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初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试精品课时训练
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这是一份初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试精品课时训练，共13页。试卷主要包含了 抛物线y＝－1＋3x2等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12道小题）
1. 抛物线y＝－1＋3x2( )
A．开口向上，且有最高点 B．开口向上，且有最低点
C．开口向下，且有最高点 D．开口向下，且有最低点
2. 将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )
A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1
C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3
3. 以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( )
A. b≥eq \f(5,4) B. b≥1或b≤－1
C. b≥2 D. 1≤b≤2
4. 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致是( )
5. (2019•咸宁)已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是
A．B．
C．D．
6. 已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为( )
A．－1，－2 B．4，－2
C．－4，0 D．4，0
7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8. 已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线的解析式为( )
A．y＝x2＋2x＋1 B．y＝x2＋2x－1
C．y＝x2－2x＋1 D．y＝x2－2x－1
9. 矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为( )
A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14
C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋3
10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，OA＝OC，由抛物线的特征写出如下含有a，b，c三个字母的等式或不等式：①eq \f(4ac－b2,4a)＝－1；②ac＋b＋1＝0；③abc＞0；④a－b＋c＞0.其中正确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
11. 2018·潍坊 已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
12. 如图，将函数y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数解析式是( )
A．y＝eq \f(1,2)(x－2)2－2 B．y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋7
C．y＝eq \f(1,2)(x－2)2－5 D．y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋4
二、填空题（本大题共6道小题）
13. 抛物线y＝ax2＋k与y＝3x2的形状相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其函数解析式为________________________．
14. 二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________．
15. 某抛物线与抛物线y＝7x2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标为(－2，5)，则该抛物线的解析式为__________________．
16. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
17. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点为P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c＜0；②若(－eq \f(3,2)，y1)，(－eq \f(1,2)，y2)，(eq \f(1,2)，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③若关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n；④当n＝－eq \f(1,a)时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．
三、解答题（本大题共3道小题）
19. 有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立平面直角坐标系(如图所示)．
(1)请你直接写出O，A，M三点的坐标；
(2)一艘小船上平放着一些宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米(最底层木板与水面在同一平面，不考虑船的高度)?
20. 已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)若tan∠PDB＝eq \f(5,4)，求这个二次函数的关系式．
21. (2019·山西)综合与探究
如图，抛物线经过点A(–2，0)，B(4，0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
人教版 九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质 课时训练-答案
一、选择题（本大题共12道小题）
1. 【答案】B
2. 【答案】A [解析] 已知原抛物线的顶点坐标为(0，1)，平移后的顶点坐标是(－1，－1)，因此平移后的抛物线的解析式为y＝－5(x＋1)2－1.故选A.
3. 【答案】A 【解析】∵二次函数图象不经过第三象限，∴分两种情况讨论：(1)当对称轴在x≥0范围内，即b－2≥0时，需满足在x＝0时，函数值大于等于0，即y＝b2－1≥0，解得b≥2；(2)当对称轴在x＜0范围内，即b－2＜0时，需满足函数图象顶点的纵坐标大于等于0，即eq \f(4（b2－1）－[－2（b－2）]2,4)＝4b－5≥0，解得eq \f(5,4)≤b＜2；综上所述，b的取值范围为b≥eq \f(5,4).
4. 【答案】B
5. 【答案】D
【解析】，
∴点与点关于轴对称；
由于的图象关于原点对称，因此选项A，B错误；
∵，∴，
由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
∴D选项正确，故选D．
6. 【答案】D
7. 【答案】C [解析] ①∵抛物线开口向上，∴a＞0.
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0.
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，所以①错误．
②当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.
∵－eq \f(b,2a)＝1，∴b＝－2a.
把b＝－2a代入a－b＋c＞0中，得3a＋c＞0，所以②正确．
③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0.
当x＝－1时，y>0，∴a－b＋c>0，
∴(a＋b＋c)(a－b＋c)<0，
即(a＋c)2－b2＜0，所以③正确．
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c，
∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c(m为实数)，
即a＋b≤m(am＋b)，所以④正确．
故选C.
8. 【答案】A [解析] 令y＝0可得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，可得A(1，0)，B(3，0)．根据抛物线顶点坐标公式可得M(2，－1)．由点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，可知抛物线向左平移了3个单位长度，向上平移了1个单位长度，根据抛物线的平移规律，可知平移后的抛物线的解析式为y＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1，故选A.
9. 【答案】A [解析] 因为矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，所以矩形ABCD关于坐标原点成中心对称．因为A，C是矩形对角线上的两个点，所以点A，C关于原点对称，所以点C的坐标为(－2，－1)，所以抛物线向左平移了4个单位长度，向下平移了2个单位长度，所以平移后抛物线的函数解析式为y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.
10. 【答案】A [解析] (1)∵抛物线的顶点的纵坐标是－1，∴eq \f(4ac－b2,4a)＝－1.故①正确．
(2)∵OA＝OC＝|c|，∴A(c，0)，∴ac2＋bc＋c＝0.又c≠0，∴ac＋b＋1＝0.故②正确．
(3)从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0.故③正确．
(4)当x＝－1时，y＝a－b＋c，由图象知点(－1，a－b＋c)在第二象限，∴a－b＋c＞0.故④正确．
综上所述，4个结论均正确，故选A.
11. 【答案】B
[解析] 当h＜2时，有－(2－h)2＝－1，
解得h1＝1，h2＝3(舍去)；
当2≤h≤5时，y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有－(5－h)2＝－1，
解得h3＝4(舍去)，h4＝6.
综上所述，h的值为1或6.
12. 【答案】D [解析] 如图，连接AB，A′B′，则S阴影＝S四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A，B′B交x轴于点M，N，因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN＝4－1＝3.因为S阴影＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即原抛物线沿y轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数解析式为y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋4.
二、填空题（本大题共6道小题）
13. 【答案】y＝3x2＋1或y＝－3x2＋1 [解析] ∵抛物线y＝ax2＋k与y＝3x2的形状相同，∴a＝±3.
又∵其顶点坐标为(0，1)，∴k＝1，
∴所求抛物线的函数解析式为y＝3x2＋1或y＝－3x2＋1.
14. 【答案】7
15. 【答案】y＝7x2＋28x＋33 [解析] 设该抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k.
∵该抛物线与抛物线y＝7x2的形状、开口方向都相同，∴a＝7.
又∵其顶点坐标为(－2，5)，
∴它的解析式为y＝7(x＋2)2＋5，整理，得y＝7x2＋28x＋33.
16. 【答案】③④ [解析] ∵抛物线开口向上，∴a＞0.
又∵对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；
∵当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，∴结论②不正确；
根据抛物线的对称性，可将阴影部分的面积进行转化，从而求得阴影部分的面积＝2×2＝4，∴结论③正确；
∵eq \f(4ac－b2,4a)＝－2，c＝－1，∴b2＝4a，∴结论④正确．
综上，正确的结论是③④.
17. 【答案】②④ [解析] (1)当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0.由x＝－eq \f(b,2a)＜eq \f(1,2)和a＞0可得－b＜a.∴0＜a－b＋c＜a＋a＋c＝2a＋c，即2a＋c＞0，①错误；
(2)结合图象易知②正确；
(3)方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，即ax2＋bx＋c＝c－k有实数解．∵y＝ax2＋bx＋c≥n，∴c－k≥n，即k≤c－n，③错误；
(4)设抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,n)(x－m)2＋n(n＜0)．令y＝0，得－eq \f(1,n)(x－m)2＋n＝0.
∴n2－(x－m)2＝0，∴(n－x＋m)(n＋x－m)＝0.
∴x1＝m＋n，x2＝m－n.AB＝|x1－x2|＝－2n.设对称轴交x轴于点H，则AH＝BH＝PH＝－n，∴△ABP为等腰直角三角形，④正确．
18. 【答案】－2 [解析] 抛物线y＝ax2＋bx的顶点C的坐标为(－eq \f(b,2a)，－eq \f(b2,4a))．把x＝－eq \f(b,2a)代入y＝ax2，得点B的坐标为(－eq \f(b,2a)，eq \f(b2,4a))．在y＝ax2＋bx中，令y＝0，则ax2＋bx＝0，解得x1＝0，x2＝－eq \f(b,a)，∴A(－eq \f(b,a)，0)．∵四边形ABOC为正方形，∴BC＝OA，∴2·eq \f(b2,4a)＝－eq \f(b,a)，即b2＋2b＝0.解得b＝－2或b＝0(不符合题意，舍去)．
三、解答题（本大题共3道小题）
19. 【答案】
解：(1)O(0，0)，A(6，0)，M(3，3)．
(2)设抛物线的函数解析式为y＝a(x－3)2＋3.因为抛物线过点(0，0)，所以0＝a(0－3)2＋3，解得a＝－eq \f(1,3)，
所以y＝－eq \f(1,3)(x－3)2＋3.
要使木板堆放最高，根据题意，得点B应是木板宽CD的中点(如图所示)，把x＝2代入y＝－eq \f(1,3)(x－3)2＋3，得y＝eq \f(8,3)，所以这些木板最高可堆放eq \f(8,3)米．
20. 【答案】
解：(1)y＝ax2－2ax＋c
＝a(x2－2x)＋c＝a(x－1)2＋c－a
∴P点坐标为(1，c－a)．(2分)
如图，过点C作CE⊥PQ，垂足为E，延长CE交BD于点F，则CF⊥BD.
∵P(1，c－a)，
∴CE＝OQ＝1.
∵PQ∥BD，
∴△CEP∽△CFD，
∴eq \f(CP,CD)＝eq \f(CE,CF).
又∵CP∶PD＝2∶3，
∴eq \f(CE,CF)＝eq \f(CP,CD)＝eq \f(2,2＋3)＝eq \f(2,5)，
∴CF＝2.5，(4分)
∴OB＝CF＝2.5，
∴BQ＝OB－OQ＝1.5，
∴AQ＝BQ＝1.5，
∴OA＝AQ－OQ＝1.5－1＝0.5，
∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)．(5分)
(2)∵tan∠PDB＝eq \f(5,4)，
∴eq \f(CF,DF)＝eq \f(5,4)，
∴DF＝eq \f(4,5)CF＝eq \f(4,5)×2.5＝2，(6分)
∵△CFD∽△CEP，
∴eq \f(PE,DF)＝eq \f(CE,CF)，
∴PE＝eq \f(DF·CE,CF)＝eq \f(2×1,2.5)＝0.8.
∵P(1，c－a)，C(0，c)，
∴PE＝PQ－OC＝c－(c－a)＝a，
∴a＝0.8，(8分)
∴y＝0.8x2－1.6x＋c.
把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c＝0，
解得c＝－1.(9分)
∴这个二次函数的关系式为：y＝0.8x2－1.6x－1.(10分)
21. 【答案】
(1)抛物线经过点A(–2，0)，B(4，0)，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，
∵点A的坐标为(–2，0)，∴OA=2，
由，得，∴点C的坐标为(0，6)，∴OC=6，
∴S△OAC=，
∵S△BCD=S△AOC，∴S△BCD=，
设直线BC的函数表达式为，
由B，C两点的坐标得，解得，
∴直线BC的函数表达式为，
∴点G的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为(4，0)，∴OB=4，
∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，
∴S△BCD=，
∴，
解得(舍)，，
∴的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，
以BD为边时，有3种情况，
∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，
当点N的纵坐标为时，如点N2，
此时，解得：(舍)，
∴，∴；
当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，
此时，解得：
∴，，
∴，；
以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，
∵，D(3，)，
∴N1D=4，
∴BM1=N1D=4，
∴OM1=OB+BM1=8，
∴M1(8，0)，
综上，点M的坐标为：.
【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
一、选择题（本大题共12道小题）
1. 抛物线y＝－1＋3x2( )
A．开口向上，且有最高点 B．开口向上，且有最低点
C．开口向下，且有最高点 D．开口向下，且有最低点
2. 将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )
A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1
C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3
3. 以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( )
A. b≥eq \f(5,4) B. b≥1或b≤－1
C. b≥2 D. 1≤b≤2
4. 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致是( )
5. (2019•咸宁)已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是
A．B．
C．D．
6. 已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为( )
A．－1，－2 B．4，－2
C．－4，0 D．4，0
7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8. 已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线的解析式为( )
A．y＝x2＋2x＋1 B．y＝x2＋2x－1
C．y＝x2－2x＋1 D．y＝x2－2x－1
9. 矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为( )
A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14
C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋3
10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，OA＝OC，由抛物线的特征写出如下含有a，b，c三个字母的等式或不等式：①eq \f(4ac－b2,4a)＝－1；②ac＋b＋1＝0；③abc＞0；④a－b＋c＞0.其中正确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
11. 2018·潍坊 已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
12. 如图，将函数y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数解析式是( )
A．y＝eq \f(1,2)(x－2)2－2 B．y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋7
C．y＝eq \f(1,2)(x－2)2－5 D．y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋4
二、填空题（本大题共6道小题）
13. 抛物线y＝ax2＋k与y＝3x2的形状相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其函数解析式为________________________．
14. 二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________．
15. 某抛物线与抛物线y＝7x2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标为(－2，5)，则该抛物线的解析式为__________________．
16. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
17. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点为P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c＜0；②若(－eq \f(3,2)，y1)，(－eq \f(1,2)，y2)，(eq \f(1,2)，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③若关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n；④当n＝－eq \f(1,a)时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．
三、解答题（本大题共3道小题）
19. 有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立平面直角坐标系(如图所示)．
(1)请你直接写出O，A，M三点的坐标；
(2)一艘小船上平放着一些宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米(最底层木板与水面在同一平面，不考虑船的高度)?
20. 已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)若tan∠PDB＝eq \f(5,4)，求这个二次函数的关系式．
21. (2019·山西)综合与探究
如图，抛物线经过点A(–2，0)，B(4，0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
人教版 九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质 课时训练-答案
一、选择题（本大题共12道小题）
1. 【答案】B
2. 【答案】A [解析] 已知原抛物线的顶点坐标为(0，1)，平移后的顶点坐标是(－1，－1)，因此平移后的抛物线的解析式为y＝－5(x＋1)2－1.故选A.
3. 【答案】A 【解析】∵二次函数图象不经过第三象限，∴分两种情况讨论：(1)当对称轴在x≥0范围内，即b－2≥0时，需满足在x＝0时，函数值大于等于0，即y＝b2－1≥0，解得b≥2；(2)当对称轴在x＜0范围内，即b－2＜0时，需满足函数图象顶点的纵坐标大于等于0，即eq \f(4（b2－1）－[－2（b－2）]2,4)＝4b－5≥0，解得eq \f(5,4)≤b＜2；综上所述，b的取值范围为b≥eq \f(5,4).
4. 【答案】B
5. 【答案】D
【解析】，
∴点与点关于轴对称；
由于的图象关于原点对称，因此选项A，B错误；
∵，∴，
由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
∴D选项正确，故选D．
6. 【答案】D
7. 【答案】C [解析] ①∵抛物线开口向上，∴a＞0.
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0.
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，所以①错误．
②当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.
∵－eq \f(b,2a)＝1，∴b＝－2a.
把b＝－2a代入a－b＋c＞0中，得3a＋c＞0，所以②正确．
③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0.
当x＝－1时，y>0，∴a－b＋c>0，
∴(a＋b＋c)(a－b＋c)<0，
即(a＋c)2－b2＜0，所以③正确．
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c，
∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c(m为实数)，
即a＋b≤m(am＋b)，所以④正确．
故选C.
8. 【答案】A [解析] 令y＝0可得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，可得A(1，0)，B(3，0)．根据抛物线顶点坐标公式可得M(2，－1)．由点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，可知抛物线向左平移了3个单位长度，向上平移了1个单位长度，根据抛物线的平移规律，可知平移后的抛物线的解析式为y＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1，故选A.
9. 【答案】A [解析] 因为矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，所以矩形ABCD关于坐标原点成中心对称．因为A，C是矩形对角线上的两个点，所以点A，C关于原点对称，所以点C的坐标为(－2，－1)，所以抛物线向左平移了4个单位长度，向下平移了2个单位长度，所以平移后抛物线的函数解析式为y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.
10. 【答案】A [解析] (1)∵抛物线的顶点的纵坐标是－1，∴eq \f(4ac－b2,4a)＝－1.故①正确．
(2)∵OA＝OC＝|c|，∴A(c，0)，∴ac2＋bc＋c＝0.又c≠0，∴ac＋b＋1＝0.故②正确．
(3)从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0.故③正确．
(4)当x＝－1时，y＝a－b＋c，由图象知点(－1，a－b＋c)在第二象限，∴a－b＋c＞0.故④正确．
综上所述，4个结论均正确，故选A.
11. 【答案】B
[解析] 当h＜2时，有－(2－h)2＝－1，
解得h1＝1，h2＝3(舍去)；
当2≤h≤5时，y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有－(5－h)2＝－1，
解得h3＝4(舍去)，h4＝6.
综上所述，h的值为1或6.
12. 【答案】D [解析] 如图，连接AB，A′B′，则S阴影＝S四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A，B′B交x轴于点M，N，因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN＝4－1＝3.因为S阴影＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即原抛物线沿y轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数解析式为y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋4.
二、填空题（本大题共6道小题）
13. 【答案】y＝3x2＋1或y＝－3x2＋1 [解析] ∵抛物线y＝ax2＋k与y＝3x2的形状相同，∴a＝±3.
又∵其顶点坐标为(0，1)，∴k＝1，
∴所求抛物线的函数解析式为y＝3x2＋1或y＝－3x2＋1.
14. 【答案】7
15. 【答案】y＝7x2＋28x＋33 [解析] 设该抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k.
∵该抛物线与抛物线y＝7x2的形状、开口方向都相同，∴a＝7.
又∵其顶点坐标为(－2，5)，
∴它的解析式为y＝7(x＋2)2＋5，整理，得y＝7x2＋28x＋33.
16. 【答案】③④ [解析] ∵抛物线开口向上，∴a＞0.
又∵对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；
∵当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，∴结论②不正确；
根据抛物线的对称性，可将阴影部分的面积进行转化，从而求得阴影部分的面积＝2×2＝4，∴结论③正确；
∵eq \f(4ac－b2,4a)＝－2，c＝－1，∴b2＝4a，∴结论④正确．
综上，正确的结论是③④.
17. 【答案】②④ [解析] (1)当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0.由x＝－eq \f(b,2a)＜eq \f(1,2)和a＞0可得－b＜a.∴0＜a－b＋c＜a＋a＋c＝2a＋c，即2a＋c＞0，①错误；
(2)结合图象易知②正确；
(3)方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，即ax2＋bx＋c＝c－k有实数解．∵y＝ax2＋bx＋c≥n，∴c－k≥n，即k≤c－n，③错误；
(4)设抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,n)(x－m)2＋n(n＜0)．令y＝0，得－eq \f(1,n)(x－m)2＋n＝0.
∴n2－(x－m)2＝0，∴(n－x＋m)(n＋x－m)＝0.
∴x1＝m＋n，x2＝m－n.AB＝|x1－x2|＝－2n.设对称轴交x轴于点H，则AH＝BH＝PH＝－n，∴△ABP为等腰直角三角形，④正确．
18. 【答案】－2 [解析] 抛物线y＝ax2＋bx的顶点C的坐标为(－eq \f(b,2a)，－eq \f(b2,4a))．把x＝－eq \f(b,2a)代入y＝ax2，得点B的坐标为(－eq \f(b,2a)，eq \f(b2,4a))．在y＝ax2＋bx中，令y＝0，则ax2＋bx＝0，解得x1＝0，x2＝－eq \f(b,a)，∴A(－eq \f(b,a)，0)．∵四边形ABOC为正方形，∴BC＝OA，∴2·eq \f(b2,4a)＝－eq \f(b,a)，即b2＋2b＝0.解得b＝－2或b＝0(不符合题意，舍去)．
三、解答题（本大题共3道小题）
19. 【答案】
解：(1)O(0，0)，A(6，0)，M(3，3)．
(2)设抛物线的函数解析式为y＝a(x－3)2＋3.因为抛物线过点(0，0)，所以0＝a(0－3)2＋3，解得a＝－eq \f(1,3)，
所以y＝－eq \f(1,3)(x－3)2＋3.
要使木板堆放最高，根据题意，得点B应是木板宽CD的中点(如图所示)，把x＝2代入y＝－eq \f(1,3)(x－3)2＋3，得y＝eq \f(8,3)，所以这些木板最高可堆放eq \f(8,3)米．
20. 【答案】
解：(1)y＝ax2－2ax＋c
＝a(x2－2x)＋c＝a(x－1)2＋c－a
∴P点坐标为(1，c－a)．(2分)
如图，过点C作CE⊥PQ，垂足为E，延长CE交BD于点F，则CF⊥BD.
∵P(1，c－a)，
∴CE＝OQ＝1.
∵PQ∥BD，
∴△CEP∽△CFD，
∴eq \f(CP,CD)＝eq \f(CE,CF).
又∵CP∶PD＝2∶3，
∴eq \f(CE,CF)＝eq \f(CP,CD)＝eq \f(2,2＋3)＝eq \f(2,5)，
∴CF＝2.5，(4分)
∴OB＝CF＝2.5，
∴BQ＝OB－OQ＝1.5，
∴AQ＝BQ＝1.5，
∴OA＝AQ－OQ＝1.5－1＝0.5，
∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)．(5分)
(2)∵tan∠PDB＝eq \f(5,4)，
∴eq \f(CF,DF)＝eq \f(5,4)，
∴DF＝eq \f(4,5)CF＝eq \f(4,5)×2.5＝2，(6分)
∵△CFD∽△CEP，
∴eq \f(PE,DF)＝eq \f(CE,CF)，
∴PE＝eq \f(DF·CE,CF)＝eq \f(2×1,2.5)＝0.8.
∵P(1，c－a)，C(0，c)，
∴PE＝PQ－OC＝c－(c－a)＝a，
∴a＝0.8，(8分)
∴y＝0.8x2－1.6x＋c.
把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c＝0，
解得c＝－1.(9分)
∴这个二次函数的关系式为：y＝0.8x2－1.6x－1.(10分)
21. 【答案】
(1)抛物线经过点A(–2，0)，B(4，0)，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，
∵点A的坐标为(–2，0)，∴OA=2，
由，得，∴点C的坐标为(0，6)，∴OC=6，
∴S△OAC=，
∵S△BCD=S△AOC，∴S△BCD=，
设直线BC的函数表达式为，
由B，C两点的坐标得，解得，
∴直线BC的函数表达式为，
∴点G的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为(4，0)，∴OB=4，
∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，
∴S△BCD=，
∴，
解得(舍)，，
∴的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，
以BD为边时，有3种情况，
∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，
当点N的纵坐标为时，如点N2，
此时，解得：(舍)，
∴，∴；
当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，
此时，解得：
∴，，
∴，；
以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，
∵，D(3，)，
∴N1D=4，
∴BM1=N1D=4，
∴OM1=OB+BM1=8，
∴M1(8，0)，
综上，点M的坐标为：.
【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
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