【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷11 抛物线（解析版）

2021年高考数学一轮复习抛物线创优测评卷(新高考专用) 一、单选题（共60分，每题5分）1．已知点，抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线的准线，为抛物线上一点，过做，点为垂足，过作抛物线的切线，交轴于点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．5【答案】D【解析】由已知，设，，，则过的切线斜率为，点坐标为，，，根据抛物线定义有， 为的垂直平分线． ，∴，当且仅当共线时等号成立．故选：D．2．直线过交抛物线于，抛物线焦点为，，则中点到抛物线准线的距离为（    ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】如图，由抛物线,得焦点,准线方程为，过作准线的垂线，，则，直线的斜率为，可得直线的方程为，联立 ，可得，设，則,可得中点横坐标为5 ，中点到抛物线准线的距离为，故选D .3．已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，，则（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：过向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，故．又在抛物线上，故，于是，解得，∴，∴．故选D．4．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】求，不妨设根据题意画出图形：如图为抛物线准线，过作垂线,交点为，设()，可得根据抛物线定义可知，又，可得在和解得，故点横坐标为故：故选：D.5．抛物线与圆在第一象限交点为，抛物线和圆在处的切线斜率分别为，，若，则（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，，因为直线的斜率，所以圆在处的切线斜率，抛物线方程可化为，所以所以抛物线在处的切线斜率，因为，所以，所以，又，所以，所以，即，又，所以，所以，又，解得，所以．故选：A6．已知抛物线与轴的交点、位于轴的两侧，以线段为直径的圆与轴交于、.如果抛物线的顶点坐标为，则点所在的曲线为（    ）.A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线【答案】B【解析】如图，设抛物线与轴交点的横坐标为、，则.又在中，是斜边上的高，则有，即.从而，.                ①又由抛物线顶点的纵坐标得.从而，.把式①代入上式消去得.所以点所在的曲线为椭圆.故答案为：B7．点是抛物线上一点，为抛物线的焦点，轴，且，则抛物线的准线方程为　　A． B． C． D．【答案】A【解析】抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且轴，；又，，解得，，所以抛物线的准线方程为，故选A． 8．已知双曲线：（，）的焦点为，，抛物线：的准线与交于、两点，且与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】抛物线为，其焦点为，准线为，代入方程解得.由于与构成等边三角形 ，则，即，分子分母同时除以得，解得.由于，故椭圆焦点在轴上，且离心率为.9．已知等腰三角形OPM中，OP⊥MP，O为抛物线=2px(p>0)的顶点，点M在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，则点P与抛物线的焦点F之间的距离是A．2p B．p C．2p D．p【答案】B【解析】由题意得因此点P与抛物线的焦点F之间的距离为，选B.10．如图，在边长为的正方形中，是的中点，过三点的抛物线与 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】以M为原点，BA所在直线为y轴，BA的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，则过C，M，D的抛物线方程为，则图中阴影部分面积为，所以落在阴影部分的概率为 ，故选择D.11．如图，抛物线和圆，直线经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于， ， ， 四点， ，则的值为（    ）A．    B．1    C．    D．【答案】D【解析】设,由题意知抛物线的焦点,则设直线的方程为： ,联立,消去得： ,根据抛物线的定义得： ,,所以.点晴：本题考查的是直线，圆与抛物线的综合.关键是充分利用圆的半径为和抛物线的定义，表示，又再结合抛物线的定义可得，所以求得 .12．如图,过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点A、B、C、D，则的值是（    ）A．8     B．4     C．2     D．1【答案】D【解析】利用特殊值法：过焦点的直线取，此时，中令得，中令得， , 二、填空题（共20分，每题5分）13．已知抛物线： 的焦点为， ，抛物线上的点满足，且，则__________．【答案】2或6【解析】设，则，所以，即与联立可得，解之得代入可得；又由抛物线定义可得代入化简可得，解之得或，应填答案或。14．已知抛物线与圆有公共点，若抛物线在点处的切线与圆也相切，则______.【答案】【解析】设切点为，导数为，故切线的斜率为，连接圆心和切点，两条直线垂直，斜率相乘等于，即，解得，半径.15．已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为_______________【答案】【解析】，准线方程为，设，则，即，代入，得，不妨取，即，设关于准线的对称点为，可得，故． 即的最小值为.故答案为。16．已知抛物线（）的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足，__________．【答案】0【解析】设三点的坐标分别为，则∵，∴△ABC的重心是F，∵抛物线的焦点F的坐标为，∴，∴.故答案为0. 三、解答题17．（10分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程以及的值；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值.【答案】（1）y2=4x，2（2）【解析】解：（1）抛物线的焦点 ， ，则，抛物线方程为；点在抛物线上．（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0．所以，①  且，又，则（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），即y1=﹣λy2，代入①得，消去y2得，B（﹣1，0），则，则   （m2+1）（16m2+8）+4m•4m+8=16m4+40m2+16，当16m4+40m2+16=40，解得，故．18．（10分）如图，过抛物线上的一点与抛物线相切于两点，若抛物线的焦点到抛物线的焦点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线与抛物线相切于一点.【答案】（1）抛物线的方程为：   （2）证明见解析【解析】试题分析：(1)由题意可得，则抛物线的方程为：.(2)联立直线与抛物线的方程，结合根与系数的关系即可证得题中的结论.试题解析：（1）设抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，则，所以抛物线的方程为：.（2）证明：设点，，，切线的方程是：，因为与抛物线相切，则，则，则，∴直线的方程是：，同理的方程是：，联立可以得到：，而直线的方程是：，即，联立，可以得到：，，则直线与抛物线相切.19．（12分）已知是抛物线的焦点，为抛物线的顶点，准线与轴的交点为，点在抛物线上．（1）求直线的斜率的取值范围，记，求的取值范围；（2）过点的抛物线的切线交轴于点，则是否为定值？【答案】（1）（2）0【解析】（1）由直线MN与抛物线有交点确定直线的斜率的取值范围：联立直线与抛物线得，，由，解得由抛物线定义得（2）直线与抛物线相切问题，一般利用判别式为零得等量关系：设切线方程为，联立，由，解得，从而，即试题解析：解：（1）直线，联立得，，解得，∴．（2）设切线方程为，联立得，，∴，即，∴，，即．20．（12分）如图，已知抛物线，圆，过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于两点，且.（1）证明：抛物线与圆相切；（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：(1)联立抛物线与圆的方程，可得所得的二次方程，∴抛物线与圆相切.(2)设出直线方程，联立直线与抛物线的方程，结合题意可得，换元令 可得的取值范围是．试题解析：（1）证明：∵，∴，故抛物线的方程为，联立与，得，∵，∴抛物线与圆相切.（2），直线的方程为，圆心到直线的距离为，∴，设，由，得，则，∴，∴，设 ，则，设，则，∵，∴，∴函数在上递增，∴，∴，即的取值范围为.21．（12分）如图，已知抛物线：，四边形和都为正方形，原点为的中点，点在抛物线上.（1）求点和点的坐标；（2）过点的直线与抛物线相交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1），点的坐标为（2）直线的方程为或【解析】（1）设正方形的边长为，则代入得：，解得：或（舍）    点的坐标为设正方形的边长为，则代入方程得：，解得或（舍）点的坐标为（2）由（1）知，设直线的方程为，点的坐标分别为，联立方程，消去整理为：则    ，又，，由得：，解得：故直线的方程为即直线的方程为：或22．（14分）已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且求抛物线的方程；动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】抛物线C：的焦点为，准线方程为，即有，即，则，解得，则抛物线的方程为；在x轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，由，均为单位向量，且它们的和向量与共线，可得x轴平分，设，，联立和，得，恒成立．，设直线DA、DB的斜率分别为，，则由得，，，联立，得，故存在满足题意，综上，在x轴上存在一点，使得x轴平分，即与向量共线．