四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义：3.柯西不等式
展开A3.柯西不等式
一、基础知识
柯西不等式:设都是实数,则,当且仅当(规定若则时取等.
柯西不等式变形1 设则当且仅当时取等.
柯西不等式变形2 设则当且仅当时取等.
二、典型例题与基本方法
1.用柯西不等式证明：设为个正数,则,当且仅当时取等.
2.已知且求证：
3.设满足证明：
4.若且证明：
5.设正实数满足证明：
6.已知证明：
7.设正数满足证明：
8.设为任意实数,证明：
9.正整数为正实数,且求的最小值.
10.设都是实数,若对任意的实数以及都有成立.求中正实数个数的最大值.
B3.练习 姓名：
1.用柯西不等式证明：设为个正数,则,当且仅当时取等.
2.已知且证明：
3.设满足证明：
A3.柯西不等式参考解答
一、基础知识
柯西不等式:设都是实数,则,当且仅当(规定若则时取等.
证明：(法1)拉格朗日恒等式
(法2)构造使用即证.
柯西不等式变形1 设则当且仅当时取等.
柯西不等式变形2 设则当且仅当时取等.
二、典型例题与基本方法
1.用柯西不等式证明：设为个正数,则,当且仅当时取等.
证明：于是
当且仅当即时取等.
2.已知且求证：
证明：由柯西不等式知LHS
RHS.
3.设满足证明：
证明：令
LHSRHS.
4.若且证明：
证明：因为所以由柯西不等式
所以
5.设正实数满足证明：
证明：LHS
RHS
6.已知证明：
证明：
即
同理
于是LHSRHS
7.设正数满足证明：
证明：原不等式等价于证明
等价于证明
即证明
于是得证.所以原不等式得证.
8.设为任意实数,证明：
证明：由柯西不等式得
所以
于是只须证明
当时,
当时,
于是
于是原不等式得证.
9.正整数为正实数,且求的最小值.
解：由柯西不等式知
于是
考虑恒等式与
所以于是
从而即
所以
当时
所以的最小值为
10.设都是实数,若对任意的实数以及都有成立.求中正实数个数的最大值.
解：即
于是
即对都有
若均为正数,则
设于是
所以有矛盾.
所以不全为正数.
于是中正实数个数最大值不大于4037.
另一方面,若
则当时,
若
若
所以若,
于是对任意的实数以及都有成立.
此时中正实数个数是4037.
所以中正实数个数的最大值是4037.
B3 练习 姓名：
1.用柯西不等式证明：设为个正数,则,当且仅当时取等.
证明：于是
从而当且仅当即时取等.
2.已知且证明：
证明：由柯西不等式知
再由柯西不等式知
由平均值不等式知道于是
于是
所以
3.设满足证明：
证明：由柯西不等式
于是
