四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义：11.琴生不等式
展开A11.琴生不等式
一、基础知识
凸函数：设连续函数的定义域为如果对内任意两个实数及任意实数都有
则称为上的凸函数,也称下凸函数.
凹函数：设连续函数的定义域为如果对内任意两个实数及任意实数都有
则称为上的凹函数,也称上凸函数.
凸凹性与二阶导数：若在内二阶可导,对任意都有则函数在内是下凸函数；对任意都有则函数在内是上凸函数.
琴生不等式：若函数在上的下凸函数,则对任意的且都有
特别地则当且仅当取等.
若函数在上的上凸函数,则不等号反向.
齐次性：设是一个元函数,若对任意非零实数都有
则称为变量的次齐次式.如为变量的次齐次式.
若都为变量的次齐次式.
则不等式称为齐次不等式,对齐次不等式一般可不妨设或
二、典型例题与基本方法
1.利用琴生不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.
2.非负实数满足求的最大值.
3.设证明：
4.设证明：
5.已知证明：
6.设证明
7.已知且证明：
B11.练习 姓名：
1.若正实数满足证明：
2.已知证明：
3.用柯西不等式证明：设证明：
A11.琴生不等式
一、基础知识
凸函数：设连续函数的定义域为如果对内任意两个实数及任意实数都有
则称为上的凸函数,也称下凸函数.
凹函数：设连续函数的定义域为如果对内任意两个实数及任意实数都有
则称为上的凹函数,也称上凸函数.
凸凹性与二阶导数：若在内二阶可导,对任意都有则函数在内是下凸函数；对任意都有则函数在内是上凸函数.
琴生不等式：若函数在上的下凸函数,则对任意的且都有
特别地则当且仅当取等.
若函数在上的上凸函数,则不等号反向.
证明：(数学归纳法)当时,由下凸函数的定义知成立.
假设当不等式成立,当时,
注意到
于是于是由归纳假设知
从而
即
所以当时不等式成立.所以琴生不等式成立.
齐次性：设是一个元函数,若对任意非零实数都有
则称为变量的次齐次式.如为变量的次齐次式.
若都为变量的次齐次式.
则不等式称为齐次不等式,对齐次不等式一般可不妨设或
二、典型例题与基本方法
1.利用琴生不等式证明：设是正数,则当且仅当取等.
证明：构造
所以是上凸函数,于是由琴生不等式知道
即又因为在单调递增,
所以当且仅当取等.
2.非负实数满足求的最大值.
解：令则
构造构造在上是上凸函数,由琴生不等式知于是
当即时取等,
所以的最大值
3.设证明：
证明：法1使用权方和不等式
当且仅当时取等.
因为于是
法2在是上凸函数,由琴生不等式得
当且仅当时取等.
因为于是
4.设证明：
证明：,即证明
两边都是关于的次轮换式,由齐次性可设
于是即证明当证明
构造在上是上凸函数,
由琴生不等式得
由排序不等式知道
于是得证.
5.已知证明：
证明：法1使用Hölder不等式一般形式
即
注意到恒等式
所以所以
法2使用权方和不等式
法3使用琴生不等式,由齐次性,不妨设构造函数
则是上递减的下凸函数,
由琴生不等式知道
注意到
所以即
于是即证.
6.设证明
证明：法1使用柯西不等式
所以
令于是注意到
又于是所以
从而
法2令于是
由齐次性,不妨设构造构造
在上是上凸函数,由琴生不等式知道
于是要证只需证即证即证
因为恒等式,
所以又因为所以
所以得证.
7.已知且证明：
证明：其中
下面我们来论证的凸凹性.
因为
所以是上的下凸函数,且在单调递减,在单调递增.
注意到由琴生不等式知
由幂平均不等式得
所以得证.
B11.练习 姓名：
1.若正实数满足证明：
证明：构造在上是上凸函数,
2.已知证明：
证明：由齐次性可设
构造函数则是上递减的下凸函数,
由琴生不等式知道
因为所以得证.
法2由齐次性可设
因为所以得证.
3.用柯西不等式证明：设证明：
证明：
由排序不等式知道于是
所以
所以
