2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第01章 第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

[基础题组练]

1．(2020·安徽蚌埠第一次教学质量检查)命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为(　　)

A．任意常数列不是等比数列

B．存在常数列是等比数列

C．任意常数列都是等比数列

D．不存在常数列是等比数列

解析：选C．因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p：任意常数列都是等比数列，故选C．

2．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC” 是“A∩B＝∅”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A．由A⊆C，B⊆∁UC，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁UC，如图所示，

所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．

3．已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈，f(x)<0，则(　　)

A．p是假命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0

B．p是假命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0

C．p是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0

D．p是真命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0

解析：选C．易知f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p：∃x∈，f(x)<0是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0，故选C．

4．(2020·郑州模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B．由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．

5．(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)

A．充分条件  B．必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B．“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B．

6．已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)  B．(－1，3)

C．(－3，＋∞)  D．(－3，1)

解析：选B．原命题的否定为∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0，由题意知，其为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－2<a－1<2，则－1<a<3.

7．(多选)已知a，b，c是实数，下列结论中正确的是(　　)

A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件

B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件

C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件

D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件

解析：选CD．对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是a<b，所以充分性不成立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是a2<b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2>bc2得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是a<b，所以充分性不成立，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选CD．

8．(多选)(2021·预测)下列命题说法错误的是(　　)

A．∃x0∈R，ex0≤0

B．∀x∈R，2x>x2

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1

D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1

解析：选ABC．根据指数函数的性质可得ex>0，故A错误；x＝2时，2x>x2不成立，故B错误；当a＝b＝0时，没有意义，故C错误； 因为“x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题为“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故选ABC．

9．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，>x＋1”，则命题p可写为____________________．

解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．

答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1

10．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．

解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．

答案：充要

11．条件p：x>a，条件q：x≥2.

(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是___________________________；

(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是____________________________．

解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，

(1)因为p是q的充分不必要条件，

所以AB，所以a≥2；

(2)因为p是q的必要不充分条件，

所以BA，所以a<2.

答案：(1)[2，＋∞)　(2)(－∞，2)

12．已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________．

解析：A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2.

答案：[0，2]

[综合题组练]

1．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x，y∈R，则“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B．当“x＋y≤1”时，如x＝－4，y＝1，满足x＋y≤1，但不满足“x≤且y≤”．当“x≤且y≤”时，根据不等式的性质有“x＋y≤1”．故“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的必要不充分条件．故选B．

2．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x的不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4 ，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≤1  B．a<1

C．a>3  D．a≥3

解析：选D．|x－1|<a⇒－a<x－1<a⇒1－a<x<1＋a，因为不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4，所以(0，4)⊆(1－a，1＋a)，所以⇒⇒a≥3.故D正确．

3．设p：－<x<(m>0)；q：x<或x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______．

解析：因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以≤，所以0<m≤2.

答案：(0，2]

4．若∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．

解析：因为∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，所以∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，使得λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.

答案：(－∞，2]