高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课时训练

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6.3.2二项式系数的性质


1. 的展开式中各项的二项式系数之和为（ ）


A． B．512 C． D．1


【答案】B[来源:Z|xx|k.Cm]


【解析】展开式中所有项的二项系数和为.


的展开式中各项的二项式系数之和为


故答案选B


2．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，若，则的值为（ ）


A． B． C． D．


【答案】B


【解析】展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，，


令，则，令，则，


，


令，则.


故选：B.


3．已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）


A．展开式中奇数项的二项式系数和为256


B．展开式中第6项的系数最大


C．展开式中存在常数项


D．展开式中含项的系数为45


【答案】BCD


【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,


又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,


所以二项式为,


则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；


由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,


因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；


若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；


由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,


故选: BCD


4.在的展开式中，第3项与第4项的二项式系数相等，则的系数等于（ ）


A．672 B． C．80 D．[来源:学_科_网Z_X_X_K]


【答案】D


【解析】由二项展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，得，


所以，令，，


∴所求系数为．故选：C.


5.（★★）若展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是__________.


【答案】135


【解析】由题知展开式的二项式系数之和是，


故有，


可得，


知当时有.


故展开式中的常数项为.


6． 的展开式中二项式系数最大的项的系数为_________（用数字作答）.


【答案】5670[来源:ZXXK]


【解析】二项展开式一共有项，所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项，系数为.


故答案为：5670


7. 早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知（ax﹣1）6的展开式中x3的系数为﹣160，则实数a＝ ；展开式中各项系数之和为 ．（用数字作答）


【答案】2 ,1


【解析】由于（ax﹣1）6展开式的通项公式为 Tr+1＝•a6﹣r•x6﹣r•（﹣1）r，


令6﹣r＝3，解得r＝3，故（ax﹣1）6展开式中x3的系数为•a3＝﹣160，解得a＝2，


故（ax﹣1）6＝（2x﹣1）6 展开式中各项系数和为 （2﹣1）6＝1，故答案为：2，1．


8．已知的展开式中前三项的系数成等差数列.


(1)求展开式的二项式系数的和；


(2)求展开式中含的项.


【解析】二项展开式的通项公式为：


展开式前三项的系数依次为，，


，整理可得：


解得：（舍）或


二项展开式的通项公式为：


（1）二项展开式的二项式系数的和为：


（2）令，解得：


展开式中含的项为


9.设＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm，若a0，a1，a2成等差数列.


(1)求展开式的中间项；


(2)求展开式中所有含x奇次幂的系数和.


【解析】(1)依题意a0＝1，a1＝，a2＝.


由2a1＝a0＋a2，求得m＝8或m＝1(应舍去)，


所以展开式的中间项是第五项，


T5＝＝x4.


(2)∵＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋amxm，[来源:]


即＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8.


令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝，


令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝，


所以a1＋a3＋a5＋a9＝，


所以展开式中x的奇次幂的系数和为.


10.（本小题满分12分）（2020·黑龙江省双鸭山一中高二期末）已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7，


(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；


(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)


(3)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求.[来源:]


【解析】(1)根据题意得：，


即m＋n＝7，①


f(x)中的x2的系数为


＝.


将①变形为n＝7－m代入上式得：x2的系数为m2－7m＋21＝＋，


故当m＝3，或m＝4时，x2的系数的最小值为9.


当m＝3、n＝4时，x3的系数为＝5；


当m＝4、n＝3时，x3的系数为＝5.


(2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3


＝×0.003＋×0.003＝2.02.


(3)由题意可得a＝＝70，再根据


即


求得r＝5或6，此时，b＝7×28，∴.