四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义：7.Holder不等式

A7Hölder不等式一、基础知识Young不等式：设且若则；若则当且仅当取等. Hölder不等式：设均为正数,且若则；若则当且仅当取等.   Hölder不等式一般形式 设且则当且仅当成比例取等.特别地：(1)若则当且仅当成比例取等.(2)若则当且仅当成比例取等.         二、典型例题与基本方法1.已知是正常数,是锐角,求函数的最小值.     2.用Hölder不等式证明幂平均不等式设均为正数,若,则当且仅当取等.      3.已知满足的正数,求证：.       4.(闵可夫斯基不等式)设均为正数,若则若则当且仅当取等.            5.若都是正数,证明：      6.已知是正实数,求证：           7.设且证明：          8.已知证明：        B7练习       姓名：               1.已知且求的最小值.         2.设且其中为正整数,证明：              3.已知且是正整数,证明：       A7.Hölder不等式一、基础知识Young不等式：设且若则；若则当且仅当取等.证明：(伯努利不等式的推广)设若则；若则当且仅当时取等.若则令于是有即.所以若则令于是有即.所以 Hölder不等式：设均为正数,且若则；若则当且仅当取等.证明：.在Young不等式中令若则从而若则从而当且仅当即为常数取等.Hölder不等式一般形式 设且则当且仅当成比例取等.特别地：(1)若则当且仅当成比例取等.(2)若则当且仅当成比例取等.证明：设 由加权平均值不等式得于是当且仅当对任意的都有,即为定值.也就是当且仅当成比例取等. 二、典型例题与基本方法1.已知是正常数,是锐角,求函数的最小值.解：思路：注意到于是令,于是用Hölder不等式得于是当且仅当即也就是取等.所以当时,函数的最小值为.法2用Hölder不等式一般形式令于是于是于是所以当时,函数的最小值为. 2.用Hölder不等式证明幂平均不等式设均为正数,若,则当且仅当取等.证明： 若则于是所以从而所以于是得证若则于是所以从而所以于是得证若则于是所以从而所以于是得证 3.已知满足的正数,求证：.证明：使用Hölder不等式一般形式于是所以法2于是所以法3排序不等式所以4.(闵可夫斯基不等式)设均为正数,若则若则当且仅当取等.证明：若则由Hölder不等式得两式相加得于是若则由Hölder不等式得两式相加得于是 5.若都是正数,证明：证明：使用Hölder不等式一般形式于是所以得证. 6.已知是正实数,求证：证明：使用Hölder不等式一般形式所以不等式得证. 7.设且证明：法1使用平均值不等式证明：同理所以故法2使用Hölder不等式一般形式于是从而只需证明即证明因为所以所以得证. 8.已知证明：证明：使用Hölder不等式一般形式即而于是故注意到恒等式B7.练习       姓名：               1.已知且求的最小值.解：使用Hölder不等式一般形式因为于是所以当且仅当即时取等.当时,的最小值为2.设且其中为正整数,证明：证明：因为所以于是所以得证.3.已知且是正整数,证明：证明：因为,所以于是使用Hölder不等式一般形式由函数在上是减函数,于是