【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷05 等差数列（解析版）

2021年高考数学一轮复习等差数列创优测评卷(新高考专用) 一、单选题(共60分,每题5分)1．等差数列与的前项和分别为与，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式以及等差数列的性质，可得结果.【详解】由所以故故选：A2．已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，函数，则的值为（    ）A． B． C． D．与有关【答案】A【解析】分析：由题意结合等差数列的性质和函数的解析式整理计算即可求得题中算式的值.详解：题意可知，对任意的：，由等差数列前n项和公式可得：，则，结合等差数列的性质可得：，则，，，，据此可知：的值为0.本题选择A选项.3．等差数列中,与是的两个极值点,则(    )A．1 B．2 C．0 D．【答案】B【解析】【分析】先求导，再令，所以与是方程的两个根，可得，再代入式子进行计算即可.【详解】，因为与是的两个极值点,令，所以与是方程的两个根，即，也即，所以，则.故选：B.4．若数列与均为等差数列（其中），则(   )A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据等差数列通项可知，；将所求式子变为，代入求得结果.【详解】设数列的公差为，数列的公差为则，即；，即本题正确选项：5．设函数与直线的交点的横坐标构成以为公差的等差数列，且是图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意，由周期求得的值，根据图像的对称性求出的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，从而得出结论。【详解】根据题意可得，函数的周期为，求得，再由解得，由题意，可得：；所以，令，解得：，故函数的单调递减区间为，故区间是函数的单调递减区间，故选：D.6．直线与直线（）相互垂直，当成等差数列时，直线与轴围成的三角形的面积（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，∴2×（-=-1，化为b=2a．
当a，b，c成等差数列时，2b=a+c．∴b=2a，c=3a．
由ax+by+c=0（abc≠0），令x=0，解得y=-联立解得x=直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S= 故选A7．若是等差数列，则，，，，，是 （ ）A．一定不是等差数列 B．一定是递增数列C．一定是等差数列 D．一定是递减数列【答案】C【解析】设=+（n－1）d，则=+（3n－3）d++(3n－2) d++(3n－1)d=3+(9n－6)d=3+3d+ (n－1)(9d)，所以是等差数列中的第n项，选C．8．等差数列中，，若存在正整数满足时有成立，则（    ）A．4 B．1C．由等差数列的公差决定 D．由等差数列的首项的值决定【答案】B【解析】解：等差数列中，， ，因为存在正整数满足故选：9．下列命题中，与命题“为等差数列”不等价的是（    ）A．（d为常数） B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．是与的等差中项【答案】C【解析】对A，即，故为等差数列.故A正确对B，数列是等差数列则，d为常数.故，为常数.故B正确.对C，数列是等差数列则，d为常数.不能推导出为等差数列.故C错误.对D，是与的等差中项则，满足等差数列的定义.故D正确.故选：C10．已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是(　　)A．bn＝－an B．C． D．【答案】A【解析】∵数列{an}是等差数列，∴an＋1－an＝d(常数)．对于A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于B不一定正确，如数列{an}＝{n}，则bn＝a＝n2，显然不是等差数列；对于C、D：及不一定有意义，故选A.11．若等差数列的公差为d，前n项和为，记则(    )A．数列是等差数列，的公差也为dB．数列是等差数列，的公差为2dC．数列是等差数列，的公差为dD．数列是等差数列，的公差为【答案】D【解析】由题可得，，则是关于n的一次函数，则数列是公差为的等差数列，故A，B错误；由是关于n的一次函数，得数列是公差为的等差数列，故C错误；又是关于n的一次函数，则数列是公差为的等差数列，故D正确.故选:D.12．在中，若依次成等差数列，则（    ）A．依次成等差数列      B．依次成等比数列C．依次成等差数列       D．依次成等比数列【答案】C【解析】由题意，则，，由正弦定理和余弦定理得，整理得．故选C．二、填空题(共20分,每题5分)13．等差数列中，则________.【答案】【解析】.故答案为：.14．已知等差数列的公差为，且，前面和为，若也成等差数列，则_____．【答案】-1【解析】由成等差数列知，即，故，整理得，又，故.故答案为：-115．已知等差数列中，，公差，则当________时，等差数列的前项和取得最大值.【答案】10或11【解析】因为，所以其对称轴为：所以当10或11时取得最大值.故答案为：10或1116．对于数列，定义数列为数列的“等差数列”，若，的“等差数列”的通项为，则数列的前项和__________．【答案】【解析】由“差数列”定义知：，所以因此.三、解答题17．(10分)已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令，求证：数列为等差数列【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，由题意有解得，，则，（Ⅱ）因为，又，所以，数列为等差数列.18．(10分)已知等差数列的前项和为，且．（1）证明：是等差数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）设数列的公差为，则，解得．所以，解得，所以．所以．所以．因为当时，，当时，，故是首项为1，公差为1的等差数列．（2）由（1）可知，故．故，，两式相减可得，故．19．(12分)已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）．（1）若，求公差；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围．【答案】（1）2；（2）．【解析】（1）由题意可得，，所以．（2）由题可得，即，当时，．20．(12分)内角的对边分别是.（1）若的成等差数列，求证：；（Ⅱ）若的倒数成等差数列，求证：.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）设公差为，则依题意,解得，所以.（Ⅱ）依题意由余弦定理其中，由基本不等式，，且，所以.21．(12分)在中，角，，所对的边分别是，，，且，，成等差数列.（1）若，，求；（2）若，，成等差数列，试判断的形状.【答案】（1） （2）等边三角形【解析】（1）由，，得.由，得，得.又，∴，∴，∴.（2）由，得，又.得，得，∴.∴，又，∴.所以是等边三角形.22．(14分)设等差数列的前项和为，且，，（1）求等差数列的通项公式．（2）令，数列的前项和为．证明：对任意，都有．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）用首项，公差表示出已知条件，并解出，由等差数列通项公式可得；（2）由（1）得，由此可求得，利用函数的单调性可证明结论．试题解析：（1）设等差数列的首项为，公差为，则由，得，解得，所以，（2）因为，，所以，则.因为，，所以.