人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理本章综合与测试练习

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(时间：120分钟 满分：150分)


单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）


1.（2020·辽宁省辽师大附中高二期中）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}.现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合( )


A.24个 B.36个 C.26个 D.27个


【答案】C


【解析】从三个集合中取出两个集合，有＝3种取法，


分别是集合A、B；集合A、C；集合B、C.


当取出集合A、B时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有＝12(个)；


当取出集合A、C时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有＝8(个)；


当取出集合B、C时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有＝6(个)；


∵集合A、B、C的元素各不相同，∴一共可以组成12＋8＋6＝26(个)集合.故选C.


2.若实数a＝2－，则a10－2a9＋22a8－…＋210等于( )


A.32 B.－32 C.1 024 D.512


【答案】A


【解析】由二项式定理，得：a10－2a9＋22a8－…＋210＝(－2)0a10＋(－2)1a9＋(－2)2a8＋…＋(－2)10＝(a－2)10＝(－)10＝25＝32.


3.（2020·陕西省长安一中高二月考）计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( )


A.B.


C. D.


【答案】D


【解析】先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有种放法，再考虑4幅油画本身排放有种方法，5幅国画本身排放有种方法，故不同的陈列法有种.[来源:ZXXK]


4.（2020·大连第一中学分校高二月考）在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x－2项的系数为( )


A.2 B.4 C.1 D.16


【答案】C


【解析】由题意可得2n、·2n－1、·2n－2成等差数列，∴2·2n－1＝2n＋·2n－2，解得n＝8.故展开式的通项公式为Tr＋1＝·28－r·，令4－＝－2，求得r＝8，故该二项式展开式中x－2项的系数为·20＝1，故选C.


5.由数字0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( )


A.72 B.60 C.48 D.52


【答案】B[来源:学*科*网]


【解析】只考虑奇偶相间，则有2种不同的排法，其中0在首位的有种不合题意，所以共有2－＝60(种).


6.（2020·江苏省扬州中学高二期中）用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色给如图所示的四连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为( )





A.28 B.32 C.44 D.56


【答案】C


【解析】根据题意，红色至少要涂两个圆，而且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则红色只能涂第一、三个圆、第二、四个圆或第一、四个圆，


分3种情况讨论：


①用红色涂第一、三个圆，


此时第2个圆不能为红色，有4种涂色方法，第4个圆也不能为红色，有4种涂色方法，则此时共有4×4＝16(种)涂色方案；


②同理，当用红色涂第二、四个圆也有16种涂色方案；


③用红色涂第一、四个圆，


此时需要在剩下的4种颜色中，任取2种，涂在第二、三个圆中，有＝12种涂色方案.


则一共有16＋16＋12＝44(种)不同的涂色方案.


7．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考）某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，则不同的选派方案共( )


A.243种 B.210种


C.150种 D.125种


【答案】C


【解析】3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，于是可以把5个村为(1,1,3)和(1,2, 2)两组，


当为(1,1,3)时，有＝60(种)，


当为(1,2,2)时，有·＝90(种)，根据分类加法计数原理可得60＋90＝150(种).


8.（2020·吉林省实验高二期中）如图为与杨辉三角结构相似的“巴斯卡”三角，这个三角的构造方法是：除第一行为1外，其余各行中的每一个数，都等于它右肩上的数乘以右肩所在的行数，再加上左肩而得.例如第5行第3个数是35，它的右肩为6，左肩为11，右肩所在的行数为4，所以35＝6×4＋11.这个三角中的数与下面这个展开式中的系数有关：x(x＋1)(x＋2)…[x＋(n－1)]＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x.则在“巴斯卡”三角中，第8行从左到右的第2个数到第7个数之和为( )





A.322 559 B.35 279


C.5 880 D.322 560


【答案】B


【解析】由已知中“巴斯卡”三角的前5行可得：


第n行的第一个数为(n－1)！，


故第8行的第一个数为7！，


第9行的第一个数为8！，


又由第一行的累加和等于第二行的第一个数；


第二行的累加和等于第三行的第一个数；


第三行的累加和等于第四行的第一个数；


第四行的累加和等于第五行的第一个数；


……


故第8行的所有数的和为第9行的第一个数8！，


设第8行从左到右的第2个数到第7个数之和为S，


则S＋7！＋1＝8！，故S＝8！－7！－1＝35 279.


二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）


9．下列问题属于排列问题的是（ ）


A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从10个人中选2人去扫地


C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算


【答案】AD


【解析】根据题意，依次分析选项：


对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题，


对于B，从10个人中选2人去扫地，选出的2人没有不同，是组合问题，


对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，选出的5人没有不同，是组合问题，


对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题；故选：AD．


10．若，则m的取值可能是（ ）


A．6B．7C．8D．9


【答案】BC


【解析】根据题意，对于和，有0≤m﹣1≤8且0≤m≤8，则有1≤m≤8，


若，则有 ，


变形可得：m＞27﹣3m，解可得：m＞ ，综合可得：＜m≤8，则m＝7或8；故选：BC．


11．（2020·梅河口市第五中学高二月考）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的（ ）


A．B．


C．D．18


【答案】BC


【解析】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，


有2种解法：（1）分2步进行分析：


①、先将四个不同的小球分成3组，有C42种分组方法；


②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33种放法；则没有空盒的放法有种；


（2）分2步进行分析：


①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况


②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A22种放法；则没有空盒的放法有种；故选：BC．


12．（2020·吉林省长春市实验中学高二期末）关于（a﹣b）11的说法，正确的是（ ）


A．展开式中的二项式系数之和为2048 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大


C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小


【答案】ACD


【解析】对于A：二项式系数之和为211＝2048，故A正确；


对于B、C：展开式共12项，中间第6、7项的二项式系数最大，故B错误，C正确；


对于D：展开式中各项的系数为 ，k＝0，1，……，11易知当k＝5时，该项的系数最小．故D正确．[来源:Z#xx#k.Cm]


故选：ACD．


三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）


13.（2020·抚顺市第十九中学高二期中）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育排在下午(后2节)，不同的排法种数是________.


【答案】129


【解析】由题意，要求数学课排在上午(前4节)，体育课排在下午(后2节)，有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,2)＝8(种).


再排其余4节，有＝24(种)，


根据乘法原理，共有8×24＝192(种)方法.


14.若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋…＋1，且a＝3b，则n＝________.


【答案】11


【解析】a＝，b＝，


由a＝3b得n＝11.


15.（2020·湖南省长郡中学高二月考）由1,4, 5，x可组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位数字之和为288，则x的值为________.


【答案】2


【解析】当x≠0时，有＝24个四位数，


每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x


故24(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2；


当x＝0时，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不合题意，


综上可知x＝2.


16.（2020·首都师范大学附属中学高二期中）早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知（ax﹣1）6的展开式中x3的系数为﹣160，则实数a＝ ；展开式中各项系数之和为 ．（用数字作答）


【答案】2 ,1


【解析】由于（ax﹣1）6展开式的通项公式为 Tr+1＝•a6﹣r•x6﹣r•（﹣1）r，


令6﹣r＝3，解得r＝3，故（ax﹣1）6展开式中x3的系数为•a3＝﹣160，解得a＝2，


故（ax﹣1）6＝（2x﹣1）6 展开式中各项系数和为 （2﹣1）6＝1，故答案为：2，1．


四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)


17.（本小题满分10分）（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三月考）某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血共有9人，AB型血共有3人.


(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？


(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？


【解析】从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.


(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47(种)不同的选法.


(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292(种)不同的选法.


18.（本小题满分12分）（2020·四川省绵阳南山中学高二期末）为了下一次的航天飞行，现准备从10名预备队员(其中男6人，女4人)中选4人参加“神舟十一号”的航天任务.


(1)若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？


(2)若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？


(3)若选中的四个航天员被分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？


【解析】(1)若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选即可，即有＝28种.


(2)至少两名男航天员，可分为2名，3名，4名三类，利用分类加法计数原理可得＋＋＝185(种).


(3)先选4名航天员，然后把这4名航天员分2,1,1三组，再分配到A，B，C三个实验室去，


共有＝7 560(种).


19.（本小题满分12分）（2020·吉林省东北师大附中高二期中）已知(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，并且(a2＋1)n的展开式中系数最大的项等于54，求a的值.


【解析】展开式的常数项为


＝16.


(a2＋1)n展开式的系数之和2n＝16，n＝4.


∴(a2＋1)n展开式的系数最大的项为(a2)2×12＝6a4＝54，∴a＝±.[来源:学*科*网]


20.（本小题满分12分）（2020·辽宁省大连八中高三期中）设＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm，若a0，a1，a2成等差数列.


(1)求展开式的中间项；


(2)求展开式中所有含x奇次幂的系数和.


【解析】(1)依题意a0＝1，a1＝，a2＝Ceq \\al(2,m).


由2a1＝a0＋a2，求得m＝8或m＝1(应舍去)，


所以展开式的中间项是第五项，


T5＝＝x4.


(2)∵＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋amxm，


即＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8.


令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝，


令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝，


所以a1＋a3＋a5＋a9＝，


所以展开式中x的奇次幂的系数和为.


21.（本小题满分12分）（2020·黑龙江省双鸭山一中高二期末）已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7，


(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；


(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)


(3)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求.


【解析】(1)根据题意得：，


即m＋n＝7，①


f(x)中的x2的系数为


＝.


将①变形为n＝7－m代入上式得：x2的系数为m2－7m＋21＝＋，


故当m＝3，或m＝4时，x2的系数的最小值为9.


当m＝3、n＝4时，x3的系数为＝5；


当m＝4、n＝3时，x3的系数为＝5.


(2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3


＝×0.003＋×0.003＝2.02.


(3)由题意可得a＝＝70，再根据


即


求得r＝5或6，此时，b＝7×28，∴.


22.（本小题满分12分）（2020·青冈县第一中学校高二期末）用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题.


(1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；


(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；


(3)若直线方程ax＋by＝0中的a，b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？


【解析】(1)5×6×6×6×3＝3 240(个).


(2)当首位数字是5，而末位数字是0时，


有＝18(个)；


当首位数字是3，而末位数字是0或5时，


有＝48(个)；


当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，


有＝108(个)；


故共有18＋48＋108＝174(个).


(3)a，b中有一个取0时，有2条；


a，b都不取0时，有＝20(条)；


a＝1，b＝2与a＝2，b＝4重复，


a＝2，b＝1与a＝4，b＝2重复.


故共有2＋20－2＝20(条).