【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷08 立体几何（解析版）

2021年高考数学一轮复习立体几何创优测评卷(新高考专用)

一、单选题（共60分，每题5分）

1．在平面几何中，有“若的周长，面积为，则内切圆半径”，类比上述结论，在立体几何中，有“若四面体的表面积为，体积为，则其内切球的半径（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】将四面体的四个表面积分别记为则四面体的体积从而选A.

2．在立体几何中，以下命题中假命题的个数为（    ）

①若直线，平面，则.

②若平面平面，平面平面，，则.

③有3个角是直角的四边形是矩形.

④若平面平面，平面，平面，且，则.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】D

【解析】

【分析】

①由线面的位置关系可判断. ②应用线面垂直的判断定理结合面面垂直的性质可证明两相交平面都和第三个平面垂直，则它们的交线与第三个平面垂直. ③可举例在空间四边形中可以有三个直角. ④当平面满足条件，此时与不一定垂直，可判断.

【详解】

①若直线，平面，则或，所以不正确.

②若平面平面，平面平面，,则，正确,证明如下.

如图设，，在内，直线外任取一点，作，交点为，

因为平面平面,则，所以。

作，交点为，因为平面平面，所以，所以，

又,所以．

③有3个角是直角的四边形，如图可以为空间四边形，所以不正确.

④若平面平面，平面，平面，且，当平面满足条件，此时与不一定垂直，所以不正确.

所以假命题的个数为3个.

故选：D

3．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

取BC的中点H，连接，证明平面AHGD1∥平面A1EF，得截面图形，求面积即可

【详解】

取BC的中点H，连接，

因为面AHGD1，面AHGD1，面AHGD1，

同理，面AHGD1，又，则平面AHGD1∥平面A1EF，

等腰梯形AHGD1的上下底分别为，，

腰长为，故梯形的高为，则梯形面积为，

故选B．

4．如图（1）（2）（3）（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可知这四个几何体依次分别为（  ）

A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台

C．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 D．三棱柱、三棱锥、圆锥、圆台

【答案】B

【解析】

第一个几何体是三棱柱,第二个是正四棱锥,第三个是圆锥,第四个是圆台,故选B.

5．已知正方体的棱长为1，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等,可得该平面的截面.由正方体的棱长及投影形状,即可求出正投影的面积.

【详解】

正方体的棱长为1,平面过正方体的一个顶点,且与正方体每条棱所在直线所成的角相等,可得空间几何体及平面如下图所示:

该正方体在平面内的正投影如下图所示:

则即为该正方体在平面内的正投影面积,该投影是正六边形.

因为正方体的棱长为1,则

则由正六边形的性质可知

则

所以

则

故选:B

6．α，β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是(　　)

A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β

B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β

C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β

D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β

【答案】D

【解析】对于，与可能相交或平行，错；对于B，与可能相交或平行，错；对于C，

与可能相交或平行，错；D符合面面平行的定义，正确，选D.

7．在三棱锥中，已知，，点，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．直线直线 B．直线直线

C．直线直线 D．直线直线

【答案】D

【解析】由题意，如图所示，因为，，

∴，得，取中点，连接，，

则，，

又∵，∴平面，则，

∵，分别为棱，的中点，

∴，则．

故选D．

8．已知平面平面，交于直线，且直线，直线，则下列命题错误的是（　　）

A．若，则或

B．若，则且

C．若直线都不平行直线，则直线必不平行直线

D．若直线都不垂直直线，则直线必不垂直直线

【答案】B

【解析】选项A：因为平面平面，交于直线，，所以，而，，所以，又平面平面，交于直线，，所以，同理，故本命题是真命题；

选项B：由，如果 ，也可以保证，故本选项是假命题；

选项C:本命题的逆否命题是：若直线平行直线，则直线至少有一个平行直线，所以可以由选项A，判断本选项是真命题；

选项D:假设直线必不垂直直线不成立，则有，因为直线都不垂直直线，所以存在过上一点的直线，，根据面面垂直的性质定理可知，，而，所以，而，，所以有，平面平面，交于直线，所以有，这与已知直线都不垂直直线相矛盾，故假设不成立，本命题为真命题，故本题选B.

9．以下四个命题中，正确的是（   ）

A．若,则三点共线

B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

C．

D．为直角三角形的充要条件是

【答案】B

【解析】因为中，所以三点不一定共线，

因为为空间的一个基底，所以不在同一个平面，因此也不在同一个平面，从而构成空间的另一个基底，

因为,所以不恒成立，

因为为直角三角形时A角不一定为直角，即不一定成立，所以D错误，

综上选B.

10．如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面所在平面的位置关系是（    ）

A．平面与平面平面都垂直

B．它们两两垂直

C．平面与平面垂直，与平面不垂直

D．平面与平面、平面都不垂直

【答案】A

【解析】∵平面，平面，∴.

又∵，，∴平面.

∵平面，平面平面.

∵，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

由已知易得平面与平面不垂直，故选A.

11．在平面中，与正方形的每条边所成角都相等的直线与所成角的余弦值为.将此结论类比到空间中，得到的结论为:在空间中，与正方体的每条棱所成角都相等的直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设正方体的棱长为，

与正方体的每条棱所成角都相等的直线为其体对角线所在直线，

求此直线与所成角的余弦值即求的余弦值，

可知，，，

有，

故此直线与所成角的余弦值为.

故选：B.

12．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面两两互相垂直，点，点到的距离都是，点是上的动点，满足到的距离是点到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值为（   ）

A．       B．         C       D．

【答案】D

【解析】由，并设,则点到面的距离为,点到的距离是,

由题意得：化简得：

求得：，所以的最小值为

二、填空题（共20分，每题5分）

13．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是________.

 ①②③

④．

【答案】②③④

【解析】要证明直线与平面平行，需要证明直线与平面内的一条直线平行，

①：平面中无法找到与直线平行的直线，所以①错误；

②：由正方体性质可知，又AB不在平面内，所以可以证得直线与平面平行；

③：由正方体性质可知，又AB不在平面内，所以可以证得直线与平面平行；

④：由正方体性质可知，又AB不在平面内，所以可以证得直线与平面平行，

综上所述，答案为②③④．

14．图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________.

【答案】.

【解析】如图（2），作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上，

过点，分别作AD，BC的垂线，垂足分别为E，F.

设球的半径为r，球的半径为R，

由，，得，，

∴，∴.

故答案为:

15．正方体的棱长为1，在正方体内随机取点，则使四棱锥的体积小于的概率为__．

【答案】

【解析】解：正方体的棱长为1，

正方体的体积．

当四棱锥的体积小于时，设它的高为，

则，解之得

则点在到平面的距离等于的截面以下时，四棱锥的体积小于，

求得使得四棱锥的体积小于的长方体的体积

四棱锥的体积小于的概率．

故答案为：．

16．已知空间向量，，（其中、），如果存在实数，使得成立，则_____________.

【答案】

【解析】，，且，所以，解得，

因此，.

故答案为：.

三、解答题

17．（10分）如图，是由两个全等的菱形和组成的空间图形，，∠BAF＝∠ECD＝60°.

（1）求证：；

（2）如果二面角B－EF－D的平面角为60°，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）取的中点，连接、，.在菱形中，

∵，∴是正三角形，∴，

同理在菱形，可证，∴平面，∴，

又∵，∴.

（2）由（1）知，就是二面角的平面角，即，

又，所以是正三角形，故有，

如图，取的中点，连接，则，又由（1）得，

所以，平面，且，又，在直角中，，

所以，设到平面的距离为，则

，

，所以，

故直线与平面所成角正弦值为.

18．（12分）如图，在正方体中，点，分别在棱，上，且满足，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求平面截正方体所得截面的面积.

【答案】（1）见详解；（2）.

【解析】（1）在取，连，

正方体,，

，四边形是平行四边形，

，

共面，平面即为平面,

平面平面，

在中，，

在中，，

，

，

平面平面，

平面，平面平面，

即平面平面；

（2）在取，连，

正方体，

四点共面，平面截正方

体所得截面为梯形，

，

，

过做于，

，

，

平面截正方体所得截面的面积为.

19．（12分）如图，在正方体中，是的中心，分别是线段上的动点，且，．

（Ⅰ）若直线平面，求实数的值；

（Ⅱ）若，正方体的棱长为2，求平面和平面所成二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，连，由直线平面可证得，根据平行线分线段成比例定理可得，即，得到；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夹角求解即可．

试题解析：

（Ⅰ）取的中点，

∵是正的中心

∴点在上，且，

连,

∵平面,平面平面,

∴

∴,

∴,

∴.

（Ⅱ）当时，点分别是的中点，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则．

设平面的一个法向量为，

由，

得 ，令，得．

同理可得平面的一个法向量为

∴.

由图形知，平面和平面所成二面角为锐角，

∴平面和平面所成二面角的余弦值为．

20．（12分）已知空间向量

（1）求及的值；

（2）设函数的最小正周期及取得最大值时x的值。

【答案】（1）,（2）取得最大值时

【解析】（1）∵

∴①

∴

∴②

联立①，②解得：

（2）

∴

当

此时

21．（12分）请用空间向量求解已知正四棱柱中，，， 分别是棱，上的点，且满足，．

求异面直线，所成角的余弦值；

求面与面所成的锐二面角的余弦值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

在正四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，

所以AD，DC，两两垂直，

以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

又因，，E，F分别是棱，上的点，

且满足，，

所以0，，0，，1，，1，，0，，1，，1，，

所以，

设异面直线，所成角为

所以，

所以异面直线，所成角的余弦值为 

，

设平面的一个法向量为，

则，所以，令，

所以，

平面FAD的一个法向量为，

则，所以，令，所以，

所以，

所以面与面FAD所成的锐二面角的余弦值为

22．（12分）如图，三棱柱中，平面，，,点在线段上，且,.

（1）试用空间向量证明直线与平面不平行；

（2）设平面与平面所成的锐二面角为，若，求的长；

（3）在（2）的条件下，设平面平面，求直线与平面的所成角.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】解：依题意建立如图所示的空间直角坐标系,

设，则，，，，，，

（1）证明：由平面，知为平面的一个法向量，

所以

即直线与平面不平行

（2）平面的法向量，则

取，则，故

所以

解得

（3）在平面内，分别延长，交于点，连接，则直线是平面与平面交线，

，

,

,

设直线与平面的所成的角是，则为平面的一个法向量，

直线与平面的所成角为．