【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷15 导数（解析版）

2021年高考数学一轮复习导数创优测评卷(新高考专用) 一、单选题（共60分，每题5分）1．的导数是(    ) A．        B．          C．     D． 【答案】D【解析】.故D正确.2．给出下列五个导数式：①；②；③；④；⑤.其中正确的导数式共有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【解析】①正确；②改为 ；③正确；④改为 ；⑤改为 故正确的有2个，故选A.3．设在处有导数，则(    )A． B． C．  D．【答案】C【解析】根据导数的定义可知，，所以.故选：C4．函数的导数为，对任意的正数都有成立，则（    ）A． B．C． D．与的大小不确定【答案】A【解析】由，得，设，则，因为是正数，所以，又，所以，所以在上单调递减，所以，即，即.故选：A5．已知函数，是的导数，的大致图象是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数的定义域为，所以的定义域也为，所以其图象为所比例函数在第一象限的部分，故应选C.6．已知函数，其中为函数的导数，则（    ）A．2 B．2019 C．2018 D．0【答案】A【解析】令，则有因为的定义域是R，所以是奇函数，所以是偶函数所以，所以故选：A7．若函数f(x)于x0处存在导数，则(　　)A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0，h均无关【答案】B【解析】依据导数的定义，函数f(x)在x0处可导，其导数仅与x0有关，故选B．答案：B8．函数在处的导数的几何意义是（ ）A．在处的函数值B．在点处的切线与x轴所夹锐角的正切值C．曲线在点处的切线斜率D．点与点（0,0）连线的斜率【答案】C【解析】由导数的几何意义可知，函数在的导数为曲线在点处的切线的斜率．9．设分别是函数的导数，且满足，.若中，是钝角，则A． B．C． D．【答案】C【解析】因为在时成立，所以在为增函数，又因为为钝角，所以，则，所以，所以.故选C.10．已知函数的导数，则数列的前项和是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，则，得，，，因此，数列的前项和.故选：C.11．如图，是函数图像上一点，曲线在点处的切线交轴于点，轴，垂足为，若的面积为，为函数在处的导数值，则 与满足关系式（    ）       A．  B．  C． D．【答案】B【解析】切线方程是，令，得，，那么，得到，故选B．12．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则   A．2016 B．2017 C．2018 D．2019【答案】C【解析】函数，函数的导数，，由得，解得，而，故函数关于点对称，，故设，则，两式相加得，则，故选C.二、填空题（共20分，每题5分）13．已知函数，是函数的导数，若表示的导数，则__________．【答案】【解析】依题意，，，以此规律，可推出，故答案为.14．设，定义为的导数，即，，若的内角满足，则______.【答案】【解析】，，，，，，，，具备周期性，周期为4．且，因为，，，所以.故答案为：15．已知函数，设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点，记为函数的导数，则的值为_____．【答案】【解析】因为函数，所以；则曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为：，联立得：，即，所以，则，故答案为.16．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，则数列的通项公式为，则__________．【答案】4034【解析】对函数求导，再求导．由题可得拐点，三次函数有对称中心．则有．则＝．故本题应填．三、解答题（共70分）17．（10分）已知函数，其中常数．（1）讨论函数的单调性；（2）已知，表示的导数，若，且满足，试比较与的大小，并加以证明．【答案】（1）当时， 在上为增函数；当时， 在，上为增函数，在上为减函数；当时， 在，上为增函数，在上为减函数；（2）<，证明见解析．【解析】（1）求出的导数并因式分解，按照三种情况讨论在定义域内各个区间上导数的符号，从而判断函数的单调性；（2）把设为一个新函数，用导数判断出其在上的单调性，根据和代入化简得到的范围和的关系，整理，把令构造新函数再判断其单调性，从而使问题得到解答．试题解析：解：（1）函数的定义域为， 由得，，当时，，所以在上为增函数；当时， ，所以在，上为增函数；在上为减函数；当时，，所以在，上为增函数；在上为减函数；（2）令 则      ，在上为减函数，即在上为减函数以题意，不妨设，又因为，所以，，所以，且，由，得， ，， 令，则，所以，在内为增函数，又因为所以，，即：所以，． 18．（12分）已知函数 ，为的导数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）已知，求函数在区间上的最大值与最小值.【答案】(1) .(2) =.   =.【解析】分析：（1）由，得，由切线斜率得，从而得解；（2）先求导得，进而得，分析导数正负得函数单调性，进而得，比较和，进而得最小值.详解：（1） ， ，. 曲线在点处的切线方程为， 从而有，解得.（2） 时，， ，从而得， == 当时，，为增函数；当 时，，为减函数. 所以=极大值==.又=，=，， =19．（12分）已知函数，其中常数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）已知，表示的导数，若，且满足，试比较与的大小，并加以说明．【答案】（1）在，上为增函数，在上为减函数；（2）【解析】（1）首先求出函数的定义域为，然后再根据导数在函数单调性中的应用，即可求出函数的单调性； （2）设函数的图象与函数的图象关于原点对称，利用作差、分解因式的方法得出，然后用单调性的定义证明在上单调递减，在这两点基础上结合函数的单调性与奇函数的性质，证出．试题解析：解：（1）函数的定义域为，，由得，，当时，，所以在，上为增函数，在上为减函数，（2）令，则，∵，∴，∴，∴，∴在上为减函数，即在上为减函数，依题意，不妨设，又因为，，所以，∴且，由，得，∴，令，，则，所以在内为增函数，又因为，所以，即，所以．20．（12分）已知函数，，为的导数.求证：在区间上存在唯一零点；（其中，为的导数）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】证明见解析；.【解析】解：证明：，，则，显然，函数在区间上单调递增.又，，在区间上存在唯一零点.由知，，不等式即为，即在上恒成立，令则，当时，，在是增函数，当时，，则在单调递增，故，故，实数的取值范围是.21．（12分）已知函数（）.（Ⅰ）若函数，讨论的单调性；（Ⅱ）若函数的导数的两个零点从小到大依次为，，证明：.【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）∵∴（）.当时，，∴在上单调递增，在上单调递减；当时，或，∴在，上单调递增，在上单调递减；当时，或，∴在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上恒成立，所以在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增.（Ⅱ）∵（）.且的两个零点从小到大依次为，∴，是方程的两个根，∴又，且所以欲证，即证只需证令（），∴在上单调递增，上单调递减，∴，即成立.22．（12分）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若，请你根据这一发现.（1）求函数对称中心；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）三次函数的对称中心是的实根，解得，再代入求 ，即求得函数的对称中心；（2）根据（1）的结果可知函数的对称中心是，即任何，所以，以此类推，,或采用倒序相加法求和. 试题解析：（1），由，即，解得..由题中给出的结论可知，函数对称中心为.（2）由（1）知，函数对称中心为.所以，即.故，.所以.