【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷06 等比数列（解析版）

2021年高考数学一轮复习等比数列创优测评卷(新高考专用) 一、单选题(共60分,每题5分)1．等比数列中，，，函数.则 (    )A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】因为,所以.2．等比数列的前项和为，是与的等比中项，则的值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设数列的公比为，则由，即可求出或，再对分类讨论，由是与的等比中项计算可得；【详解】解：设数列的公比为，则由，得，易知，所以解得或，当时，，这与是与的等比中项矛盾，当时，由是与的等比中项，得，即，所以，故选：B.3．已知等比数列的公比,其前项和为,则与的大小关系是A． B． C． D．与的大小不确定【答案】B【解析】 所以，选B.4．已知曲线及两点和，其中．过，分别作轴的垂线，交曲线于，两点，直线与轴交于点，那么（ ）A．成等差数列 B．成等比数列C．成等差数列 D．成等比数列【答案】A【解析】【分析】利用点、、三点共线，转化为直线和斜率相等，借助斜率公式化简得出答案．【详解】易知点、，且、、三点共线，则，即，，所以成等差数列，故选A．5．已知函数，若等比数列满足，则（   ）A．2019 B． C．2 D．【答案】A【解析】【分析】利用函数解析式，求出，结合等比数列的性质得，从而得到所求表达式的值．【详解】为等比数列，则即6．设为一次函数，若，且，，成等比数列，则的值为(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知可设，又，，成等比数列，求出，再利用等差数列的求和公式求解即可.【详解】由为一次函数且，可设，又，，成等比数列，得，解得：，所以，.故选：A7．给定公比为的等比数列，设，，则数列（    ）．A．是等差数列 B．是公比为的等比数列C．是公比为的等比数列 D．既非等差数列又非等比数列【答案】C【解析】由题设，，则 ．因此，是公比为的等比数列.故答案为：C8．已知成公比为2的等比数列，，且也成等比数列，则的值为（   ）A．或0 B． C．或 D．或或0【答案】C【解析】成公比为2的等比数列，，，因为等比数列中每一项都不为零，所以，也成等比数列，，即，把选项中的值代入以上等式进行检验，得到合题意,故选C.9．已知等比数列中，，，成等比数列，设为数列的前项和，则等于（    ）．A． B．或 C． D．【答案】B【解析】因为，，成等差数列，，整理可得，，或，当时，则，当时，则，故选B.10．若正数，，成等比数列，则下列三数中成等比数列的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】解：若正数，，成等比数列，则有.A：若，，成等比，则有，即，不满足，A不正确；B：若，，成等比，则有，也不满足，B不正确；C：若，，成等比，则有，即有，即，故C正确；D：若，，成等比，则，即，不满足，所以D不正确.故选：C.11．设为等比数列，给出四个数列：①，②，③，④.其中一定为等比数列的是（    ）A．①③   B．②④ C．②③ D．①②【答案】D【解析】设，①,,所以数列是等比数列；②，，所以数列是等比数列；③，不是一个常数，所以数列不是等比数列；④，不是一个常数，所以数列不是等比数列.故选D12．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，若仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”，现有定义在上的如下函数：①；②； ③；④，则其中是“保等比数列函数的序号为（    ）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【解析】根据题意，设等比数列的公比为，由等比数列性质知，对于①，，因为，故①是“保等比数列函数”；对于②，，因为当时，，故②不是“保等比数列函数”；对于③，，因为，故③是“保等比数列函数”对于④，，因为当时，，故④不是“保等比数列函数”；故选：C.二、填空题(共20分,每题5分)13．已知等比数列中， ，则等比数列的公比__________．【答案】【解析】试题分析：依题意可得.14．等比数列的前项和为，若，则该等比数列的公比为______【答案】3【解析】设等比数列的公比数列是首项为，公比为的等比数列当时，，不满足当时，，不满足当时，则故答案为：15．记为等比数列的前项和，若数列也为等比数列，则________.【答案】【解析】设等比数列的公比为，∵数列为等比数列，∴，解得：，∴.故答案为：.16．数列为等比数列，是等比数列的前项和，已知，则，则=         .【答案】【解析】若的公比为，则，因此，故.若，则，所以，因此，故又，，所以即.故答案为：.三、解答题17．(10分)已知等比数列的前项和为，公比，，．（1）求等比数列的通项公式；（2）设，求的前项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）等比数列的前项和为，公比，①，②．②﹣①，得，则，又，所以，因为，所以，所以，所以；（2），所以前项和．18．(10分)已知公差不为的等差数列的前项和，，，成等差数列，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，求及此等比数列的公比.【答案】(1)；(2)，公比.【解析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，则数列的通项公式为；(2)由（1）知，则，，结合等比数列的性质可得，公比.试题解析：(1)设数列的公差为由题意可知，整理得，即，所以；（2）由（1）知，∴，∴，，又，∴，∴，公比.19．(12分)已知数列和满足：，，，，且是以为公比的等比数列.(1)证明：；(2)若，证明数列是等比数列；(3)求和：.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ(Ⅲ) 【解析】（I）由，代入得，从而得到结论；
（II ）根据的递推关系求出与，然后代入可得，从而{cn}是首项为5，以为公比的等比数列．、；
（III）讨论q是否为1，然后利用等比数列求和公式进行求解即可，最后利用分段形式表示即可．试题解析：(Ⅰ)解：由是以q为公比的等比数列，∴
因此，∴(Ⅱ)证：∵，
∴数列和数列均是以为公比的等比数列
故
∴
故是首项为5，公比为的等比数列．(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得：
∴
　
　   
当时，   
当时，
∴20．(12分)如果数列同时满足：（1）各项均不为，（2）存在常数k, 对任意都成立，则称这样的数列为“类等比数列” .由此等比数列必定是“类等比数列” .问：（1）各项均不为0的等差数列是否为“类等比数列”？说明理由.（2）若数列为“类等比数列”，且(a，b为常数)，是否存在常数λ，使得对任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．（3）若数列为“类等比数列”，且，(a，b为常数)，求数列的前n项之和；数列的前n项之和记为，求.【答案】（1）是，（2），（3）【解析】（1）解决新定义问题，关键根据“定义”列条件，根据“定义”判断. 因为为各项均不为的等差数列，故可设（d、b为常数），由得得为常数，所以各项均不为0的等差数列为“类等比数列”，（2）存在性问题，通常从假设存在出发，列等量关系，将是否存在转化为对应方程是否有解. 先从必要条件入手，再从充分性上证明：因为所以所以即得所以而（3）由（2）易得，均为公比为的等比数列，，，[解] （1）因为为各项均不为的等差数列，故可设（d、b为常数）由得 得为常数，所以各项均不为0的等差数列为“类等比数列” （2）存在常数使（或从必要条件入手）证明如下：因为所以所以即由于此等式两边同除以得8分所以即当都有因为所以所以所以对任意都有此时（3）均为公比为的等比数列 21．(12分)若数列各项均非零，且存在常数，对任意，恒成立，则成这样的数列为“类等比数列”，例如等比数列一定为类等比数列，则：（1）各项均非零的等差数列是否可能为“类等比数列”？若可能，请举例；若不能，说明理由；（2）已知数列为“类等比数列”，且，是否存在常数，使得恒成立？（3）已知数列为“类等比数列”，且，求.【答案】（1）可能,如；（2）存在,证明见解析；（3）【解析】（1）可能；设为各项均非0的等差数列,可设,由得,为常数,可得到各项均非零的等差数列为“类等比数列”（2）存在常数,使恒成立；证明：,,,对等式两边同时除以,得,,存在常数,使恒成立（3）由题,,,即由（2）可知、均为公比为的等比数列,,,,,, 是周期为4的数列, 22．(14分)已知数列满足，，，，且是等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）①求证：为等比数列；②求证：对于任意，都有成立．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）解：∵，，，∴，，∵是等比数列，∴公比，∴；（2）证：①∵，∴，∴，又，∴是首项为，公比为的等比数列；②由①可得，，则，若为奇数，则，∴，又∵，∴．