2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第07章 第1讲　数列的概念及简单表示法

[基础题组练]

1．已知数列，，，，，…，则5是它的(　　)

A．第19项　　　　　　 B．第20项

C．第21项  D．第22项

解析：选C．数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，

所以通项公式为an＝＝，令＝5，得n＝21.

2．已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选A．因为数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，所以a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝.那么a5＝a3·a2＝.故选A．

3．在数列{an}中，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B．“|an＋1|＞an”⇔an＋1＞an或－an＋1＞an，充分性不成立，数列{an}为递增数列⇔|an＋1|≥an＋1＞an成立，必要性成立，所以“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B．

4．(多选)已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　)

A．a3＝－1  B．a2 019＝

C．S3＝  D．S2 019＝

解析：选ACD．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－(n∈N*)，可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…所以an－3＝an，数列的周期为3.a2 019＝a672×3＋3＝a3＝－1.S3＝，S2 019＝.

5．(2020·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)

A．  B．2

C．  D．

解析：选C．由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，

则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，

则＝＝－，

则＋＋…＋＝2×[＋＋…＋]＝2×＝.故选C．

6．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．

解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，

当n＝1时，a1＝6；

当n≥2时，

故当n≥2时，an＝，

所以an＝

答案：an＝

7．(2020·黑龙江大庆一中模拟)数列{an}的前n项和Sn满足a2＝2，Sn＝n2＋An，则A＝________，数列的前n项和Tn＝________．

解析：因为a2＝S2－S1＝(2＋2A)－＝2，所以A＝.

所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－＝n，当n＝1时，a1＝S1＝1满足上式，所以an＝n.

所以＝＝－，所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.

答案：：　

8．(2020·重庆(区县)调研测试)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，则an＝________．

解析：由2Sn＝(n＋1)an知，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，所以2an＝2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an－nan－1，所以(n－1)an＝nan－1，

所以当n≥2时，＝，所以＝＝1，所以an＝n.

答案：n

9．已知数列{an}的前n项和为Sn.

(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；

(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.

解：(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，

当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝

(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，

又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．

(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，

由于a1不适合此式，所以an＝

10．(2020·衡阳四校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.

(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；

(2)证明：＝4.

解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以归纳得an＝4n－1.

(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.

[综合题组练]

1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(　　)

A．4  B．4－1

C．8  D．9

解析：选C．由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，

以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，

当n＝1时，a1＝20符合上式，

所以＝n＋－1，n∈N*，

所以n≤4时单调递减，n≥5时单调递增，

因为＝，所以的最小值为＝＝8，故选C．

2．(多选)在数列{an}中，an＝(n＋1)，则数列{an}中的最大项可以是(　　)

A．第6项  B．第7项

C．第8项  D．第9项

解析：选AB．假设an最大，则有

即

所以即6≤n≤7，所以最大项为第6项或第7项．

3．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，记数列{anbn}的前n项和为Sn，若＋1＝n，则数列{bn}的通项公式为bn＝________．

解析：因为＋1＝n，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.所以当n≥2时，Sn－1＝(n－2)2n＋2，两式相减，得anbn＝n·2n，所以bn＝n；当n＝1时，a1b1＝2，所以b1＝1.综上所述，bn＝n，n∈N*.故答案为n.

答案：n

4．(2020·新疆一诊)数列{an}满足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}的前n项之积，则A2 019＝________．

解析：由an－anan＋1＝1，得an＋1＝1－，

又a1＝3，则a2＝1－＝，a3＝1－＝1－＝－，a4＝1－＝1－(－2)＝3，

则数列{an}是周期为3的周期数列，且a1a2a3＝3××＝－1，则A2 019＝(a1a2a3)·(a4a5a6)·…·(a2017a2 018a2 019)＝(－1)673＝－1.

答案：－1

5．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；

S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；

同理a3＝3，a4＝4.

(2)Sn＝a＋an，①

当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②

①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.

由于an＋an－1≠0，

所以an－an－1＝1，

又由(1)知a1＝1，

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.

6．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.

(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；

(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．

解：(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，

即Sn＋1＝2Sn＋3n，

由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，

又b1＝S1－3＝a－3，

因此，所求通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.

(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，

于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，

an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2

＝2n－2，

所以，当n≥2时，

an＋1≥an⇒12＋a－3≥0⇒a≥－9，

又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.

所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．