【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷13 椭圆（解析版）

2021年高考数学一轮复习椭圆创优测评卷(新高考专用) 一、单选题（共60分，每题5分）1．命题“，曲线是椭圆”的否定是（    ）A．，曲线是椭圆 B．，曲线不是椭圆C．，曲线是椭圆 D．，曲线不是椭圆【答案】B【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，曲线是椭圆”的否定是，曲线不是椭圆，故选：B.2．已知椭圆C:，点，则点A与椭圆C的位置关系是（    ）．A．点A在椭圆C上 B．点A在椭圆C内 C．点A在椭圆C外 D．无法判断【答案】B【解析】当时，代入椭圆得到 ， 故点在椭圆内故选：B3．已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如图，点在椭圆上，所以，由，代入上式得，在，，又，所以，即，4．黄金分割比例具有严格的比例性，艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感，被称为是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法中正确的个数为（    ）①椭圆是“黄金椭圆；②若椭圆，的右焦点且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”；③设椭圆，的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆”；④设椭圆，，的左右顶点分别A，B，左右焦点分别是，，若，，成等比数列，则该椭圆为“黄金椭圆”；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①，，故是“黄金椭圆”；②即故，则或（舍），是“黄金椭圆”；③由可知，化简可知，则或（舍），是“黄金椭圆”；④若，，成等比数列，则，则，不是“黄金椭圆.故选：C5．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，，则该椭圆的离心率e的范围是（ ）A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】设则．又由于，所以即可得．所以点P在以OA为直径的圆上．及椭圆与该圆有公共点． 消去y得．由于过点A所以有一个根为，另一个根设为，则由韦达定理可得．又因为．所以解得．故选B．6．已知、为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦，若的周长为16，椭圆离心率，则椭圆的方程为(　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】根据椭圆的几何性质有．因为的周长为16，所以．而，所以，解得．因为椭圆的离心率，所以，从而，所以椭圆方程为，故选D7．如图，在边长为10的正方形内有一个椭圆，某同学用随机模拟的方法求椭圆的面积．若在正方形内随机产生2000个点，并记录落在椭圆区域内的点的个数有680个，则椭圆区域的面积约为（    ）A．34 B．66 C．68 D．132【答案】A【解析】设椭圆区域的面积为．由题知，正方形的面积，若在正方形内随机产生2000个点，并已录落在椭圆区域内的点的个数有680个，则满足，解得．故选：A.8．能够把椭圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】椭圆的中心为原点，选项B中函数是奇函数且图像关于原点对称，过原点，故是亲和函数。9．已知点，,是直线上任意一点，以为焦点的椭圆过点，记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是A．与一一对应 B．函数是增函数C．函数无最小值，有最大值 D．函数有最小值，无最大值【答案】C【解析】由题意可得c=2，椭圆离心率．故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大．由椭圆的定义可得|PA|+|PB|=2a， 由于|PA|+|PB|有最小值而没有最大值，即a有最小值而没有最大值，故椭圆离心率e有最大值而没有最小值，故C正确，且D不正确．当直线y=x+4和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，都等于2a，故这两个交点对应的离心率e相同，故A不正确．由于当x0的取值趋于负无穷大时，|PA|+|PB|=2a趋于正无穷大；而当x0的取值趋于正无穷大时，|PA|+|PB|=2a也趋于正无穷大，故函数e（x0）不是增函数，故B不正确．故选C．10．给出下列两个命题：命题空间任意三个向量都是共面向量；命题若，，则方程表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】命题空间任意三个向量都是共面向量，为假命题；当时，方程表示圆，故为假命题；故，，为假命题，为真命题.故选：.11．已知椭圆 ，点在椭圆上，且，其中为坐标原点，则点的坐标为（    ）A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】由题意得，设，由，则，所以，与椭圆方程联立，解得，即点的坐标为，故选A.12．已知椭圆的焦点为，椭圆上的动点的坐标为，且为锐角，则的取值范围是（    ）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由椭圆的两个焦点分别为,设，由为锐角时，则，又由点在椭圆上，可得，即，代入可得，整理得，即，又由当时，此时（不符合题意，舍去），所以的取值范围是.故选：A.二、填空题（共20分，每题5分）13．已知椭圆，分别为椭圆的两焦点，点椭圆在椭圆上，且，则的面积为__________．【答案】6【解析】 14．已知椭圆及以下3个函数：①；②；③,其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有______个.【答案】2【解析】∵①为奇函数，作出其图象，由图可知能等分该椭圆面积；同理，②为奇函数，能等分该椭圆面积；③为偶函数，其图象关于轴对称，在轴右侧时，，只有时，故不能等分该椭圆面积.故答案为：2.15．已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆内一点，点Q在椭圆上，则的最大值为_____________.【答案】5【解析】，故答案为：5.16．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．对于下列命题：①椭圆是黄金椭圆；②若椭圆是黄金椭圆，则；③在中，，且点在以为焦点的黄金椭圆上，则的周长为；④过黄金椭圆的右焦点作垂直于长轴的垂线，交椭圆于两点，则；⑤设是黄金椭圆的两个焦点，则椭圆上满足的点不存在．其中所有正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上）【答案】③④⑤【解析】对①，，①不正确；对②，若焦点在轴上，则，解得，若焦点在轴上，则，解得，②不正确；对③，，，，③正确；对④，，④正确；对⑤，设，则，而，所以，与联立无实数解．因此椭圆上满足的点不存在，⑤正确，故答案为③④⑤.三、解答题17．（10分）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接（1）求椭圆的方程及离心率；（2）求证：．【答案】（1）椭圆的方程为，离心率；（2）见解析【解析】（1）由题可知：，又所以故椭圆的方程为，离心率（2）设点由点是线段的中点，所以由①，②则②-①：由三点共线，所以则即所以18．（12分）已知中心在原点，左焦点为的椭圆的左顶点为，上顶点为，到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆：，椭圆：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆．已知是椭圆的3倍相似椭圆，若直线与两椭圆、交于四点（依次为、、、），且，试研究动点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设椭圆方程为：直线方程为到直线距离，又，椭圆的方程为；（2）椭圆的倍相似椭圆的方程为，设、、、坐标，将代入椭圆方程，（*）和，，同理可得，，，可得线段、中点相同 满足（*）式动点的轨迹方程为．试题解析：（1）设椭圆方程为：，所以直线方程为．∴到直线距离，整理得，又，解得，，所以椭圆的方程为．（2）椭圆的倍相似椭圆的方程为，设、、、各点坐标依次为、、、，将代入椭圆方程，得，∴，（*）此时，，，∴，将代入椭圆方程，得，∴，，∴，∴，可得线段、中点相同，所以，由，可得，所以，可得，∴，即满足（*）式，故动点的轨迹方程为．19．（12分）已知椭圆：，若椭圆：，则称椭圆与椭圆 “相似”.（1）求经过点，且与椭圆： “相似”的椭圆的方程；（2）若，椭圆的离心率为，在椭圆上，过的直线交椭圆于，两点，且.①若的坐标为，且，求直线的方程；②若直线，的斜率之积为，求实数的值.【答案】（1）；（2）①，②.【解析】⑴设椭圆的方程为，结合椭圆过点可得椭圆的方程为.⑵由题意设椭圆，椭圆，设，①方法一：联立直线方程与椭圆方程可得，则，，代入椭圆可得，解得，直线的方程为.方法二：由题意得，则椭圆，，设，则，联立椭圆方程可得， 则直线的方程为.②方法一： 由题意得，结合，则，可得：，整理计算得到关于的方程：，.方法二：不妨设点在第一象限，直线，与椭圆方程联立可得，则，直线的斜率之积为，计算可得，则，结合，可得，即，.试题解析：⑴设椭圆的方程为，代入点得，所以椭圆的方程为.⑵因为椭圆的离心率为，故，所以椭圆，又椭圆与椭圆“相似”，且，所以椭圆，设，①方法一：由题意得，所以椭圆，将直线，代入椭圆得，解得，故，所以，又，即为中点，所以，代入椭圆得，即，即，所以，所以直线的方程为.方法二：由题意得，所以椭圆，，设，则，代入椭圆得，解得，故，所以， 所以直线的方程为.②方法一： 由题意得，，即，，则，解得，所以，则，，所以，即，所以.方法二：不妨设点在第一象限，设直线，代入椭圆，解得，则，直线的斜率之积为，则直线，代入椭圆，解得，则，，则，解得，所以，则，，所以，即，即，所以.20．（12分）如图，正方形ABCD内接于椭圆，正方形EFGH和正方形UHK中的顶点E、H、I在椭圆上，顶点K、H、G在边AB上，顶点J在边HE上，已知正方形ABCD与正方形EFGH的面积比为4：1求正方形UHK与正方形EFGH的面积比（精确到0.001).【答案】0.144:1【解析】设椭圆的方程为正方形ABCD的边长为2m.则于是，-消去得.-消去得.于是，椭圆的方程可以写为              设正方形UHK的边长为t.则.将点的坐标代入式得，即解得（负值舍去）.于是，正方形UHK的面积为故正方形IJHK与正方形EFGH的面积比为0.144:1.21．（12分）设椭圆：（）,左、右焦点分别是、且,以为圆心,3为半径的圆与以为圆心,1为半径的圆相交于椭圆上的点（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆：,为椭圆上任意一点,过点的直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点①求的值；②令,求的面积的最大值.【答案】（1）（2）①②【解析】解：（1）由题意可知，，可得，又,,即有椭圆的方程为；（2）由（1）知椭圆的方程为,①设,,由题意可知,,由于,代入化简可得,所以,即；②设,,将直线代入椭圆的方程,可得,由,可得,③则有,,所以,由直线与轴交于,则的面积为设,则,将直线代入椭圆的方程,可得,由可得,④由③④可得,则在递增，即有取得最大值，即有，即，取得最大值，由①知，的面积为，即面积的最大值为.22．（12分）以椭圆的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；（2）过点作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记为坐标原点）的面积为，将表示为m的函数，并求的最大值．【答案】（1）,；（2），，的最大值为1．【解析】（1）椭圆的离心率为，可得，即又由，可得，设椭圆C的方程为，因为椭圆C过点，代入可得，解得，所以椭圆C的标准方程为，又由，即“伴随圆”是以原点为圆心，半径为1的圆，所以椭圆C的“伴随”方程为．（2）由题意知，，易知切线的斜率存在，设切线的方程为，由得，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，．又由l与圆x2+y2=1相切，所以，k2=m2-1．所以=，则，，可得（当且仅当时取等号），所以当时，S△AOB的最大值为1．