2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第05章 第3讲 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[基础题组练]

1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　)

A．   B． 

C．   D．

解析：选A．－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°

＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°

＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.

2．(2020·福建五校第二次联考)已知cos＝，则sin 2α＝(　　)

A．  B．－ 

C．  D．－

解析：选C．法一：因为cos＝，所以sin 2α＝sin＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝.故选C．

法二：因为cos＝，所以(cos α＋sin α)＝，所以cos α＋sin α＝，平方得1＋sin 2α＝，得sin 2α＝.故选C．

3．(2020·陕西榆林模拟)已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝(　　)

A．   B． 

C．   D．

解析：选C．因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.

又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝，

所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，

故选C．

4．(2020·武汉模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)

A．  B．－ 

C．  D．±

解析：选A．因为cos＝，

所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝

＝cos＝×＝.

故选A．

5．(2020·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log等于(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选C．因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log＝log52＝4.故选C．

6．(2020·洛阳统考)已知sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________．

解析：由sin α＋cos α＝，得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.

答案：

7．(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________．

解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，

所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝

＝＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.

答案：－1　

8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________．

解析：依题意可将已知条件变形为

sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－.

又β是第三象限角，因此有cos β＝－，

所以sin＝－sin

＝－sin βcos －cos βsin ＝.

答案：

9．已知tan α＝2.

(1)求tan的值；

(2)求的值．

解：(1)tan＝＝＝－3.

(2)＝

＝＝＝1.

10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

(1)求sin的值；

(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．

解：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.

(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，

由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.

由β＝(α＋β)－α得

cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，

所以cos β＝－或cos β＝.

[综合题组练]

1．(2020·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin等于(　　)

A．－   B． 

C．－   D．

解析：选C．tan α＋tan ＝2tan αtan －2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sincos ＝－.

2．(创新型)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)

A．8  B．4

C．2  D．1

解析：选C．因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，

所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.

所以＝＝＝＝＝2.故选C．

3．已知0<α<，且sin α＝，则tan＝________；＝________．

解析：因为0<α<，且sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝，

则tan＝tan(α＋)＝＝7.

＝

＝＝＝.

答案：7　

4．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．

解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，

又α，β∈[0，π]，所以α－β＝，

所以即≤α≤π，

所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)

＝sin＋sin(α－2α＋π)

＝cos α＋sin α＝sin.

因为≤α≤π，所以≤α＋≤，

所以－1≤sin≤1，

即取值范围为[－1，1]．

答案：[－1，1]

5．已知函数f(x)＝sin，x∈R.

(1)求f的值；

(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．

解：(1)f＝sin＝sin＝－.

(2)f＝sin

＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．

因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝，

所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，

cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，

所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)

＝×＝.

6．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.

(1)求sin 2α和tan 2α的值；

(2)求cos(α＋2β)的值．

解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，

即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.

又2α∈，所以cos 2α＝ ＝，

所以tan 2α＝＝.

(2)因为β∈，所以β－∈，

又sin＝，所以cos＝，

于是sin 2＝2sin·cos＝.

又sin 2＝－cos 2β，

所以cos 2β＝－，

又2β∈，所以sin 2β＝，

又cos2α＝＝，α∈，

所以cos α＝，sin α＝.

所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β

＝×－×

＝－.