
【详解】
∵m为正整数，由(x−y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=C2mm，
同理，由(x−y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b=C2m+1m+1．
再由13a=7b，可得13C2mm=7C2m+1m，即13×(2m)!m!⋅m!=7×(2m+1)!m!⋅(m+1)!，
即13=7×2m+1m+1，即13(m+1)=7(2m+1)，解得m=6，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二项式系数的性质的应用，考查组合数的计算公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力．
9.若(x2+1x3)n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( )
A.1B.5C.10D.20
【答案】C
【解析】
【分析】
由二项式(x2+1x3)n展开式的各项系数之和为32，求得n=5，再结合展开式的通项，即可求解常数项.
【详解】
由题意，二项式(x2+1x3)n展开式的各项系数之和为32，
令x=1，可得2n=32，解得n=5，
则二项式(x2+1x3)5展开式的通项为Tr+1=C5r(x2)r(1x3)5−r=C5rx5r−15，
令r=3，可得常数项为C53=10.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的系数的求法，以及二项展开式的通项是解答的关键.着重考查了计算能力，属于基础题.
10.已知数列an满足an+1=3an,a1=1，a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+⋯+an+1Cnn=64，则(x−1)(2x−1x)2n展开式中的常数项为（ ）
A.−160B.−80C.80D.160
【答案】D
【解析】
【分析】
根据an+1=3an，得数列an为等比数列，求得an=3n−1，再由a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+⋯+an+1Cnn=64，确定n，得到(x−1)(2x−1x)2n为(x−1)(2x−1x)6 ，然后利用通项公式求解.
【详解】
因为an+1=3an，
所以数列an为等比数列，
所以an=3n−1，
所以a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+⋯+an+1Cnn=30Cn0+31Cn1+32Cn2+⋯+3nCnn=(1+3)n=4n=64,，
解得n=3所以(x−1)(2x−1x)2n =(x−1)(2x−1x)6，
其中(2x−1x)6展开式的第r+1项为Tr+1=C6r(2x)6−r(−1x)r=(−1)r⋅C6r⋅26−r⋅x6−2r，
令6−2r=−1，得r=72（舍去），
令6−2r=0，得r=3 可得T4=(−1)3C63⋅23=−160，
所以二项式(x−1)(4x2+1x2−4)3展开式中常数项为−1×(−160)=160．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义及二项式定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题(共 25 分)
11.在二项式(x2−1x)6的展开式中，常数项是_______，所有二项式系数之和是_______.
【答案】 (1). 15 (2). 64
【解析】
【分析】
表示展开式中的第r+1项的表达式，令其未知项指数为零，求得r，再代入该项公式即可得解；给x赋特值-1，即可求得所有二项式系数之和.
【详解】
二项式(x2−1x)6的展开式的第r+1项为Tr+1=C6rx26−r−1xr=C6r−1r⋅x12−3r
令12−3r=0,r=4，所以常数项T5=C64−14=15
令x=−1，所有二项式系数之和为−12+116=64
【点睛】
本题考查求二项式展开式的常数项与所有二项式系数之和，属于中档题 .
12.在二项式x−12xn的展开式中，当且仅当第6项的二项式系数最大，则n=__________．
【答案】10
【解析】
【分析】
利用二项式定理的展开式的二项式系数的性质即可求出
【详解】
因为(x−12x)n的展开式中，当且仅当第6项的二项式系数最大
所以n=10
故答案为：10
【点睛】
本题考查的是二项式定理的知识，较简单.
13.在二项式(x+1ax2)5(a＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a的值是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
写出二项式(x+1ax2)5(a＞0)的展开式的通项公式，求出x﹣5的系数与常数项，令其相等，即得解.
【详解】
∵二项式(x+1ax2)5(a＞0)的展开式的通项公式为 Tr+1=C5r•(1a)r•x5-5r2，
令5-5r2=-5，求得r＝3，故展开式中x﹣5的系数为C53•(1a)3；
令5-5r2=0，求得r＝1，故展开式中的常数项为 C51•1a=5a，
由为C53•(1a)3=5•1a，可得a=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
14.已知(x2−y+2)n展开式的各项系数和为128，则展开式中含x4y3项的系数为______________.
【答案】−840
【解析】
【分析】
用赋值法令x=y=1，求出n，根据x4y3项的结构特征，即可求出其系数.
【详解】
令x=y=1得，2n=128，解得n=7，
将(x2-y+2)7看成7个x2-y+2相乘，
要得到含x4y3项，则这7个因式中2个因式取x2，
余下5个因式中3个取-y，余下2个因式取2，
所以含x4y3项的系数为C72C53(-1)3×22=-840.
故答案为:-840
【点睛】
本题考查赋值法求系数和，巧妙用组合思想求项的系数，减少计算量，属于中档题.
15.若(3x+1x2)n展开式中的各项系数之和为1024，则n=______，常数项为______.
【答案】 (1). 5 (2). 405
【解析】
【分析】
对二项式中的x赋值,令x=1,可得展开式的各项系数之和为4n,解得n=5,从而得到二项式的通项公式,再令通项公式中x的幂指数为0,即可求出常数项.
【详解】
在3x+1x2n中,令x=1,可得展开式的各项系数之和为:4n=1024,解得n=5,
所以3x+1x25的通项公式为:Tr+1=C5r(3x)5−r⋅(1x2)r=C5r⋅35−r⋅x5−5r2,
令5−5r2=0,得r=1,[来源:Z*xx*k.Cm]
所以常数项为:T2==C51⋅34=405,
故答案为:5;405.
【点睛】
本题主要应用赋值法求二项式的系数和及常数项,需要学生对二项展开式比较熟悉.
三、解答题(共 20 分)
16.在(2x−3y)10的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
【答案】（1）1024；（2）1；（3）奇数项的二项式系数和为29，偶数项的二项式系数和为29；（4）奇数项的系数和为1+5102，偶数项的系数和为1−5102；（5）x的奇次项系数和为1−5102，x的偶次项系数和为1+5102
【解析】
【分析】
设(2x−3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+⋅⋅⋅+a10y10，各项系数和为a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a10，奇数项系数和为a0+a2+⋅⋅⋅+a10，偶数项系数和为a1+a3+⋅⋅⋅+a9，奇次项系数和为a1+a3+⋅⋅⋅+a9，偶次项系数和为a0+a2+⋅⋅⋅+a10，再利用二项式定理的概念和赋值法求出相关系数和即可.
【详解】
设(2x−3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+⋅⋅⋅+a10y10，
各项系数和为a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a10，
奇数项系数和为a0+a2+⋅⋅⋅+a10，偶数项系数和为a1+a3+⋅⋅⋅+a9，
x的奇次项系数和为a1+a3+⋅⋅⋅+a9，x的偶次项系数和为a0+a2+⋅⋅⋅+a10
（1）二项式系数的和为C100+C101+C102+⋅⋅⋅+C1010=210=1024；
（2）令x=1，y=1，则2×1−3×110=1=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a10，
所以各项系数和为1；
（3）奇数项的二项式系数和为C100+C102+C104+⋅⋅⋅+C1010=29，
偶数项的二项式系数和为C101+C103+⋅⋅⋅+C109=29；
（4）由（2）知，a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a10=1①，取x=1，y=−1，
则2×1+3×110=510=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7+a8−a9+a10②，
所以奇数项的系数和a0+a2+⋅⋅⋅+a10=①+②2=1+5102，
偶数项的系数和a1+a3+⋅⋅⋅+a9=①-②2=1−5102；
（5）由（4）知，x的奇次项系数和为a1+a3+⋅⋅⋅+a9=①-②2=1−5102，[来源:学#科#网Z#X#X#K]
x的偶次项系数和为a0+a2+⋅⋅⋅+a10=①+②2=1+5102.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，注意二项式系数和系数的区别，考查利用赋值法求解系数的方法，属于中档题.
17.已知x+23xn展开式中的第3项与第2项二项式系数的比是4.
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项.
【答案】（1）n=9 （2）672x2、512x−3.
【解析】
【分析】
（1）根据二项式系数及第3项与第2项二项式系数比,结合组合数的计算公式,即可求得n的值.
（2）由二项展开式通项,展开化简后即可确定有理项.
【详解】
（1）x+23xn,第3项与第2项二项式系数的比是4
即Cn2:Cn1=4,
由组合数计算公式可得nn−12×1:n=4
化简可求得n=9
（2）x+23x9
根据二项展开式通项可得
Tr+1=C9r⋅x9−r23xr
=C9r⋅2r⋅x27−5r6
当27−5r6∈Z,r∈0,9,r∈Z
所以当r=3时, C93⋅23⋅x2=672x2
当r=9时, C99⋅29⋅x−3=512x−3
所以展开式中的有理项为672x2、512x−3.
【点睛】
本题考查二项展开式中二项式系数的概念,二项展开式通项的应用,有理项的确定,属于中档题.
18.已知2x−1x5.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）设2x−1x5的展开式中前三项的二项式系数之和为M，1−ax4的展开式中各项系数之和为N，若M=N，求实数a的值.
【答案】（1）T3=80x2,T4=−40x12
（2）3，-1
【解析】
【分析】
（1）当r=2或3时，二项式系数最大C52=C53=10，写出对应的项即得解；
（2）由题意：M=C50+C51+C52=16,N=(1−a)4，M=N即得解.
【详解】
（1）Tr+1=C5r(2x)5−r(−1x)r=(−1)r25−rC5rx5−32r，r=0,1,2...,5
当r=2或3时，二项式系数最大C52=C53=10
即：T3=80x2,T4=−40x12.
（2）由题意：M=C50+C51+C52=16,N=(1−a)4
若M=N，即16=(1−a)4∴a=3,−1
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
19.若1−12xn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，且a2=7.
（1）求1−12xn的展开式中二项式系数最大的项；
（2）求a1+2a2+22a3+23a4+⋯+2n−1an的值.
【答案】（1）358x4（2）−12
【解析】
【分析】
（1）由二项展开式通项公式得出a2，然后由a2=7求出n，根据二项式系数的性质得出最大项的项数，再求出该项即可；
（2）在展开式中令x=0可得a0，令x=2再结合a0可得结论．
【详解】
（1）因为T3=Cn2−12x2=14Cn2x2=a2x2，且a2=7，
所以14Cn2=n(n−1)8=7⇒(n−8)(n+7)=0，解得n=8或n=−7（舍），
故1−12xn的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为T5=C84−12x4=358x4；
（2）令x=0，可知a0=1，
令x=2，得0=a0+2a1+22a2+23a3+24a4+⋯+2nan，
所以2a1+22a2+23a3+24a4+⋯+2nan=−1，
故a1+2a2+22a3+23a4+⋯+2n−1an=122a1+22a2+23a3+24a4+⋯+2nan=−12.
【点睛】
本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，考查赋值法求系数的和．属于基本题型．
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