2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案）第07章 阅读与欣赏(六)　解决数列问题的七大常用技巧

解决数列问题的七大常用技巧

技巧一　巧用性质减少运算

等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上使用公式．

(1)等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．5

(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S7＞S5，则满足SkSk＋1＜0的正整数k＝__________．

[点拨]　(1)可直接把a1＋a3看作一个整体，利用等比数列的性质求解公比，然后代入即可；也可直接将已知转化为首项和公比所满足的方程，求出公比后再求和．(2)利用等差数列的前n项和的性质．

【解析】　(1)法一：因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)·(a9＋a11)，故a9＋a11＝＝＝2.

同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，

所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，

故a13＋a15＝＝＝1.

所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.

法二：设等比数列{an}的公比为q，

则a5＝a1q4，a7＝a3q4，所以q4＝＝＝.

又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×＝2，

a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×＝1，

所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.

(2)依题意得a6＝S6－S5＞0，

a7＝S7－S6＜0，a6＋a7＝S7－S5＞0，

则S11＝＝11a6＞0，

S12＝＝＞0，

S13＝＝13a7＜0，

所以S12S13＜0，即满足SkSk＋1＜0的正整数k＝12.

【答案】　(1)C　(2)12

技巧二　巧用升降角标法实现转化

在含有an，Sn对任意正整数n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公式和解决其他问题．

设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．

【解】　当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3，

得an＝2Sn－1＋3，

两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，

所以an＋1＝3an，

所以＝3.

当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.

所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列．

所以an＝3×3n－1＝3n.

技巧三　巧用不完全归纳找规律

解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律．

在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos[(n＋1)π]，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝__________．

[点拨]　根据递推式计算数列的前面若干项，发现规律，然后求S2 018的值．

【解析】　由a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos [(n＋1)π]，得a2＝a1＋cos 2π＝1＋1＝2，a3＝－a2＋cos 3π＝－2－1＝－3，a4＝a3＋cos 4π＝－3＋1＝－2，a5＝－a4＋cos 5π＝2－1＝1，…由此可知，数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2，所以S2 018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＋a2 018＝504×(－2)＋a1＋a2＝－1 005.

【答案】　－1 005

技巧四　巧用辅助数列求通项

已知数列的递推式求数列的通项公式时，基本思想就是通过变换递推式把其转化为等差数列、等比数列(辅助数列)，求出辅助数列的通项，再通过变换求出原数列的通项公式．

(1)当出现an＝an－1＋m(n≥2)时，构造等差数列；

(2)当出现an＝xan－1＋y(n≥2)时，构造等比数列．

(1)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－4an＝3×2n＋1，求数列{an}的通项公式．

(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．

【解】　(1)由an＋1－4an＝3×2n＋1得，－＝3，

设bn＝，则bn＋1＝2bn＋3，设bn＋1＋t＝2(bn＋t)，所以2t－t＝3，解得t＝3，所以bn＋1＋3＝2(bn＋3)，所以＝2，又b1＋3＝＋3＝1＋3＝4，所以数列{bn＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－3，所以an＝bn·2n＝(2n＋1－3)×2n＝22n＋1－3×2n.

(2)因为an＋1＝(n∈N*)，所以＝＋1，设＋t＝3，所以3t－t＝1，解得t＝，所以＋＝3，又＋＝1＋＝，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝，所以an＝.

技巧五　巧用裂项求和

裂项相消法是数列求和的基本方法之一，在通项为分式的情况下，注意尝试裂项，裂项的基本原则是an＝f(n)－f(n＋1)．

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，若数列{Sn＋1}是公比为4的等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.

[点拨]　(1)先求Sn，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求an；(2)把通项分解为两项的差，再消项求和．

【解】　(1)由题意知Sn＋1＝(S1＋1)·4n－1＝4n，

所以Sn＝4n－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1，且a1＝3满足上式，

所以数列{an}的通项公式为an＝3·4n－1.

(2)bn＝＝＝，

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝×＋×＋…＋×

＝＝－.

技巧六　巧用分组妙求和

分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现，其基本特点是把求和目标分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的结果得出整体和．

若数列{an}的通项公式为an＝22n＋1，令bn＝(－1)n－1×，则数列{bn}的前n项和Tn＝____________．

【解析】　由题意得bn＝(－1)n－1

＝(－1)n－1

＝(－1)n－1，

当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝－，

当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝＋，

所以Tn＝－(－1)n.

【答案】　－(－1)n

技巧七　巧用特值验算保准确

使用“错位相减法”求和的方法学生都能够掌握，但求解的结果容易出现错误，应该在求出结果后使用a1＝S1进行检验，如果出现a1≠S1，则说明运算结果一定错误，这时可以检查解题过程找出错误、矫正运算结果．

已知数列{an}的通项公式为an＝，则其前n项和Sn＝__________．

【解析】　Sn＝＋＋＋…＋，

2Sn＝2＋＋＋…＋，

两式相减得Sn＝2＋＋＋…＋－，

Sn＝2＋－＝5－.

【答案】　5－