2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破） 第11章 第3讲　概率与统计中的数学建模与数据分析

[基础题组练]

1．(2020·石家庄市模拟(一))东方商店欲购进某种食品(保质期一天)，此商店每天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果一天内无法售出，则食品过期作废，现统计该食品100天的销售量如下表：

(1)根据该食品100天的销售量统计表，求平均每天销售多少份；

(2)视样本频率为概率，以一天内该食品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一次性购进17或18份，哪一种得到的利润更大？

解：(1)平均每天销售的份数为

＝17.3.

(2)当购进17份时，利润为

17×4×＋(16×4－8)×＋(15×4－16)×＝47.6＋11.2＋4.4＝63.2(元)．

当购进18份时，利润为

18×4×＋(17×4－8)×＋(16×4－16)×＋(15×4－24)×＝28.8＋18＋9.6＋3.6＝60(元)．

63．2＞60，

可见，当购进17份时，利润更大．

2．(2020·江西八所重点中学联考)2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛(简称RMM)于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.在分量极重的国际数学奥林匹克(IMO)比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，已经连续4年没有拿到冠军了．人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会讨论的热点，某重点高中培优班共50人，现就这50人对“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：

若按对“禁奥令”的态度采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，知道其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人．

(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？说明你的理由；

(2)现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

参考公式与数据：K2＝

解：(1)由题意将列联表补充如下

所以K2＝＝≈8.333＞6.635，

所以有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关．

(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应下“禁奥令”，ξ的所有可能取值有1，2，3，4.

P(ξ＝1)＝＝＝；

P(ξ＝2)＝＝＝；

P(ξ＝3)＝＝＝；

P(ξ＝4)＝＝＝.

所以ξ的分布列是

所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.4.

3．(2020·山东枣庄二调)某项研究性课题由一个团队完成，团队由一个主持人和若干个助手组成，助手分固定和临时两种，每个固定助手的工资为3 000元/月，当固定助手人手不够时，需要招聘临时助手，每个临时助手的工资为4 000元/月，现在搜集并整理了以往的20个团队需要的助手数，得到如图柱状图．

记n为提供给一个团队的固定助手数(提供的每个固定助手均按3 000元/月的标准支付工资)．x为一个团队需要的助手数，y为支付给一个团队的助手的月工资总额(单位：元)．

(1)当n＝4时，求y关于x的函数关系式；

(2)假设这20个团队中的每一个团队都提供4个固定助手或都提供5个固定助手，分别计算这20个团队每月支付给助手的工资总额，以此作为决策依据，判断每一个团队提供4个固定助手划算还是提供5个固定助手划算．

解：(1)当n＝4时，x≤4时，y＝4×3 000＝12 000，

4＜x≤6时，y＝12 000＋4 000(x－4)＝4 000x－4 000，

所以当n＝4时，y关于x的函数关系式为

y＝

(2)由题意得每个团队需要的助手个数X分别为3，4，5，6，

P(X＝3)＝＝0.1，P(X＝4)＝＝0.2，P(X＝5)＝＝0.3，P(X＝6)＝＝0.4.

当每一个团队提供4个固定助手时，这20个团队每月支付给助手的工资总额

Y1＝20×[(0.1＋0.2)×12 000＋0.3×(4 000×5－4 000)＋0.4×(4 000×6－4 000)]＝328 000(元)．

当每一个团队提供5个固定助手时，这20个团队每月支付给助手的工资总额

Y2＝20×[(0.1＋0.2＋0.3)×15 000＋0.4×(15 000＋4 000)]＝332 000(元)．

所以Y1＜Y2，所以每一个团队提供4个固定助手划算．

4．(2020·济南市学习质量评估)某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取200盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好．由测量结果得到如下频率分布直方图：

(1)求a，并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值；

(2)①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值ξ服从正态分布N(μ，102)，计算该批产品该项指标值落在(180，220]上的概率；

②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于150均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、 优良、优秀三个等级，其中(180，220]为优良，不高于180为合格，高于220为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品1万盒的成本为15万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单元：元)如表，求该公司每万盒的平均利润．

附：若ξ～N(μ，δ2)，则P(μ－δ＜ξ≤μ＋δ)≈0.682 7，P(μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)≈0.954 5.

解：(1)由10×(2×0.002＋0.008＋0.009＋0.022＋0.024＋a)＝1，解得a＝0.033，

则平均值＝10×0.002×170＋10×0.009×180＋10×0.022×190＋10×0.033×200＋10×0.024×210＋10×0.008×220＋10×0.002×230＝200，即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200.

(2)①由题意可得μ＝＝200，δ＝10，则P(μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)＝P(180＜ξ≤220)≈0.9545，则该批产品指标值落在(180，220]上的概率为0.954 5.

②设每盒该产品的售价为X元，由①可得X的分布列为

则每盒该产品的平均售价为E(X)＝10×0.022 75＋20×0.954 5＋30×0.022 75＝20，故每万盒的平均利润为20－15＝5(万元)．

5．(2020·河南新乡三模)以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：

(1)计算该炮兵连这8周中总的命中频率p0，并确定第几周的命中频率最高；

(2)以(1)中的p0作为该炮兵连甲炮兵对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射5次，记命中的次数为X，求X的方差；

(3)以(1)中的p0作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99.

(取lg 0.4＝－0.398)

解：(1)这8周总命中炮数为40＋45＋46＋49＋47＋49＋53＋52＝381，总未命中炮数为32＋34＋30＋32＋35＋33＋30＋28＝254，所以p0＝＝0.6.

因为＞，所以根据表中数据易知第8周的命中频率最高．

(2)由题意可知X～B(5，0.6)，

则D(X)＝5×0.6×(1－0.6)＝1.2.

(3)由1－(1－p0)n＞0.99，

即1－0.4n＞0.99，得0.4n＜0.01，

所以n＞log0.4 0.01＝＝－＝≈5.025，

故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99.

6．(2020·河北衡水中学模拟)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：分贝)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，对测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1，2…，10)数据作了初步处理，得到如下散点图及一些统计量的值．

表中Wi＝lg Ii，＝Wi，

(1)根据散点图判断，D＝a1＋b1I与D＝a2＋b2lg I哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程；

(3)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且＋＝1010.

已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据(1)中的回归方程，判断点P是否受到污染的干扰，并说明理由．

附：对于一组数据(μ1，v1)，(μ2，v2)，…，(μ1n，vn)，其回归直线＝＋μ的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.

解：(1)根据散点图判断，模型D＝a2＋b2lg I更适合．

(2)令Wi＝lg Ii，先建立D关于W的线性回归方程，

由于＝＝＝10，

所以＝－＝160.7，

所以D关于W的线性回归方程是＝10W＋160.7，

即D关于I的回归方程是＝10lg I＋160.7.

(3)点P的声音能量为I＝I1＋I2，

因为＋＝1010，

所以I＝I1＋I2＝10－10(I1＋I2)＝10－10≥9×10－10，

当且仅当＝时等号成立．

根据(1)中的回归方程知，点P的声音强度D的预报值为min＝10lg(9×10－10)＋160.7＝10lg 9＋60.7＞60，

所以点P会受到噪声污染的干扰．