四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义：5.与平均值相关的不等式

A5.与平均值相关的不等式一、基础知识设为个正数,算术平均(arithmetic mean)几何平均(geometric mean)调和平均(harmonic mean)平方平均(quadratic mean)二、典型例题与基本方法1.(伯努利不等式)设是不小于2的正整数,则有当且仅当时取等.        2.(伯努利不等式的推广)设若则；若则当且仅当时取等.                  3.(Young不等式)设且则当且仅当取等.           4.(加权平均值不等式)若且则当且仅当取等.      5.证明：若则当且仅当取等.       6.设均为正数,且令证明：        7.设均为正数,是的任意一个排列.记证明：当且仅当取等.           8.设,且证明：当且仅当取等.        9.(Chrystal不等式)设则,当且仅当取等.             B5.练习       姓名：               1.设是的三边长,证明：            2.设均为正数,是的任意一个排列.记证明：当且仅当取等.            3.证明：         A5.与平均值相关的不等式一、基础知识设为个正数,算术平均(arithmetic mean)几何平均(geometric mean)调和平均(harmonic mean)平方平均(quadratic mean)二、典型例题与基本方法1.(伯努利不等式)设是不小于2的正整数,则有当且仅当时取等.证明：当时,则因此显然成立.当时,则于是由平均值不等式得所以.所以伯努利不等式得证.2.(伯努利不等式的推广)设若则；若则当且仅当时取等.证明：先证明的情形.设是有理数,则其中是互素的正整数,因为所以于是再设,则一定可以找到一列有理数且使得由于都是内的有理数,由前面所证知道当时均有于是这就证明了的情形.下面证明的情形.先设若则所以显然成立.若因为所以由前面所证明知道于是于是的情形得证.再设若则所以显然成立.若于是 因为所以对于来说,一定存在充分大的正整数使得于是由前面所证得于是所以但由于注意到所以于是于是注意到即最后利用伯努利不等式得于是的情形也得证.3.(Young不等式)设且则当且仅当取等.证明：由伯努利不等式的推广,若则当且仅当时取等.注意到令于是有即.所以这就证明了Young不等式.4.(加权平均值不等式)若且则当且仅当取等.证明：(数学归纳法)当时, Young不等式中令则这就证明了时加权平均值不等式成立.假设时加权平均值不等式成立.当时,则,其中于是从而由归纳假设知道所以.在Young不等式中令于是所以当时加权平均值不等式成立.所以加权平均值不等式得证.5.证明：若则当且仅当取等.证明：令则要证不等式等价于这就是加权平均值不等式.所以原不等式得证.6.设均为正数,且令证明：证明：不妨设于是原不等式等价于等价于证明等价于而这个由平均值不等式显然成立.所以原不等式成立.7.设均为正数,是的任意一个排列.记证明：当且仅当取等.证明：令于是因为所以又因为所以当且仅当取等.8.设,且证明：当且仅当取等.证明：由加权平均值不等式得当且仅当取等,即取等.两式相加得于是当且仅当取等.9.(Chrystal不等式)设则,当且仅当取等.证明：方法1在第8题中令则于是方法2用平均值不等式,两式相加得于是从而当且仅当取等.B5练习       姓名：               1.设是的三边长,证明：证明：要证不等式等价于等价于由加权平均值不等式知于是原不等式成立.2.设均为正数,是的任意一个排列.记证明：当且仅当取等.证明：令于是于是等价于即这就是例题7.3.证明：证明：LHS因为所以于是所以由加权平均值不等式得LHSRHS.