人教版八年级上册几何压轴题专项训练 解析版

这是一份初中数学人教版八年级上册本册综合精品课后测评，共25页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
1．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．


（1）求证：BE＝AD；


（2）求∠BPQ的度数；


（3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长．

















2．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．


（1）求证：△ABD≌△ACF；


（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝BD；


（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数．

















3．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE，并延长AD交BE于点P；


（1）求证：AD＝BE；


（2）试说明AD⊥BE；


（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．














4．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，设点P运动的时间为t．


（1）用含有t的代数式表示线段PC的长度；


（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；


（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？











5．以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．


（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；


（2）延长BD交CE于点F，试求∠BFC的度数；


（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．














6．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．


（1）求证：△CAE≌△BAD；


（2）探究：当点D在BC边上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；


（3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF＝DC．











7．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．


（1）求证：△ABC≌△ADE；


（2）求∠FAE的度数；


（3）求证：CD＝2BF+DE．

















8．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝CD，已知两点A（4，0），C（0，7），点D在第一象限内，∠DCA＝90°，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M，AC与BD交于点N．


（1）点B的坐标为： ；


（2）求点D的坐标；


（3）求证：CM＝CN．











9．已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．





（1）求证：△BAD≌△ACE；


（2）试判断线段DE，BD，CE之间的数量关系，并说明理由；


（3）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE，BD，CE之间的数量关系．

















10．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．


（1）请说出AD＝BE的理由；


（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；


（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．














11．（1）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE＝AD．


（2）如图2，在△BCD中，若∠BCD＜120°，分别以BC，CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC，等边△CDE，等边△BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．


①求证：AD＝BE＝CF；


②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．














12．已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．


问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．














如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝20cm．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P，点Q的速度都是2cm/s，当点P第一次到达B点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．





（1）∠A＝ 度；


（2）当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，求t的值；


（3）当△APQ为等边三角形时，直接写出t的值．














14．如图，在三角形ABC中，AB＝8，BC＝16，AC＝12．点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→＞B→C→A的方向运动，点Q从点B沿B→C→A的方向与点P同时出发；当点P第一次回到A点时，点P，Q同时停止运动；用t（秒）表示运动时间．





（1）当t＝ 秒时，P是AB的中点．


（2）若点Q的运动速度是个单位长度/秒，是否存在t的值，使得BP＝2BQ．


（3）若点Q的运动速度是a个单位长度/秒，当点P，Q是AC边上的三等分点时，求a的值．











15．如图，等边△ABC的边长为15cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动


（1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？


（2）点M、N运动几秒后，△AMN为等边三角形？


（3）当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间．











16．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．


（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．


①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；


②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？


（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？











参考答案


1．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，


∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，


在△AEB与△CDA中，


，


∴△AEB≌△CDA（SAS），


∴BE＝AD；





（2）解：由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE＝∠CAD，


∴∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，


∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABD＝60°；





（3）解：如图，由（2）知∠BPQ＝60°．


∵BQ⊥AD，


∴∠PBQ＝30°，


∴PQ＝BP＝3，


∴BP＝6


∴BE＝BP+PE＝7，即AD＝7．





2．解：（1）∵∠BAC是直角，CE⊥BD，


∴∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，


∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠ABD+∠ADB＝90°，


∵∠ADB＝∠CDE，


∴∠ABD＝∠ACF，


在△ABD和△ACF中，，


∴△ABD≌△ACF（ASA）；





（2）由（1）知，△ABD≌ACF，


∴BD＝CF，


∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，


∴BC＝BF，


∵BD⊥CE，


∴CE＝EF，


∴CE＝CF＝BD；





（3）∠AED不变化


理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，


由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），


∴S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，


∴BD•AH＝CF•AG，而BD＝CF，


∴AH＝AG，


∵AH⊥EB，AG⊥EG，


∴EA平分∠BEF，


∴∠BEA＝∠BEG＝45°，


即：∠AED不变化．





3．解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，


∴∠CBA＝∠CAB，


∴BC＝CA，


在△BCE和△ACD中，


，


∴△BCE≌△ACD（SAS），


∴AD＝BE．


（2）∵△BCE≌△ACD，


∴∠EBC＝∠DAC，


∵∠BDP＝∠ADC，


∴∠BPD＝∠DCA＝90°，


∴AD⊥BE．


（3）AD⊥BE不发生变化．


理由：如图（2），





∵△BCE≌△ACD，


∴∠EBC＝∠DAC，


∵∠BFP＝∠AFC，


∴∠BPF＝∠ACF＝90°，


∴AD⊥BE．


4．解：（1）由运动知，BP＝3t，


∵BC＝8，


∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3t；





（2）全等，理由：


当t＝1时，BP＝3，CP＝5，CQ＝3，


∴BP＝CQ，


∵点D是AB的中点，


∴BD＝AB＝5，


∴CP＝BD，


在△BPD和△CQP中，，


∴△BPD≌△CQP（SAS）；





（3）∵BP＝3t，CP＝8﹣3t，


设点Q的运动速度为xcm/s，


∴CQ＝xt，


当△BPD≌△CQP时，


∴BP＝CQ，


∴3t＝xt，


∴x＝3（不符合题意），





当△BPD≌△CPQ时，


∴BP＝CP，BD＝CQ，


∴3t＝8﹣3t，5＝xt，


∴t＝，x＝，


∴点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．


5．解：（1）CE＝BD，理由如下：


∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，


∴AE＝AD，AC＝AB，


在△EAC与△DAB中，


，


∴△EAC≌△DAB（SAS），


∴CE＝BD；


（2）∵△EAC≌△DAB，


∴∠ECA＝∠DBA，


∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，


∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，


∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；


（3）成立，


∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，


∴AE＝AD，AC＝AB，


在△EAC与△DAB中，


，


∴△EAC≌△DAB（SAS），


∴CE＝BD；


∵△EAC≌△DAB，


∴∠ECA＝∠DBA，


∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，


∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，


∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．


6．（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，


∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，


∴∠CAE＝∠BAD．


∵AD＝AE，AC＝AB，


∴△CAE≌△BAD（SAS）．


（2）解：α+β＝180°，


理由如下：


由△CAE≌△BAD，


∴∠ACE＝∠B．


∵AB＝AC，


∴∠B＝∠ACB．


∴∠ACE＝∠B＝∠ACB．


∴∠BCE＝β＝2∠B，


在△ABC中，∠BAC＝α＝180°﹣2∠B．


∴α+β＝180°．


（3）证明：由（1）知，△CAE≌△BAD，


∴CE＝BD．


∵∠BAC＝90°，AB＝AC，


∴∠B＝∠ACB＝45°，


由（2）得，∠BCF+∠BAC＝180°．


∴∠BCF＝90°．


∴∠F＝∠B＝45°，


∴CF＝CB．


∴CF﹣CE＝CB﹣BD．


∴EF＝DC．


7．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，


∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，


∴∠BAC＝∠DAE，


在△BAC和△DAE中，


，


∴△BAC≌△DAE（SAS）；


（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，


∴∠E＝45°，


由（1）知△BAC≌△DAE，


∴∠BCA＝∠E＝45°，


∵AF⊥BC，


∴∠CFA＝90°，


∴∠CAF＝45°，


∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；


（3）延长BF到G，使得FG＝FB，


∵AF⊥BG，


∴∠AFG＝∠AFB＝90°，


在△AFB和△AFG中，


，


∴△AFB≌△AFG（SAS），


∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，


∵△BAC≌△DAE，


∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，


∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，


∴∠G＝∠CDA，


∵∠GCA＝∠DCA＝45°，


在△CGA和△CDA中，


，


∴△CGA≌△CDA（AAS），


∴CG＝CD，


∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，


∴CD＝2BF+DE．





8．解：（1）∵A（4，0），


∴OA＝OB＝4，


∴B（0，4），


故答案为：（0，4）．


（2）∵C（0，7），


∴OC＝7，


过点D作DE⊥y轴，垂足为E，





∴∠DEC＝∠AOC＝90°，


∵∠DCA＝90°，


∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90°


∴∠BCA＝∠EDC，


∴△DEC≌△COA（AAS），


∴DE＝OC＝7，EC＝OA＝4，


∴OE＝OC+EC＝11，


∴D（7，11）；


（3）证明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7


∴BE＝DE，


∴△DBE是等腰直角三角形，


∴∠DBE＝45°，


∵OA＝OB，


∴∠OBA＝45°，


∴∠DBA＝90°，


∴∠BAN+∠ANB＝90°，


∵∠DCA＝90°，


∴∠CDN+∠DNC＝90°，


∵∠DNC＝∠ANB，


∴∠CDN＝∠BAN，


∵∠DCA＝90°，


∴∠ACM＝∠DCN＝90°，


∴△DCN≌△ACM（ASA），


∴CM＝CN．


9．（1）证明：∵BD⊥MN，CE⊥MN，


∴∠BDA＝∠AEC＝90°，


∴∠BAD+∠ABD＝90°，


又∵∠BAC＝90°，


∴∠BAD+∠CAE＝90°，


∴∠ABD＝∠CAE，


在△BAD和△ACE中，，


∴△BAD≌△ACE（AAS），


（2）解：DE＝BD+CE．


理由如下：


由（1）得：△BAD≌△ACE，


∴BD＝AE，AD＝CE，


又DE＝AE+AD，


∴DE＝BD+CE，


（3）DE＝CE﹣BD，


同（1）可得：△BAD≌△ACE，


故BD＝AE，AD＝CE，


又DE＝AD﹣AE，


∴DE＝CE﹣BD．


10．解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形


∴AC＝BC，EC＝DC


∠ACB＝∠ECD＝60°


∴∠ACD＝∠ECB


∴△ACD≌△BCE


∴AD＝BE；





（2）∵△ACD≌△BCE


∴∠CBH＝∠CAG


∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上


∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°


又∵AC＝BC


∴△ACG≌△BCH；





（3）△CGH是等边三角形，理由如下：


∵△ACG≌△BCH


∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）


又∵∠ACG＝60°


∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；


11．（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，


∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，


∴∠ABC+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，


即∠BCE＝∠ACD，


∴∠BCE≌△ACD（SAS），


∴BE＝AD；





（2）①证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，


∴AB＝BC，CD＝BE，∠ACB＝∠DCE＝60°，


∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，


即∠ACD＝∠BCE，


∴△ACD≌△BCE（SAS），


∴AD＝BE，


同理：△ABD≌△CBF（SAS），


∴AD＝CF，


即AD＝BE＝CF；





②解：结论：PB+PC+PD＝BE，


理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC＝∠BQP，


由①知，△ACD≌△BCE，


∴∠CAD＝∠CBE，


在△ACQ中，∠CAD+∠AQC＝180°﹣∠ACB＝120°，


∴∠CBE+∠BQP＝120°，


在△BPQ中，∠APB＝180°﹣（∠CBE+∠BQP）＝60°，


∴∠DPE＝60°，


同理：∠APC＝60°，


∴∠CPD＝120°，


在PE上取一点M，使PM＝PC，


∴△CPM是等边三角形，


∴CP＝CM，∠PCM＝∠CMP＝60°，


∴∠CME＝120°＝∠CPD，


∵△CDE是等边三角形，


∴CD＝CE，∠DCE＝60°＝∠PCM，


∴∠PCD＝∠MCE，


∴△PCD≌△MCE（SAS），


∴PD＝ME，


∴BE＝PB+PM+ME＝PB+PC+PD．





12．证明：连接DE、EF、DF．


（1）当点G在线段BE上时，如图①，


在EF上截取EH使EH＝BG．


∵D、E、F是等边△ABC三边中点，


∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE＝AB＝BD．


在△DBG和△DEH中，，


∴△DBG≌△DEH（SAS），


∴DG＝DH．


∴∠BDG＝∠EDH．


∵∠BDE＝∠GDE+∠BDG＝60°，


∴∠GDH＝∠GDE+∠EDH＝60°


∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．





（2）当点G在射线EC上时，如图②，


在EF上截取EH使EH＝BG．


由（1）可证△DBG≌△DEH．


∴DG＝DH，∠BDG＝∠EDH．


∵∠BDE＝∠BDG﹣∠EDG＝60°，


∴∠GDH＝∠EDH﹣∠EDG＝60°．


∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．





（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．


综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．











13．解：（1）∵AB＝BC＝AC，


∴△ABC为等边三角形，


∴∠A＝60°，


故答案为：60．


（2）∵∠A＝60°，


当∠APQ＝90°时，∠AQP＝90°﹣60°＝30°．


∴QA＝2PA．


即20﹣2t＝2t×2．


解得 ．


当∠AQP＝90°时，∠APQ＝90°﹣60°＝30°．


∴PA＝2QA．


即2（20﹣2t）＝2t．


解得 ．


∴当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，t的值为．


（3）①由题意得：AP＝2t，AQ＝20﹣2t，∵∠A＝60°，


∴当AQ＝AP时，△APQ为等边三角形，


∴2t＝20﹣2t，解得t＝5，


②当P于B重合，Q与C重合，则所用时间为：4÷2＝20，


综上，当△APQ为等边三角形时，t＝5或20．


14．解：（1）∵AB＝8，点P的运动速度为2个单位长度/秒，


∴当P为AB中点时，


即4÷2＝2（秒）；


故答案为：2．


（2）由题意可得：当 BP＝2BQ时，


P，Q分别在AB，BC上，


∵点Q的运动速度为个单位长度/秒，


∴点Q只能在BC上运动，


当点P在AB上，


∴BP＝8﹣2t，BQ＝t，


则8﹣2t＝2×t，


解得t＝，


当点P在BC上时，


BP＝2t﹣8，BQ＝，


∴2t﹣8＝2×t，


解得t＝12．


当点P运动到AC上时，不存在BP＝2BQ；


故t＝12或，使得BP＝2BQ．


（3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图1，





AB+BC+CP＝8+16+8＝32，


此时t＝32÷2＝16，


∵BC+CQ＝16+4＝20，


∴a＝20÷16＝，


当点P为靠近点C的三等分点时，如图2，





AB+BC+CP＝8+16+4＝28，


此时t＝28÷2＝14，


∵BC+CQ＝16+8＝24，


∴a＝24÷14＝．


综上可得：a的值为或．


15．解：（1）设运动t秒，M、N两点重合，


根据题意得：2t﹣t＝15，


∴t＝15，


答：点M，N运动15秒后，M、N两点重合；





（2）如图1，设点M、N运动x秒后，△AMN为等边三角形，


∴AN＝AM，


由运动知，AN＝15﹣2x，AM＝x，


∴15﹣2x＝x，


解得：x＝5，


∴点M、N运动5秒后，△AMN是等边三角形；





（3）假设存在，


如图2，设M、N运动y秒后，得到以MN为底边的等腰三角形AMN，


∴AM＝AN，


∴∠AMN＝∠ANM，


∵△ABC是等边三角形，


∴AB＝AC，∠C＝∠B＝60°，


∴△ACN≌△ABM（AAS），


∴CN＝BM，


∴CM＝BN，


由运动知，CM＝y﹣15，BN＝15×3﹣2y，


∴y﹣15＝15×3﹣2y，


∴y＝20，


故点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为20秒．








16．解：（1）①∵t＝1s，


∴BP＝CQ＝3×1＝3cm，


∵AB＝10cm，点D为AB的中点，


∴BD＝5cm．


又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，


∴PC＝8﹣3＝5cm，


∴PC＝BD．


又∵AB＝AC，


∴∠B＝∠C，


在△BPD和△CQP中，





∴△BPD≌△CQP（SAS）．


②∵vP≠vQ，


∴BP≠CQ，


若△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，


则BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝5cm，


∴点P，点Q运动的时间s，


∴cm/s；





（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，


由题意，得x＝3x+2×10，


解得．


∴点P共运动了×3＝80cm．


△ABC周长为：10+10+8＝28cm，


若是运动了三圈即为：28×3＝84cm，


∵84﹣80＝4cm＜AB的长度，


∴点P、点Q在AB边上相遇，


∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．