四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义：4.排序不等式与切比雪夫不等式

A4.排序不等式与切比雪夫不等式一、基础知识排序不等式：设,是的任意一个排列.则当且仅当或时取等.可简记为反序和乱序和同序和.        切比雪夫不等式：设,则设,则当且仅当或时取等.          二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.     2.用切比雪夫不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.     3.已知,证明：         4.设是的三边长,证明：          5.设且证明：         6.设且求的最小值.            7.设且满足证明：             8.设证明：           B4.练习       姓名：                1.用切比雪夫不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.            2.设求证：             3.设都是正数,且求证：     A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答一、基础知识排序不等式：设,是的任意一个排列.则当且仅当或时取等.可简记为反序和乱序和同序和.证明：.于是当且仅当或时取等.于是当且仅当或时取等.切比雪夫不等式：设,则设,则当且仅当或时取等.证明：法1由排序不等式知道于是即当且仅当或时取等.法2 于是于是当且仅当或时取等.    二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.证明：由排序不等式知道即令于是即于是所以当且仅当取等. 2.用切比雪夫不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.证明：不妨设则由切比雪夫不等式知所以当且仅当取等. 3.已知,证明：证明：不妨设则由排序不等式知又于是再使用排序不等式得所以 4.设是的三边长,证明：证明：等价于证明再等价于(*)不妨设则又是的三边长,所以从而即因为从而即所以由排序不等式知即于是(*)得证.从而 5.设且证明：证明：不妨设则先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得于是 6.设且求的最小值.解：.不妨设则使用切比雪夫不等式有在使用柯西不等式得当且仅当等号成立.所以的最小值为 7.设且满足证明：证明：因为所以又所以不妨设于是这是因为在单调递增,在单调递减.于是使用切比雪夫不等式得因为所以于是因为所以 8.设证明：证明：即证因为同理于是于是只须证明(*)不妨设于是从而即所以又使用排序不等式得于是(*)得证.从而  B4.练习       姓名：               1.用切比雪夫不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.证明：不妨设由切比雪夫不等式知所以当且仅当取等.2.设求证：证明：所证不等式等价于(*)不妨设则使用排序不等式得(*).所以原不等式成立.3.设都是正数,且求证：证明：不妨设于是使用切比雪夫不等式得使用柯西不等式得于是