2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第09章 第8讲 第2课时　圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题

[基础题组练]

1．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(　　)

A．(－3，0)　　　　　　　 B．(0，－3)

C．(3，0)  D．(0，3)

解析：选A．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3，0)．

2．以下四个关于圆锥曲线的命题：

①设A，B为两个定点，K为正数，若||PA|－|PB||＝K，则动点P的轨迹是双曲线；

②方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

③双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点；

④已知抛物线y2＝2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切．

其中真命题为________．(写出所有真命题的序号)

解析：A，B为两个定点，K为正数，||PA|－|PB||＝K，当K＝|AB|时，动点P的轨迹是两条射线，故①错误；

方程2x2－5x＋2＝0的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；

双曲线－＝1的焦点坐标为(±，0)，椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(±，0)，故③正确；

设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A，B，P在准线l上的射影分别为M，N，Q，

因为AP＋BP＝AM＋BN，所以PQ＝AB，

所以以AB为直径作圆，则此圆与准线l相切，故④正确．

故正确的命题有②③④.

答案：②③④

3．(2020·福建五校第二次联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，上顶点M到直线x＋y＋4＝0的距离为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l过点(4，－2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值．

解：(1)由题意可得，解得

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)证明：易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y＋2＝k(x－4)，k＜0且k≠－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立

得(1＋4k2)x2－16k(2k＋1)x＋64k(k＋1)＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

因为kMA＋kMB＝＋

＝，

所以kMA＋kMB＝2k－(4k＋4)×＝2k－4(k＋1)×

＝2k－(2k＋1)＝－1(为定值)．

4．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

(1)证明：直线AB过定点；

(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．

解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.

由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.

整理得2tx1－2y1＋1＝0.

设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.

故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.

所以直线AB过定点.

(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.

设M为线段AB的中点，则M.

由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.

解得t＝0或t＝±1.

当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为x2＋＝4；

当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为x2＋＝2.

[综合题组练]

1．(2020·广州市调研测试)已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x＝－1相切．

(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；

(2)过点M(－2，0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得∠QNM＋∠PNM＝π？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)法一：依题意知，动圆圆心C到定点F(1，0)的距离，与到定直线x＝－1的距离相等，

由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹E是以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其中p＝2.

所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y2＝4x.

法二：设动圆圆心C(x，y)，依题意得＝|x＋1|，

化简得y2＝4x，即为动圆圆心C的轨迹E的方程．

(2)假设存在点N(x0，0)满足题设条件．

由∠QNM＋∠PNM＝π可知，直线PN与QN的斜率互为相反数，即kPN＋kQN＝0.①

易知直线PQ的斜率必存在且不为0，设直线PQ：x＝my－2，

由得y2－4my＋8＝0.

由Δ＝(－4m)2－4×8＞0，得m＞或m＜－.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝8.

由①得kPN＋kQN＝＋

＝＝0，

所以y1(x2－x0)＋y2(x1－x0)＝0即，y1x2＋y2x1－x0(y1＋y2)＝0.

消去x1，x2，得y1y＋y2y－x0(y1＋y2)＝0，

即y1y2(y1＋y2)－x0(y1＋y2)＝0.

因为y1＋y2≠0，所以x0＝y1y2＝2，

所以存在点N(2，0)，使得∠QNM＋∠PNM＝π.

2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，

因为A在椭圆C上，

所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2，

所以a＝，b2＝a2－c2＝1，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)不存在满足条件的直线，证明如下：

设直线的方程为y＝2x＋t，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，

由消去x，

得9y2－2ty＋t2－8＝0，

所以y1＋y2＝，Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，

所以y0＝＝，且－3＜t＜3.

由＝得＝(x4－x2，y4－y2)，

所以y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－，

又－3＜t＜3，所以－＜y4＜－1，

与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．

所以不存在满足条件的直线．