高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用学案，共15页。学案主要包含了极值点与极值的概念，求函数极值的步骤等内容，欢迎下载使用。

一、极值点与极值的概念


1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递增，f′(x)__>__0，右侧f(x)单调递减，f′(x)__<__0，在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f′(a)__＝__0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有__(c，f(c))__，(e，f(e))，与b类似的点还有__(d，f(d))__.





我们把点a叫做函数f(x)的极__大__值点，f(a)是函数的一个极__大__值；把点b叫做函数f(x)的极__小__值点，f(b)是函数的一个极__小__值．


一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于x0附近的所有点x，如果都有__f(x)f(x0)__，则称函数f(x)在点x0处取得__极小值__，并把x0称为函数f(x)的一个__极小值点__.极大值与极小值统称为__极值__，极大值点与极小值点统称为__极值点__.


极值的定义


(1)极大值与极小值统称为极值．


(2)极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质．


三、求函数极值的步骤


(1)确定函数的定义域；


(2)求导数f′(x)；


(3)求方程f′(x)＝0的全部实根；


(4)检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．


注意：可导函数的极值点一定是其导数为零的点；反之，导数为零的点不一定是该函数的极值点，因此导数为零的点(又称驻点、可疑点)仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这点两侧的导数异号．








技巧1 利用导数求函数的极值


例1、求下列函数的极值，并画出函数的草图：


(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝eq \f(lnx,x).


【解】 (1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.


令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.


当x变化时，y′，y的变化情况如下表：


∴当x＝0时，y有极小值且y极小值＝0.


函数的草图如图所示：





(2)函数f(x)＝eq \f(lnx,x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq \f(1－lnx,x2).


令f′(x)＝0，解得x＝e.


当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：


因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝eq \f(1,e)，没有极小值．


函数的草图如图所示：





『规律总结』 利用导数求函数极值的步骤：


(1)确定函数的定义域．


(2)求导数f′(x)．


(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．


(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．


(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．


例2、设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.求f(x)的极值；


[解析] f ′(x)＝3x2－2x－1.


令f ′(x)＝0，则x＝－eq \f(1,3)或x＝1.


当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：


所以f(x)的极大值是f(－eq \f(1,3))＝eq \f(5,27)＋a，


极小值是f(1)＝a－1.


技巧2 求参数的值或取值范围问题


例3、已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值．


[思路分析] 本题的关键是理解“f(x)在x＝±1处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x＝±1是方程f′(x)＝0的两个根且在根x＝±1处f′(x)取值左、右异号．


[解析] f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．


由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，


于是f′(x)＝5ax2(x2－1)


(1)当a＞0时，x变化时，y、y′的变化情况如下表：


由表可知：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝f－1＝－a＋b＋c，,0＝f1＝a－b＋c.))


又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.


(2)当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.


综上，a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.


『规律总结』 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：


(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．


(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．


例4、已知函数f(x)＝eq \f(ax－a,ex)(a∈R，a≠0)．


(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；


(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．


[解析] (1)当a＝－1时，f(x)＝eq \f(－x＋1,ex)，f ′(x)＝eq \f(x－2,ex).


由f ′(x)＝0，得x＝2.当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：


所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－eq \f(1,e2)，


函数f(x)无极大值．


(2)F′(x)＝f ′(x)＝eq \f(aex－ax－aex,e2x)＝eq \f(－ax－2,ex).


①当a<0时，F(x)，f′(x)的变化情况如下表：


若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝eq \f(a,e2)＋1>0，


解得a>－e2，所以此时－e2

②当a>0时，F(x)，f′(x)的变化情况如下表：


当x>2时，F(x)＝eq \f(ax－1,ex)＋1>1，


当x<2时，令F(x)＝eq \f(ax－1,ex)＋1<0，即a(x－1)＋ex<0，


由于a(x－1)＋ex

令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－eq \f(e2,a)，


即x≤1－eq \f(e2,a)时，F(x)<0，所以F(x)总存在零点．


综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．





一、选择题


1．已知函数，则有（ ）


A．极小值-1B．极大值-1C．极小值点-1D．极大值点-1


【答案】A


【解析】


【分析】


先求得导函数,令求得极值点.判断极值点左右两侧的单调性,即可判断是极大值还是极小值,代入函数求得极值即可.


【详解】


函数，则


令,解得


当时,,则在时单调递减


当时,,则在时单调递增


所以在处取极小值,极小值为


故选:A


【点睛】


本题考查了利用导数求函数的极值与极值点,属于基础题.


2．函数fx的定义域为R，导函数f'x的图象如图所示，则函数fx( )





A．无极大值点、有四个极小值点 B．有一个极大值点、两个极小值点


C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点


【答案】C


【解析】


【分析】


设导函数f'x的图象与x轴的交点从左到右依次为x1，x2，x3，x4，写出函数的单调区间即得极值点.


【详解】


设导函数f'x的图象与x轴的交点从左到右依次为x1，x2，x3，x4，


所以函数f（x）的单调增区间为（-∞,x1),(x2,x3),(x4，+∞），单调减区间为(x1,x2),(x3,x4)，


所以函数有两个极大值点x1，x3，两个极小值点x2，x4.


故选：C


【点睛】


本题主要考查函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.


3．己知函数，在处取得极大值，则实数的值是（ ）


A．B．2C．2或6D．6


【答案】D


【解析】


【分析】


由题意可得，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.


【详解】


函数的导数为，


由在处有极大值，即有，即，


解得或6， 若时，，可得或，


由在处导数左负右正，取得极小值，


若，，可得或2 ，


由在处导数左正右负，取得极大值. 综上可得.


所以D选项是正确的.


【点睛】


本题考查利用导数研究函数的极值，根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性，属基础题.


4．已知f(x)＝x2－cs x，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是( )


A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值，又有最小值的偶函数


C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值，又有最小值的奇函数


【答案】D


【解析】


试题分析：因为，依题意可知该函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，另一方面，因为，所以，所以，故在单调递增，最大值为，最小值为，综上可知选D.


考点：1.函数的单调性与极值；2.函数的奇偶性.


填空题


5．为函数的一个极值点，则函数的极小值为__________．


【答案】0


【解析】


∵，∴。


∵为函数的一个极值点，


∴，解得。


当时，。∴当或时，单调递增，


当时，单调递减。∴当时，有极大值，且极大值为。


答案：0.


6．若函数的极小值为2，则实数的值为______．


【答案】2


【解析】


【分析】


先求出函数的单调区间，再求出函数的极小值点得解.


【详解】


由题得，


由得函数的增区间为，


由得函数的减区间为，所以当x=0时，函数取极小值，


所以.


故答案为：2


【点睛】


本题主要考查函数的极值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.


7．若函数在内有极小值，则实数的取值范围是__________．


【答案】


【解析】


【分析】


由题意知，f′（0）＜0，f′（1）＞0，解不等式组求得实数b的取值范围．


【详解】


解：由题意得，函数f（x）＝x3﹣6bx+3b 的导数为 f′（x）＝3x2﹣6b 在（0，1）内有零点，


且 f′（0）＜0，f′（1）＞0． 即﹣6b＜0，且 （3﹣6b）＞0．∴0＜b，


故答案为：．


点评：简单题，由二次函数的极小值点在指定区间内，求参数的取值范围，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解．





1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：


（1）在区间存在唯一极大值点；


【答案】（1）见解析；


【解析】（1）设，则，.


当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，


设为.


则当时，；当时，.


所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.


2．【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．


（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；


（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；


【答案】（1）；（2）见解析；


【解析】（1）因为，所以．


因为，所以，解得．


（2）因为，


所以，


从而．令，得或．


因为都在集合中，且，


所以．


此时，．


令，得或．列表如下：


所以的极小值为．





3【2020年高考天津】已知函数，为的导函数．


（Ⅰ）当时，


（i）求曲线在点处的切线方程；


（ii）求函数的单调区间和极值；


【解析】（Ⅰ）（i）当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．


（ii）依题意，．从而可得，整理可得．令，解得．


当变化时，的变化情况如下表：


所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．


4．[2016·四川卷]已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )


A．－4 B．－2 C．4 D．2


答案：D


解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.


5.[2014·重庆卷]已知函数f(x)＝eq \f(x,4)＋eq \f(a,x)－ln x－eq \f(3,2)，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝eq \f(1,2)x.


(1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值．


解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝eq \f(1,4)－eq \f(a,x2)－eq \f(1,x)，


由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝eq \f(1,2)x知f′(1)＝－eq \f(3,4)－a＝－2，


解得a＝eq \f(5,4).


(2)由(1)知f(x)＝eq \f(x,4)＋eq \f(5,4x)－ln x－eq \f(3,2)，则f′(x)＝eq \f(x2－4x－5,4x2).


令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.


因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)上，故舍去．


当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)上为减函数；


当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数．


由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.


6.【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）


A. B. C. D.1


【答案】A


【解析】





【考点】 函数的极值；函数的单调性


【名师点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同。


(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。





今天错在哪里啦？


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____________________________________________________________________________________________x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
0
＋
y

无极值

极小值0

无极值

x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

eq \f(1,e)

x
(－∞，－eq \f(1,3))
－eq \f(1,3)
(－eq \f(1,3)，1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
－
0
＋
y
↗
极大值
↘
无极值
↘
极小值
↗
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
F(x)
↘
极小值
↗
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
F(x)
↗
极大值
↘
1
+
0
–
0
+
极大值
极小值
1
-
0
+
↘
极小值
↗