【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷14 圆锥曲线（解析版）

2021年高考数学一轮复习圆锥曲线创优测评卷（新高考专用） 一、单选题（共60分，每题5分）1.如图，圆锥形容器的高为圆锥内水面的高为且若将圆锥倒置，水面高为则等于（    ）A. B. C. D.【答案】D【解析】设圆锥形容器的底面积为，则未倒置前液面的面积为，∴水的体积，设倒置后液面面积为，则，∴，∴水的体积，∴，解得，故选：D.2.圆锥的高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为（　　）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆锥的高和底面半径之比，∴，又圆锥的体积，即，解得；∴，母线长为，则圆锥的表面积为.故选：D.3.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是（    ）A.两个圆锥拼接而成的组合体 B.一个圆台C.一个圆锥 D.一个大圆锥中挖去一个同底的小圆锥【答案】D【解析】如图，以AB所在直线为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.4.已知圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上下两部分，在原来圆锥的表面上任取一点，则点在圆锥上半部分的概率为（    ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意圆锥的母线长为，该圆锥侧面积为，底面积为，圆锥上半部分的面积为，所求概率.故选：A.5.如图：是圆锥底面圆的直径，，是圆锥的两种母线，为底面圆的中心，过的中点作平行于的平面，使得平面与底面圆的交线长为，沿圆锥侧面连接点和点，当曲线段长度的最小值为时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（    ）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据线面平行的性质定理，平面与底面圆的交线一定经过底面圆心，所以底面圆的半径为2，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，如图，曲线段AD的最小值为线段AD，所以，所以，所以，因为底面圆的周长为，所以母线长为6，，根据图形，球心一定位于所在直线上，设球心为，半径为，所以，所以，所以.故选D.6.若圆锥，的顶点和底面圆周都在半径为的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为，，则这两个圆锥公共部分的体积为（   ）A. B. C. D.【答案】A【解析】易得在同一条直线上，过该直线作出截面图如图所示.是圆锥底面圆的直径，是圆锥底面圆的直径，两直径都与垂直.在中，，则可得.在中，，则，则.又，所以点重合.这两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，其底面半径为，高为，所以所求体积为.故选A.7.已知圆锥曲线：与：的公共焦点为，.点为，的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，则的离心率为（   ）A. B. C. D.【答案】B【解析】：，：.设，，，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，解得，，由，运用勾股定理，可得，即为，由离心率的公式可得，，∵，∴，则.故选：B.8.下列判断正确的是（    ）A.两圆锥曲线的离心率分别为，则“”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件.B.已知为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆相交.C.设是实数，若方程表示双曲线，则.D.命题的否定是.【答案】D【解析】对于选项A,若,,此时,但两圆锥曲线一个是椭圆,一个是双曲线,故A错误；对于选项B,由为圆内异于圆心的一点可得,又因为圆心到直线的距离为,所以圆与直线相离,故B错误；对于选项C,若方程表示双曲线,则,则或,故C错误；对于选项D,由全称命题的否定即可判断,故D正确；故选:D9.若圆锥曲线（且）的一个焦点与抛物线的焦点重合，则实数（   ）A.9    B.7    C.1    D.-1【答案】A【解析】因为抛物线的焦点坐标为，即，所以，应选答案A。10.过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（    ）A. B.C. D.【答案】A【解析】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为，与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.故选：11.设有心圆锥曲线上一点P与两个焦点、的连线互相垂直.则的面积是（　　）.A. B.m C. D.不确定【答案】A【解析】，曲线为椭圆.则，①.②得，.类似地，时，.12.下列说法正确的是（    ）A.椭圆1上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为B.过双曲线1焦点的弦中最短弦长为C.抛物线y2＝2px上两点A（x1，y1）.B（x2，y2），则弦AB经过抛物线焦点的充要条件为x1x2D.若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切【答案】A【解析】对于A中，椭圆的左右顶点的分别为，设椭圆上除左右顶点以外的任意一点，则，又因为点在椭圆上，可得，解得，所以，所以A项是正确的；对于B中，设双曲线右焦点，（1）当直线与双曲线的右支交于，（i）当直线的斜率不存在时，则直线方程为，则，（ii）当直线的斜率存在时，则直线方程为，联立方程组，得，则，得或，由焦半径公式可得 ，所以当直线的斜率不存在时，的长最小，最小值为.（2）当过的直线与双曲线的两支各有一个交点时，此时可得的最小值为.综上可得，当，即，此时过焦点的弦长最短为；当，即，此时过焦点的弦长最短为.所以B项是不正确的；对于C中，充分性：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，因为，所以，此时直线过焦点.当直线的斜率存在时，设直线方程为，由，得，所以，且，又因为且，所以，解得或，所以直线方程为或,当直线时，取时，，直线过焦点；当直线时，取时，，直线过焦点；所以充分性不成立.必要性：当直线过焦点时，设过焦点的直线的方程为，代入，可得，则，则.所以抛物线上两点，则弦经过抛物线的焦点的必要不充分条件是，所以C是不正确的.对于D中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，所以该直线和圆锥曲线相切是错误，即D项是不正确的.故选：A. 二、填空题（共20分，每题5分）13.已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为_________【答案】【解析】由题意得：球的体积为：，圆锥的体积：，其中h为圆锥的高，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，可得，，故圆锥的母线长：，故答案为：.14.已知圆锥的母线长为4cm，圆锥的底面半径为1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面A点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程长为________cm【答案】【解析】由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 ，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，解得，所以展开图中圆心角为90°，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是.15.已知是与的等比中项，则圆锥曲线的离心率是__________.【答案】或【解析】由等比中项定义可知 所以 当 时，圆锥曲线为椭圆，离心率 当时，圆锥曲线为双曲线，离心率所以离心率为 或216.斜率为2的直线与圆锥曲线交于、两点，若弦长，则______.【答案】4【解析】设直线的斜率为，，得到弦长公式：，,于是有.故答案为：4 三、解答题17.（10分）如图，为圆锥的高，B、C为圆锥底面圆周上两个点，，， ，是的中点. （1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）（2）【解析】（1）根据，， ，可求得圆锥的母线长以及圆锥的底面半径，利用圆锥侧面积公式可得结果；（2）过作交于，连则为异面直线与所成角，求出 ，在直角三角形中，,从而可得结果.详解：（1）中，即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积故圆锥的全面积 （2）过作交于，连则为异面直线与所成角  在中，  是的中点  是的中点  在中，，，即异面直线与所成角的大小为18.（10分）已知圆锥曲线C：为参数和定点，，是此圆锥曲线的左、右焦点．Ⅰ以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；Ⅱ经过点且与直线垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求的值．【答案】（1）（2）【解析】Ⅰ圆锥曲线C：为参数消去参数可得C：，轨迹为椭圆，其焦点，，定点，，直线：，把，代入得到直线的极坐标方程为：，即Ⅱ由Ⅰ，，的斜率为，倾斜角为，的参数方程为，为参数，代入椭圆C的方程：中，得：，、N在的异侧，19.（12分）如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.（Ⅰ）若，求曲线的方程；（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐进线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线,若直线过点交曲线于点，求与面积之和的最大值.【答案】(Ⅰ)和；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).【解析】（1）由已知条件布列关于的方程组，即可得到曲线的方程；（2）设直线代入，得到，从而可得，所以弦的中点必在曲线的另一条渐进线上；（3）由题意可知：和面积之和等于面积的两倍，利用设而不求法表示，整体换元结合均值不等式即可求得面积的最大值.试题解析：（Ⅰ），则曲线的方程为和（Ⅱ）曲线的渐近线为，如图，设直线，则，设点，则，，，即点在直线上.（Ⅲ）因为的中点为原点，所以和面积之和等于面积的两倍，由（Ⅰ）知，曲线，点，设直线的方程为，，设由韦达定理：，所以，到直线距离，，令，，，当且仅当即时等号成立，所以时，与面积之和的最大值为20.（12分）已知圆锥曲线：与：的公共焦点为，.点为，的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，求的离心率.【答案】【解析】：，：.设，，，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，解得，，由，运用勾股定理，可得，即为，由离心率的公式可得，，∵，∴，则.21.（12分）已知圆锥曲线（为参数）和定点，是此圆锥曲线的左、右焦点.（Ⅰ）以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；（Ⅱ）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由曲线的参数方程消参得，，，得，，，，化为极坐标方程：，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，直线,所以直线的斜率为，倾斜角为，所以直线的参数方程：（为参数）代入，整理得：，，和在两侧，.22.（14分）（1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；（2）如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；（3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），；，；.【解析】（1）由的周长为得,椭圆与双曲线有相同的焦点,所以,即,则,,则椭圆的方程为（2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为,当时,,,即；当时,,,即；所以为定值.（3）显然“盾圆”由两部分合成,所以按在抛物弧或椭圆弧上加以分类,由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方（或轴上）；当时,,此时,；当时,在椭圆弧上,由题设知代入得,,整理得,解得或（舍去）当时,在抛物弧上,方程或定义均可得到,于是,综上,或；相应地,,当时, 在抛物弧上,在椭圆弧上,；当时,在椭圆弧上, 在抛物弧上,;当时, 、在椭圆弧上,；综上, ，；，； 的取值范围是