2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第10章 第5讲　离散型随机变量及其分布列

[基础题组练]

1．(2020·陕西咸阳模拟)设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，那么a的值为(　　)

A．　　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：选D．因为随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，所以P(ξ＝0)＝a＝a，P(ξ＝1)＝a＝，P(ξ＝2)＝a＝，所以a＋＋＝1，解得a＝.故选D．

2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是(　　)

A．P(X＝2)  B．P(X≤2)

C．P(X＝4)  D．P(X≤4)

解析：选C．X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故选C．

3．一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　)

A．

B．

C．

D．

解析：选C．随机变量ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故选C．

4．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)

A．10%  B．20%

C．30%  D．40%

解析：选B．设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%.

5．(多选)(2020·山东烟台期中)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道，现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列选项正确的是(　　)

A．答对0题和答对3题的概率相同，都为

B．答对1题的概率为

C．答对2题的概率为

D．合格的概率为

解析：选CD．设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，p(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，则答对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；答对1题的概率为，故B错误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，故D正确；故选CD．

6．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________．

解析：由题意知，X服从超几何分布，

其中N＝10，M＝3，n＝4，

故P(X＝2)＝＝.

答案：

7．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．

解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，

则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.

答案：

8．随机变量X的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．

解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.

又a＋b＋c＝1，所以b＝，

所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.

又a＝－d，c＝＋d，

根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，

所以－≤d≤.

答案：　[－，]

9．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.

(1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；

(2)求随机变量X的分布列．

解：(1)由题意知，x，y可能的取值为1，2，3，

则|x－2|≤1，|y－x|≤2，所以X≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，X＝3，因此，随机变量X的最大值为3.

有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，

所以P(X＝3)＝.故随机变量X的最大值为3，事件“X取得最大值”的概率为.

(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.

当X＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况；

当X＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况；

当X＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况；

当X＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况．所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.所以X的分布列为：

10.(2020·福州模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2020年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.

(1)求P(ξ＝3)．

(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列．

解：(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，

所以P(ξ＝3)＝＝＝.

(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为50，30，10，0，

P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝，

P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝＝，

P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝＝＝，

P(η＝0)＝1－－－＝.

所以η的分布列如下：

[综合题组练]

1．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N*)的函数解析式；

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进17枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列．

解：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝(10－5)×17＝85；当日需求量n＜17时，利润y＝10n－85，所以y关于n的解析式为

y＝(n∈N*)．

(2)X可取55，65，75，85，P(X＝55)＝0.1，P(X＝65)＝0.2，P(X＝75)＝0.16，P (X＝85)＝0.54.

X的分布列为：

2.(2020·湖南邵阳联考)为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织了“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：

(1)如果用分层抽样的方法从这50名志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，求至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率；

(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．

解：(1)用分层抽样的方法，抽样比是＝，

所以5人中参与班级宣传的志愿者有20×＝2(人)，

参与整理、打包衣物的志愿者有30×＝3(人)，

故所求概率P＝1－＝.

(2)X的所有可能取值为0，1，2，

则P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

所以X的分布列为

所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

3．(2020·安徽宿州三调)为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度．

某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：

(1)计算表中编号10的用户该年应交的电费；

(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．

解：(1)因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元，

第三档电价比第一档电价每度多0.3元，

编号为10的用户一年的用电量是4 600度，

所以该户该年应交电费

4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)．

(2)设取到第二阶梯的户数为X，

易知第二阶梯的有4户，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝，

故X的分布列是