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初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试精品当堂达标检测题
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试精品当堂达标检测题，共32页。试卷主要包含了1 --22等内容，欢迎下载使用。
22.1 二次函数的图象和性质
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 若函数y＝(2－m)xm2－2是关于x的二次函数，则m的值是 ( )
A．2 B．－2 C．±2 D．±1
2. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若商品的售价为x元/件，则可售出(350－10x)件，那么出售该商品所赚钱数y(元)与售价x(元/件)之间的函数解析式为( )
A．y＝－10x2－560x＋7350B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－7350
3. 将抛物线y＝－3x2平移，得到抛物线y＝－3(x－1)2－2，下列平移方式中，正确的是( )
A．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
4. 下图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根可能是( )
A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.45
5. 某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是( )
A. －11 B. －2 C. 1 D. －5
6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如下表：
下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下
B. 当x>－3时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是－2
D. 抛物线的对称轴是x＝－eq \f(5,2)
7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝eq \f(c,x)的图象可能是( )
8. 2018·潍坊 已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
9. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，OA＝OC，由抛物线的特征写出如下含有a，b，c三个字母的等式或不等式：①eq \f(4ac－b2,4a)＝－1；②ac＋b＋1＝0；③abc＞0；④a－b＋c＞0.其中正确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
10. 如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外(点B′与C重合)停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是( )
eq \a\vs4\al()
二、填空题（本大题共5道小题）
11. 二次函数y＝－x2＋6x－5的图象开口________，对称轴是________，顶点坐标是________；与x轴的两个交点坐标分别是________，与y轴的交点坐标是________；在对称轴左侧，即x________时，y随x的增大而________，在对称轴右侧，即x________时，y随x的增大而________，当x＝________时，y有最________值为________；抛物线y＝－x2＋6x－5是由抛物线y＝－x2向________(填“左”或“右”)平移________个单位长度，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位长度得到的．
12. 某学习小组为了探究函数y＝x2－|x|的图象与性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m＝________．
13. 已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是________．
14. 2018·湖州 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a>0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．
15. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2如图所示．已知点A的坐标为(1，1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……依次进行下去，则点A2019的坐标为________．
三、解答题（本大题共5道小题）
16. 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
(1)图象经过点A(1，0)，B(0，－3)，对称轴是直线x＝2；
(2)图象的顶点坐标是(－2，3)，且过点(1，－3)；
(3)如图，图象经过A，B，C三点．
17. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－eq \f(3,5)x2＋3x＋1的一部分，如图．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
18. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2
19. 已知抛物线y＝eq \f(1,4)x2＋1具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等．如图，点M的坐标为(eq \r(3)，3)，P是抛物线y＝eq \f(1,4)x2＋1上的一动点．
(1)当△POF的面积为4时，求点P的坐标；
(2)求△PMF周长的最小值．
20. 如图所示，抛物线y＝ax2－5x＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)若Q是横轴上方抛物线上的点，且S△QAB＝S△PAB，求点Q的坐标．
人教版 九年级数学上册 22.1 二次函数的图象性质 同步优化训练-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】B [解析] 根据二次函数的定义，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－2＝2，,2－m≠0，))解得m＝－2.
2. 【答案】B
3. 【答案】D [解析] ∵抛物线y＝－3x2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y＝－3(x－1)2－2的顶点坐标为(1，－2)，∴将抛物线y＝－3x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到抛物线y＝－3(x－1)2－2.
4. 【答案】D [解析] 由图象，得方程ax2＋bx＋c＝0的一个根在2.18与2.68之间．
5. 【答案】D 【解析】由函数图象关于对称轴对称，得点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)在函数图象上，把点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)代入函数解析式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝－2,c＝1,a＋b＋c＝－2))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3,b＝0,c＝1))，∴函数解析式为y＝－3x2＋1，x＝2时y＝－11.
6. 【答案】D 【解析】从表中选取三组值(－4，0)，(－1，0)，(0，4)，由此设抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x＋1)．将(0，4)代入y＝a(x＋4)(x＋1)，求得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2＋5x＋4，即y＝(x＋eq \f(5,2))2－eq \f(9,4).由此可见，只有选项D中的说法是正确的．
7. 【答案】C 【解析】抛物线开口向上，所以a＞0，对称轴在y轴右侧，所以a、b异号，所以b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，所以直线y＝ax＋b过第一、三、四象限，反比例函数y＝eq \f(c,x)位于第二、四象限，故答案为C.
8. 【答案】B
[解析] 当h＜2时，有－(2－h)2＝－1，
解得h1＝1，h2＝3(舍去)；
当2≤h≤5时，y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有－(5－h)2＝－1，
解得h3＝4(舍去)，h4＝6.
综上所述，h的值为1或6.
9. 【答案】A [解析] (1)∵抛物线的顶点的纵坐标是－1，∴eq \f(4ac－b2,4a)＝－1.故①正确．
(2)∵OA＝OC＝|c|，∴A(c，0)，∴ac2＋bc＋c＝0.又c≠0，∴ac＋b＋1＝0.故②正确．
(3)从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0.故③正确．
(4)当x＝－1时，y＝a－b＋c，由图象知点(－1，a－b＋c)在第二象限，∴a－b＋c＞0.故④正确．
综上所述，4个结论均正确，故选A.
10. 【答案】B 【解析】由题意知：在△A′B′C′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x≤1时，边长为x，此时y＝eq \f(1,2)x×eq \f(\r(3),2)x＝eq \f(\r(3),4)x2；当1＜x≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),4)；当2＜x≤3时，边长为3－x，此时y＝eq \f(1,2)(3－x)×eq \f(\r(3),2)(3－x)．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为eq \f(\r(3),4).故选B.
二、填空题（本大题共5道小题）
11. 【答案】向下 直线x＝3 (3，4) (1，0)，(5，0) (0，－5) ＜3 增大 ＞3 减小 3 大 4 右 3 上 4
12. 【答案】0.75 【解析】根据表格可得该图象关于y轴对称，故当x＝1.5和x＝－1.5时，y的值相等．∴m＝0.75.
13. 【答案】(1，4) 【解析】∵A(0，3)、B(2，3)，两点纵坐标相同，∴A、B两点关于直线x＝1对称，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即－eq \f(b,2×（－1）)＝1，解得b＝2，∵当x＝0时，y＝3，∴c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，当x＝1时，y＝－x2＋2x＋3＝－12＋2×1＋3＝4，∴抛物线的顶点坐标是(1，4).
14. 【答案】－2 [解析] ∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为(－eq \f(b,2a)，－eq \f(b,2a))．
∵抛物线y＝ax2过点B，
∴－eq \f(b,2a)＝a(－eq \f(b,2a))2，解得b1＝0(舍去)，b2＝－2.
15. 【答案】(－1010，10102) [解析] 由点A的坐标可得直线OA的解析式为y＝x.由AA1∥x轴可得A1(－1，1)，又因为A1A2∥OA，可得直线A1A2的解析式为y＝x＋2，进而得其与抛物线的交点A2的坐标为(2，4)，依次类推得A3(－2，4)，A4(3，9)，A5(－3，9)，…，A2019(－eq \f(2019＋1,2)，10102)，即A2019(－1010，10102)．
三、解答题（本大题共5道小题）
16. 【答案】
解：(1)设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0，,c＝－3，,－\f(b,2a)＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝4，,c＝－3.))
∴函数解析式为y＝－x2＋4x－3.
(2)∵图象的顶点坐标为(－2，3)，
∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)2＋3.
把(1，－3)代入，
可得a(1＋2)2＋3＝－3，
∴a＝－eq \f(2,3)，
∴二次函数的解析式为y＝－eq \f(2,3)(x＋2)2＋3(或y＝－eq \f(2,3)x2－eq \f(8,3)x＋eq \f(1,3))．
(3)根据二次函数的图象可知：
A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)．
设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
把A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)代入y＝ax2＋bx＋c可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝0，,c＝－3，,16a＋4b＋c＝5，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝－3.))
即二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
17. 【答案】
解：(1)y＝－eq \f(3,5)x2＋3x＋1＝－eq \f(3,5)(x－eq \f(5,2))2＋eq \f(19,4).
∵－eq \f(3,5)＜0，∴函数的最大值是eq \f(19,4).
答：演员弹跳的最大高度是eq \f(19,4)米．
(2)当x＝4时，y＝－eq \f(3,5)×42＋3×4＋1＝3.4＝BC，所以这次表演成功．
18. 【答案】
解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＋2b＝4,36a＋6b＝0))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2),b＝3)).(4分)
(2)如解图①，过点A作x轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，点F，则
S△OAD＝eq \f(1,2)OD·AD＝eq \f(1,2)×2×4＝4，
S△ACD＝eq \f(1,2)AD·CE＝eq \f(1,2)×4×(x－2)＝2x－4，
S△BCD＝eq \f(1,2)BD·CF＝eq \f(1,2)×4×(－eq \f(1,2)x2＋3x)＝－x2＋6x，
则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.
∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2
∵S＝－(x－4)2＋16，
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.(12分)
解图①
【一题多解】
解法一：由(1)知y＝－eq \f(1,2)x2＋3x，如解图②，连接AB，则
S＝S△AOB＋S△ABC，其中S△AOB＝eq \f(1,2)×6×4＝12，
设直线AB解析式为y1＝k1x＋b1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得，y1＝－x＋6，过C作直线l⊥x轴交AB于点D，
∴C(x，－eq \f(1,2)x2＋3x)，D(x，－x＋6)，
∴S△ABC＝S△ADC＋S△BDC＝eq \f(1,2)·CD·(x－2)＋eq \f(1,2)·CD·(6－x)＝eq \f(1,2)·CD·4＝2CD，
其中CD＝－eq \f(1,2)x2＋3x－(－x＋6)＝－eq \f(1,2)x2＋4x－6，
∴S△ABC＝2CD＝－x2＋8x－12，
∴S＝S△ABC＋S△AOB＝－x2＋8x－12＋12＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16(2
即S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.
解图②
解法二：∵点C在抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋3x上，
∴点C(x，－eq \f(1,2)x2＋3x)，
如解图③，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，则
点D的坐标为(2，0)，点E的坐标为(x，0)，
∴S＝S△OAD＋S梯形ADEC＋S△CEB＝eq \f(1,2)×2×4＋eq \f(1,2)(4－eq \f(1,2)x2＋3x)(x－2)＋eq \f(1,2)(6－x)(－eq \f(1,2)x2＋3x)＝－x2＋8x，
∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16(2
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.
解图③
19. 【答案】
解：(1)设点P的坐标为(x，eq \f(1,4)x2＋1)．
∵点F的坐标为(0，2)，
∴OF＝2，
∴当△POF的面积为4时，eq \f(1,2)×2×|x|＝4，
解得x＝±4.
∴y＝eq \f(1,4)×(±4)2＋1＝5，
∴点P的坐标为(－4，5)或(4，5)．
(2)如图，过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝eq \f(1,4)x2＋1于点P，此时△PMF的周长最小．
∵F(0，2)，M(eq \r(3)，3)，
∴ME＝3，FM＝eq \r(（\r(3)－0）2＋（3－2）2)＝2，
∴△PMF周长的最小值＝ME＋FM＝3＋2＝5.
20. 【答案】
解：(1)把(5，4)代入y＝ax2－5x＋4a，得25a－25＋4a＝4，解得a＝1.
∴该抛物线的解析式为y＝x2－5x＋4.
∵y＝x2－5x＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)，
∴顶点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(9,4))).
(2)∵S△QAB＝S△PAB，
∴点Q和点P到横轴的距离相等，
即它们纵坐标的绝对值相等．
由(1)可知点P的纵坐标是－eq \f(9,4)，
∴点Q的纵坐标是eq \f(9,4).
令x2－5x＋4＝eq \f(9,4)，解得x＝eq \f(5±3 \r(2),2).
∴点Q的坐标为(eq \f(5－3 \r(2),2)，eq \f(9,4))或(eq \f(5＋3 \r(2),2)，eq \f(9,4))．
22.2 二次函数与一元一次方程
1. 二次函数y＝x2－2x－2的图象与坐标轴的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2. 抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3. 若A(－1，0)为抛物线y＝－3(x－1)2＋c上一点，则当y≥0时，x的取值范围是( )
A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3
C．－1≤x≤3 D．x≤－1或x≥3
4. 抛物线y＝2x2－2eq \r(2)x＋1与坐标轴的交点个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是( )
A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2
C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
6. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )
A. x1＝－3，x2＝－1 B. x1＝1，x2＝3
C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－3，x2＝1
7. 王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3中的一条记为x轴(向右为正方向)，三条竖直直线m4，m5，m6中的一条记为y轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2－6ax－3，则她所选择的x轴和y轴分别为( )
A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m4，m5
8. 根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的取值范围是( )
＜x＜1.24 B．1.24＜x＜1.25
C．1.25＜x＜1.26 D．1＜x＜1.23
9. 已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围是( )
A．－eq \f(25,4)
C．－2＜m＜3 D．－6＜m＜－2
10. 如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(5,2) B．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(1,2)
C．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2) D．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(1,2)
二、填空题
11. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为____________．
12. 已知二次函数y＝kx2－6x－9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为____________．
13. 飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－eq \f(3,2)t2，在飞机着陆滑行中，最后2 s滑行的距离是________m.
14. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．
15. 若二次函数y＝x2＋bx－5的图象的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx－5＝2x－13的解为______________．
16. 已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为________．
17. 已知函数y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x（x>0），,－x（x≤0）))的图象如图所示，若直线y＝x＋m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为________．
三、解答题
18. 若关于x的函数y＝(m2－1)x2－(2m＋2)x＋2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
19. 已知抛物线y＝x2－2bx＋c.
(1)若抛物线的顶点坐标为(2，－3)，求b，c的值；
(2)若b＋c＝0，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
(3)若c＝b＋2且抛物线在－2≤x≤2上的最小值是－3，求b的值．
20. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；
(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m
人教版 九年级数学上册 22.2 二次函数与一元一次方程 课时训练-答案
一、选择题
1. 【答案】D
2. 【答案】C [解析] 当x＝0时，y＝－x2＋4x－4＝－4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，－4)；
当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，解得x1＝x2＝2，则抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选C.
3. 【答案】C
4. 【答案】C 【解析】抛物线y＝2x2－2eq \r(2)x＋1，令x＝0，得到y＝1，即抛物线与y轴交点坐标为(0，1)；令y＝0，得到2x2－2eq \r(2)x＋1＝0，即(eq \r(2)x－1)2＝0，解得：x1＝x2＝eq \f(\r(2),2)，即抛物线与x轴交点坐标为(eq \f(\r(2),2)，0)，则抛物线与坐标轴的交点个数是2.
5. 【答案】A [解析] 抛物线的对称轴是直线x＝－eq \f(2a,2a)＝－1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－4，0)．∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴使y＜0成立的x的取值范围是x＜－4或x＞2.故选A.
6. 【答案】C 【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a＋2a＋c＝0，即3a＋c＝0.当x＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a＋c＝0成立，当x＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a＋c＝0(与3a＋c＝0不相符)，∴方程的两个根为x1＝－1，x2＝3.
7. 【答案】A [解析] ∵y＝ax2－6ax－3＝a(x－3)2－3－9a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴王芳选择的y轴为直线m4.
∵抛物线y＝ax2－6ax－3与y轴的交点为(0，－3)，
∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴王芳选择的x轴为直线m1.
8. 【答案】B
9. 【答案】D 【解析】 如图，当y＝0时，－x2＋x＋6＝0，解得x1＝－2，x2＝3，则A(－2，0)，B(3，0)．
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝(x＋2)(x－3)，即y＝x2－x－6(－2≤x≤3)．
当直线y＝－x＋m经过点A(－2，0)时，2＋m＝0，解得m＝－2；
当直线y＝－x＋m与抛物线y＝x2－x－6有唯一公共点时，方程x2－x－6＝－x＋m有两个相等的实数根，解得m＝－6.
所以当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围为－6＜m＜－2.
10. 【答案】C 【解析】 如图．
∵抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，∴B(5，0)，A(9，0)．
∴抛物线C1向左平移4个单位长度得到C2，∴平移后抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)(x－3)2－2.
当直线y＝eq \f(1,2)x＋m过点B时，有2个交点，
∴0＝eq \f(5,2)＋m，解得m＝－eq \f(5,2)；
当直线y＝eq \f(1,2)x＋m与抛物线C2只有一个公共点时，令eq \f(1,2)x＋m＝eq \f(1,2)(x－3)2－2，∴x2－7x＋5－2m＝ 0，∴Δ＝49－20＋8m＝0，∴m＝－eq \f(29,8)，此时直线的解析式为y＝eq \f(1,2)x－eq \f(29,8)，它与x轴的交点为(eq \f(29,4)，0)，在点A左侧，∴此时直线与C1，C2有2个交点，如图所示．∴当直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点时，－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2).
二、填空题
11. 【答案】－1或2或1 【解析】 ∵函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，
∴当函数为二次函数时，16－4(a－1)×2a＝0，
解得a1＝－1，a2＝2；
当函数为一次函数时，a－1＝0，解得a＝1.
故答案为－1或2或1.
12. 【答案】k＞－1且k≠0
13. 【答案】6 【解析】 当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t－eq \f(3,2)t2＝－eq \f(3,2)(t－20)2＋600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米停下来，
因此t的取值范围是0≤t≤20.
当t＝18时，y＝594，
所以600－594＝6(米)．
故答案是：6.
14. 【答案】．x＜－1或x＞3
15. 【答案】x1＝2，x2＝4 [解析] ∵二次函数y＝x2＋bx－5的图象的对称轴为直线x＝2，∴－eq \f(b,2)＝2，∴b＝－4，∴原方程化为x2－4x－5＝2x－13，解得x1＝2，x2＝4.
16. 【答案】4 [解析] x＋y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴当x＝－1时，x＋y有最大值，最大值是4.
17. 【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))00，解得m0）,x（x≤0）))的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0，
∴m的取值范围为0
三、解答题
18. 【答案】
解：①当m2－1＝0且2m＋2≠0，即m＝1时，该函数是一次函数，其图象与x轴只有一个公共点；
②当m2－1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则
Δ＝[－(2m＋2)]2－8(m2－1)＝0，
解得m1＝3，m2＝－1(舍去)．
综上所述，m的值是1或3.
19. 【答案】
解：(1)∵抛物线y＝x2－2bx＋c，
∴a＝1.
∵抛物线的顶点坐标为(2，－3)，
∴y＝(x－2)2－3.
∵y＝(x－2)2－3＝x2－4x＋1，
∴b＝2，c＝1.
(2)存在．
理由：由y＝1，得x2－2bx＋c＝1，
∴x2－2bx＋c－1＝0.
∵Δ＝4b2＋4b＋4＝(2b＋1)2＋3＞0，
∴存在两个实数x，使得y＝1.
(3)若c＝b＋2，则抛物线可化为y＝x2－2bx＋b＋2，其对称轴为直线x＝b.
①若b≤－2，则抛物线在x＝－2时取得最小值，此时－3＝(－2)2－2×(－2)b＋b＋2，
解得b＝－eq \f(9,5)，不合题意，舍去；
②若b≥2，则抛物线在x＝2时取得最小值，此时－3＝22－2×2b＋b＋2，解得b＝3；
③若－2＜b＜2，则抛物线在x＝b时取得最小值，此时eq \f(4（b＋2）－4b2,4)＝－3，
化简，得b2－b－5＝0，
解得b1＝eq \f(1＋\r(21),2)(不符合题意，舍去)，b2＝eq \f(1－\r(21),2).
综上所述，b的值为3或eq \f(1－\r(21),2).
20. 【答案】
【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出y1过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．
解：(1)∵函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，
∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分)
化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，
∴y1＝x2＋x－2；(4分)
(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，
①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，
把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，
得a2＝b；(6分)
②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，
把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，
得a2＋a＝－b；(8分)
(3)∵抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝eq \f(－a＋a＋1,2)＝eq \f(1,2)，m
∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，
∵m
∴点Q离对称轴x＝eq \f(1,2)的距离比P离对称轴x＝eq \f(1,2)的距离大，(10分)
∴|x0－eq \f(1,2)|<1－eq \f(1,2)，
∴0
【22.3实际问题与二次函数】
一．选择题
1．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（ ）
A．1mB．2mC．mD．m
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝2时有最大值3，则这个函数的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
3．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x2+50xB．y＝﹣x2+24x
C．y＝﹣x2+25xD．y＝﹣x2+26x
4．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣
5．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元B．160元C．170元D．180元
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，顶点坐标为（3，﹣2），那么该抛物线有（ ）
A．最小值﹣2B．最大值﹣2C．最小值3D．最大值3
7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①②C．②③④D．②④
8．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A．23.5mB．22.5mC．21.5mD．20.5m
9．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A．2.76米B．6.76米C．6米D．7米
10．用一根铁丝围成正方形、长方形、正三角形和圆，那么面积最大的是（ ）
A．长方形B．正方形C．正三角形D．圆
二．填空题
11．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
12．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为 ．
13．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
14．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是 ．
15．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为60m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC长为 时，能围成的矩形区域ABCD的面积最大．
三．解答题
16．已知函数y＝﹣3x2﹣2x+2，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤﹣1；
（2）x≥1；
（3）﹣1≤x≤1；
（4）﹣2≤x≤3．
17．如图，足球场上守门员徐杨在O处抛出一高球，球从离地面1m处的点A飞出，其飞行的最大高度是4m，最高处距离飞出点的水平距离是6m，且飞行的路线是抛物线一部分．以点O为坐标原点，竖直向上的方向为y轴的正方向，球飞行的水平方向为x轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．（参考数据：4≈7）
（1）求足球的飞行高度y（m）与飞行水平距离x（m）之间的函数关系式；
（2）在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？（精确到个位）
（3）若对方一名1.7m的队员在距落点C3m的点H处，跃起0.3m进行拦截，则这名队员能拦到球吗？
18．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
19．某超市以20元/千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以30元/千克销售这些绿色食品，那么每天可售出400千克．由销售经验可知，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系．
（1）试求出y与x的函数关系式；
（2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润w元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
20．某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
参考答案
一．选择题
1．解：如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，
则﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
当y＝﹣0.5时，﹣x2＝﹣0.5，
解得x＝±1，
此时水面的宽度为2m，
故选：B．
2．解：A、函数值3不是最大值，故本选项错误；
B、x＝2时有最小值3，故本选项错误；
C、x＝2时有最大值3，故本选项正确；
D、函数有最大值2，故本选项错误．
故选：C．
3．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，
则y关于x的函数表达式是：y＝x•（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．
故选：D．
4．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，
∴m≤﹣；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；
∴﹣2≤m≤﹣．
故选：C．
5．解：设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
6．解：由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，顶点坐标为（3，﹣2），
可知该抛物线有最小值﹣2，
故选：A．
7．解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；
②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：
0＝a（0﹣3）2+40，
解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
∴当t＝1.5s时，h＝﹣（1.5﹣3）2+40＝30，
∴④正确．
综上，正确的有②③④．
故选：C．
8．解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
因为a＝﹣5＜0，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
9．解：设该抛物线的解析式为y＝ax2，在正常水位下x＝10，代入解析式可得﹣4＝a×102⇒a＝﹣
故此抛物线的解析式为y＝﹣x2．
因为桥下水面宽度不得小于18米
所以令x＝9时
可得y＝＝﹣3.24米
此时水深6+4﹣3.24＝6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．
故选：B．
10．解：设铁丝的长度为a，
①当围成长方形时，设长为x，则宽为（a﹣x），则长方形的面积＝x×（a﹣x）＝﹣x（x﹣a），
当x＝a时，长方形的面积最大为，此时长方形为正方形，即正方形的面积大于长方形的面积；
②当围成正三角形时，则三角形的边长为a，
则正三角形的面积为×a×asin60°＝；
③当围成圆时，则圆的半径为，
则圆的面积为π（）2＝；
而＞＞，
即圆的面积最大，
故选：D．
二．填空题
11．解：设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．
故答案为10．
12．解：y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
13．解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
故答案为：70．
14．解：由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0，
解得：0≤x≤3．
∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y
＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x）
＝x2﹣11x+24
＝﹣，
∴当x≤ 时，y随x的增大而减小，
故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0．
故答案为：0．
15．解：如图，
∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE 面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设 BC＝x（m），BE＝FC＝a（m），则AE＝HG＝DF＝2a（m），
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝60（m），即 8a+2x＝60，
∴a＝﹣x+，3a＝﹣x+，
∴矩形区域 ABCD 的面积 S＝（﹣x+）x＝﹣x2+x，
∵a＝﹣x+
∴x＜30，
则 S＝﹣x2+x （0＜x＜30）
∵二次项系数为﹣＜0
∴当x＝﹣＝15（m）时，S 有最大值，最大值为：﹣×152+×15＝（m2）
故答案为：15m．
三．解答题
16．解：（1）∵y＝﹣3x2﹣2x+2＝﹣3（x+）2+，
∴函数y＝﹣3x2﹣2x+2的对称轴为x＝﹣，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，
∴当x≤﹣1时，函数y＝﹣3x2﹣2x+2有最大值，此时x＝﹣1，最大值为：y＝＝1；
（2）∵y＝﹣3x2﹣2x+2＝﹣3（x+）2+，
∴函数y＝﹣3x2﹣2x+2的对称轴为x＝﹣，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，
∴当x≥1时，函数y＝﹣3x2﹣2x+2有最大值，此时x＝1，最大值为：y＝﹣3；
（3）∵y＝﹣3x2﹣2x+2＝﹣3（x+）2+，
∴函数y＝﹣3x2﹣2x+2的对称轴为x＝﹣，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，
∴当﹣1≤x≤1时，函数函数y＝﹣3x2﹣2x+2有最大值和最小值，当x＝时，函数取得最大值，最大值为y＝，当x＝1时，函数取得最小值，最小值为y＝﹣3；
（4）∵y＝﹣3x2﹣2x+2＝﹣3（x+）2+，
∴函数y＝﹣3x2﹣2x+2的对称轴为x＝﹣，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，
∴当﹣2≤x≤3时，当x＝时，函数取得最大值，最大值为y＝，当x＝3时，取得最小值，最小值是y＝﹣31．
17．解：（1）当h＝4时，y＝a（x﹣6）2+4，又A（0，1）
∴1＝a（0﹣6）2+4，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）令y＝0，则0＝﹣（x﹣6）2+4，
解得：x1＝4+6≈13，x2＝﹣4+6＜0（舍去）
∴球飞行的最远水平距离是13米；
（3）当x＝13﹣3＝10时，y＝＞1.7+0.3＝2，
∴这名队员不能拦到球．
18．解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）
＝﹣2（x﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w最大值＝800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
19．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，得，
即y与x的函数关系式是y＝﹣20x+1000（30≤x≤50）；
（2）w＝（x﹣20）y
＝（x﹣20）（﹣20x+1000）
＝﹣20x2+1400x﹣20000
＝﹣20（x﹣35）2+4500，
故当x＝35时，w取得最大值，此时w＝4500，
答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．
20．解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+110，
故答案为：y＝﹣x+110；
（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，
∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（﹣x+110﹣71）x＝﹣+39x＝﹣（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：﹣（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190元或200元时，w最大，最大值是3800元．
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
－11
－2
1
－2
－5
…
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
2
0.75
0
－0.25
0
－0.25
0
m
2
…
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
22.1 二次函数的图象和性质
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 若函数y＝(2－m)xm2－2是关于x的二次函数，则m的值是 ( )
A．2 B．－2 C．±2 D．±1
2. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若商品的售价为x元/件，则可售出(350－10x)件，那么出售该商品所赚钱数y(元)与售价x(元/件)之间的函数解析式为( )
A．y＝－10x2－560x＋7350B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－7350
3. 将抛物线y＝－3x2平移，得到抛物线y＝－3(x－1)2－2，下列平移方式中，正确的是( )
A．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
4. 下图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根可能是( )
A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.45
5. 某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是( )
A. －11 B. －2 C. 1 D. －5
6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如下表：
下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下
B. 当x>－3时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是－2
D. 抛物线的对称轴是x＝－eq \f(5,2)
7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝eq \f(c,x)的图象可能是( )
8. 2018·潍坊 已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
9. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，OA＝OC，由抛物线的特征写出如下含有a，b，c三个字母的等式或不等式：①eq \f(4ac－b2,4a)＝－1；②ac＋b＋1＝0；③abc＞0；④a－b＋c＞0.其中正确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
10. 如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外(点B′与C重合)停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是( )
eq \a\vs4\al()
二、填空题（本大题共5道小题）
11. 二次函数y＝－x2＋6x－5的图象开口________，对称轴是________，顶点坐标是________；与x轴的两个交点坐标分别是________，与y轴的交点坐标是________；在对称轴左侧，即x________时，y随x的增大而________，在对称轴右侧，即x________时，y随x的增大而________，当x＝________时，y有最________值为________；抛物线y＝－x2＋6x－5是由抛物线y＝－x2向________(填“左”或“右”)平移________个单位长度，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位长度得到的．
12. 某学习小组为了探究函数y＝x2－|x|的图象与性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m＝________．
13. 已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是________．
14. 2018·湖州 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a>0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．
15. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2如图所示．已知点A的坐标为(1，1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……依次进行下去，则点A2019的坐标为________．
三、解答题（本大题共5道小题）
16. 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
(1)图象经过点A(1，0)，B(0，－3)，对称轴是直线x＝2；
(2)图象的顶点坐标是(－2，3)，且过点(1，－3)；
(3)如图，图象经过A，B，C三点．
17. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－eq \f(3,5)x2＋3x＋1的一部分，如图．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
18. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2
19. 已知抛物线y＝eq \f(1,4)x2＋1具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等．如图，点M的坐标为(eq \r(3)，3)，P是抛物线y＝eq \f(1,4)x2＋1上的一动点．
(1)当△POF的面积为4时，求点P的坐标；
(2)求△PMF周长的最小值．
20. 如图所示，抛物线y＝ax2－5x＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)若Q是横轴上方抛物线上的点，且S△QAB＝S△PAB，求点Q的坐标．
人教版 九年级数学上册 22.1 二次函数的图象性质 同步优化训练-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】B [解析] 根据二次函数的定义，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－2＝2，,2－m≠0，))解得m＝－2.
2. 【答案】B
3. 【答案】D [解析] ∵抛物线y＝－3x2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y＝－3(x－1)2－2的顶点坐标为(1，－2)，∴将抛物线y＝－3x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到抛物线y＝－3(x－1)2－2.
4. 【答案】D [解析] 由图象，得方程ax2＋bx＋c＝0的一个根在2.18与2.68之间．
5. 【答案】D 【解析】由函数图象关于对称轴对称，得点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)在函数图象上，把点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)代入函数解析式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝－2,c＝1,a＋b＋c＝－2))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3,b＝0,c＝1))，∴函数解析式为y＝－3x2＋1，x＝2时y＝－11.
6. 【答案】D 【解析】从表中选取三组值(－4，0)，(－1，0)，(0，4)，由此设抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x＋1)．将(0，4)代入y＝a(x＋4)(x＋1)，求得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2＋5x＋4，即y＝(x＋eq \f(5,2))2－eq \f(9,4).由此可见，只有选项D中的说法是正确的．
7. 【答案】C 【解析】抛物线开口向上，所以a＞0，对称轴在y轴右侧，所以a、b异号，所以b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，所以直线y＝ax＋b过第一、三、四象限，反比例函数y＝eq \f(c,x)位于第二、四象限，故答案为C.
8. 【答案】B
[解析] 当h＜2时，有－(2－h)2＝－1，
解得h1＝1，h2＝3(舍去)；
当2≤h≤5时，y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有－(5－h)2＝－1，
解得h3＝4(舍去)，h4＝6.
综上所述，h的值为1或6.
9. 【答案】A [解析] (1)∵抛物线的顶点的纵坐标是－1，∴eq \f(4ac－b2,4a)＝－1.故①正确．
(2)∵OA＝OC＝|c|，∴A(c，0)，∴ac2＋bc＋c＝0.又c≠0，∴ac＋b＋1＝0.故②正确．
(3)从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0.故③正确．
(4)当x＝－1时，y＝a－b＋c，由图象知点(－1，a－b＋c)在第二象限，∴a－b＋c＞0.故④正确．
综上所述，4个结论均正确，故选A.
10. 【答案】B 【解析】由题意知：在△A′B′C′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x≤1时，边长为x，此时y＝eq \f(1,2)x×eq \f(\r(3),2)x＝eq \f(\r(3),4)x2；当1＜x≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),4)；当2＜x≤3时，边长为3－x，此时y＝eq \f(1,2)(3－x)×eq \f(\r(3),2)(3－x)．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为eq \f(\r(3),4).故选B.
二、填空题（本大题共5道小题）
11. 【答案】向下 直线x＝3 (3，4) (1，0)，(5，0) (0，－5) ＜3 增大 ＞3 减小 3 大 4 右 3 上 4
12. 【答案】0.75 【解析】根据表格可得该图象关于y轴对称，故当x＝1.5和x＝－1.5时，y的值相等．∴m＝0.75.
13. 【答案】(1，4) 【解析】∵A(0，3)、B(2，3)，两点纵坐标相同，∴A、B两点关于直线x＝1对称，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即－eq \f(b,2×（－1）)＝1，解得b＝2，∵当x＝0时，y＝3，∴c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，当x＝1时，y＝－x2＋2x＋3＝－12＋2×1＋3＝4，∴抛物线的顶点坐标是(1，4).
14. 【答案】－2 [解析] ∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为(－eq \f(b,2a)，－eq \f(b,2a))．
∵抛物线y＝ax2过点B，
∴－eq \f(b,2a)＝a(－eq \f(b,2a))2，解得b1＝0(舍去)，b2＝－2.
15. 【答案】(－1010，10102) [解析] 由点A的坐标可得直线OA的解析式为y＝x.由AA1∥x轴可得A1(－1，1)，又因为A1A2∥OA，可得直线A1A2的解析式为y＝x＋2，进而得其与抛物线的交点A2的坐标为(2，4)，依次类推得A3(－2，4)，A4(3，9)，A5(－3，9)，…，A2019(－eq \f(2019＋1,2)，10102)，即A2019(－1010，10102)．
三、解答题（本大题共5道小题）
16. 【答案】
解：(1)设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0，,c＝－3，,－\f(b,2a)＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝4，,c＝－3.))
∴函数解析式为y＝－x2＋4x－3.
(2)∵图象的顶点坐标为(－2，3)，
∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)2＋3.
把(1，－3)代入，
可得a(1＋2)2＋3＝－3，
∴a＝－eq \f(2,3)，
∴二次函数的解析式为y＝－eq \f(2,3)(x＋2)2＋3(或y＝－eq \f(2,3)x2－eq \f(8,3)x＋eq \f(1,3))．
(3)根据二次函数的图象可知：
A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)．
设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
把A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)代入y＝ax2＋bx＋c可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝0，,c＝－3，,16a＋4b＋c＝5，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝－3.))
即二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
17. 【答案】
解：(1)y＝－eq \f(3,5)x2＋3x＋1＝－eq \f(3,5)(x－eq \f(5,2))2＋eq \f(19,4).
∵－eq \f(3,5)＜0，∴函数的最大值是eq \f(19,4).
答：演员弹跳的最大高度是eq \f(19,4)米．
(2)当x＝4时，y＝－eq \f(3,5)×42＋3×4＋1＝3.4＝BC，所以这次表演成功．
18. 【答案】
解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＋2b＝4,36a＋6b＝0))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2),b＝3)).(4分)
(2)如解图①，过点A作x轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，点F，则
S△OAD＝eq \f(1,2)OD·AD＝eq \f(1,2)×2×4＝4，
S△ACD＝eq \f(1,2)AD·CE＝eq \f(1,2)×4×(x－2)＝2x－4，
S△BCD＝eq \f(1,2)BD·CF＝eq \f(1,2)×4×(－eq \f(1,2)x2＋3x)＝－x2＋6x，
则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.
∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2
∵S＝－(x－4)2＋16，
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.(12分)
解图①
【一题多解】
解法一：由(1)知y＝－eq \f(1,2)x2＋3x，如解图②，连接AB，则
S＝S△AOB＋S△ABC，其中S△AOB＝eq \f(1,2)×6×4＝12，
设直线AB解析式为y1＝k1x＋b1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得，y1＝－x＋6，过C作直线l⊥x轴交AB于点D，
∴C(x，－eq \f(1,2)x2＋3x)，D(x，－x＋6)，
∴S△ABC＝S△ADC＋S△BDC＝eq \f(1,2)·CD·(x－2)＋eq \f(1,2)·CD·(6－x)＝eq \f(1,2)·CD·4＝2CD，
其中CD＝－eq \f(1,2)x2＋3x－(－x＋6)＝－eq \f(1,2)x2＋4x－6，
∴S△ABC＝2CD＝－x2＋8x－12，
∴S＝S△ABC＋S△AOB＝－x2＋8x－12＋12＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16(2
即S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.
解图②
解法二：∵点C在抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋3x上，
∴点C(x，－eq \f(1,2)x2＋3x)，
如解图③，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，则
点D的坐标为(2，0)，点E的坐标为(x，0)，
∴S＝S△OAD＋S梯形ADEC＋S△CEB＝eq \f(1,2)×2×4＋eq \f(1,2)(4－eq \f(1,2)x2＋3x)(x－2)＋eq \f(1,2)(6－x)(－eq \f(1,2)x2＋3x)＝－x2＋8x，
∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16(2
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.
解图③
19. 【答案】
解：(1)设点P的坐标为(x，eq \f(1,4)x2＋1)．
∵点F的坐标为(0，2)，
∴OF＝2，
∴当△POF的面积为4时，eq \f(1,2)×2×|x|＝4，
解得x＝±4.
∴y＝eq \f(1,4)×(±4)2＋1＝5，
∴点P的坐标为(－4，5)或(4，5)．
(2)如图，过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝eq \f(1,4)x2＋1于点P，此时△PMF的周长最小．
∵F(0，2)，M(eq \r(3)，3)，
∴ME＝3，FM＝eq \r(（\r(3)－0）2＋（3－2）2)＝2，
∴△PMF周长的最小值＝ME＋FM＝3＋2＝5.
20. 【答案】
解：(1)把(5，4)代入y＝ax2－5x＋4a，得25a－25＋4a＝4，解得a＝1.
∴该抛物线的解析式为y＝x2－5x＋4.
∵y＝x2－5x＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)，
∴顶点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(9,4))).
(2)∵S△QAB＝S△PAB，
∴点Q和点P到横轴的距离相等，
即它们纵坐标的绝对值相等．
由(1)可知点P的纵坐标是－eq \f(9,4)，
∴点Q的纵坐标是eq \f(9,4).
令x2－5x＋4＝eq \f(9,4)，解得x＝eq \f(5±3 \r(2),2).
∴点Q的坐标为(eq \f(5－3 \r(2),2)，eq \f(9,4))或(eq \f(5＋3 \r(2),2)，eq \f(9,4))．
22.2 二次函数与一元一次方程
1. 二次函数y＝x2－2x－2的图象与坐标轴的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2. 抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3. 若A(－1，0)为抛物线y＝－3(x－1)2＋c上一点，则当y≥0时，x的取值范围是( )
A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3
C．－1≤x≤3 D．x≤－1或x≥3
4. 抛物线y＝2x2－2eq \r(2)x＋1与坐标轴的交点个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是( )
A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2
C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
6. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )
A. x1＝－3，x2＝－1 B. x1＝1，x2＝3
C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－3，x2＝1
7. 王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3中的一条记为x轴(向右为正方向)，三条竖直直线m4，m5，m6中的一条记为y轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2－6ax－3，则她所选择的x轴和y轴分别为( )
A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m4，m5
8. 根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的取值范围是( )
＜x＜1.24 B．1.24＜x＜1.25
C．1.25＜x＜1.26 D．1＜x＜1.23
9. 已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围是( )
A．－eq \f(25,4)
C．－2＜m＜3 D．－6＜m＜－2
10. 如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(5,2) B．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(1,2)
C．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2) D．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(1,2)
二、填空题
11. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为____________．
12. 已知二次函数y＝kx2－6x－9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为____________．
13. 飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－eq \f(3,2)t2，在飞机着陆滑行中，最后2 s滑行的距离是________m.
14. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．
15. 若二次函数y＝x2＋bx－5的图象的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx－5＝2x－13的解为______________．
16. 已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为________．
17. 已知函数y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x（x>0），,－x（x≤0）))的图象如图所示，若直线y＝x＋m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为________．
三、解答题
18. 若关于x的函数y＝(m2－1)x2－(2m＋2)x＋2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
19. 已知抛物线y＝x2－2bx＋c.
(1)若抛物线的顶点坐标为(2，－3)，求b，c的值；
(2)若b＋c＝0，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
(3)若c＝b＋2且抛物线在－2≤x≤2上的最小值是－3，求b的值．
20. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；
(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m
人教版 九年级数学上册 22.2 二次函数与一元一次方程 课时训练-答案
一、选择题
1. 【答案】D
2. 【答案】C [解析] 当x＝0时，y＝－x2＋4x－4＝－4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，－4)；
当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，解得x1＝x2＝2，则抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选C.
3. 【答案】C
4. 【答案】C 【解析】抛物线y＝2x2－2eq \r(2)x＋1，令x＝0，得到y＝1，即抛物线与y轴交点坐标为(0，1)；令y＝0，得到2x2－2eq \r(2)x＋1＝0，即(eq \r(2)x－1)2＝0，解得：x1＝x2＝eq \f(\r(2),2)，即抛物线与x轴交点坐标为(eq \f(\r(2),2)，0)，则抛物线与坐标轴的交点个数是2.
5. 【答案】A [解析] 抛物线的对称轴是直线x＝－eq \f(2a,2a)＝－1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－4，0)．∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴使y＜0成立的x的取值范围是x＜－4或x＞2.故选A.
6. 【答案】C 【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a＋2a＋c＝0，即3a＋c＝0.当x＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a＋c＝0成立，当x＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a＋c＝0(与3a＋c＝0不相符)，∴方程的两个根为x1＝－1，x2＝3.
7. 【答案】A [解析] ∵y＝ax2－6ax－3＝a(x－3)2－3－9a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴王芳选择的y轴为直线m4.
∵抛物线y＝ax2－6ax－3与y轴的交点为(0，－3)，
∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴王芳选择的x轴为直线m1.
8. 【答案】B
9. 【答案】D 【解析】 如图，当y＝0时，－x2＋x＋6＝0，解得x1＝－2，x2＝3，则A(－2，0)，B(3，0)．
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝(x＋2)(x－3)，即y＝x2－x－6(－2≤x≤3)．
当直线y＝－x＋m经过点A(－2，0)时，2＋m＝0，解得m＝－2；
当直线y＝－x＋m与抛物线y＝x2－x－6有唯一公共点时，方程x2－x－6＝－x＋m有两个相等的实数根，解得m＝－6.
所以当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围为－6＜m＜－2.
10. 【答案】C 【解析】 如图．
∵抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，∴B(5，0)，A(9，0)．
∴抛物线C1向左平移4个单位长度得到C2，∴平移后抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)(x－3)2－2.
当直线y＝eq \f(1,2)x＋m过点B时，有2个交点，
∴0＝eq \f(5,2)＋m，解得m＝－eq \f(5,2)；
当直线y＝eq \f(1,2)x＋m与抛物线C2只有一个公共点时，令eq \f(1,2)x＋m＝eq \f(1,2)(x－3)2－2，∴x2－7x＋5－2m＝ 0，∴Δ＝49－20＋8m＝0，∴m＝－eq \f(29,8)，此时直线的解析式为y＝eq \f(1,2)x－eq \f(29,8)，它与x轴的交点为(eq \f(29,4)，0)，在点A左侧，∴此时直线与C1，C2有2个交点，如图所示．∴当直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点时，－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2).
二、填空题
11. 【答案】－1或2或1 【解析】 ∵函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，
∴当函数为二次函数时，16－4(a－1)×2a＝0，
解得a1＝－1，a2＝2；
当函数为一次函数时，a－1＝0，解得a＝1.
故答案为－1或2或1.
12. 【答案】k＞－1且k≠0
13. 【答案】6 【解析】 当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t－eq \f(3,2)t2＝－eq \f(3,2)(t－20)2＋600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米停下来，
因此t的取值范围是0≤t≤20.
当t＝18时，y＝594，
所以600－594＝6(米)．
故答案是：6.
14. 【答案】．x＜－1或x＞3
15. 【答案】x1＝2，x2＝4 [解析] ∵二次函数y＝x2＋bx－5的图象的对称轴为直线x＝2，∴－eq \f(b,2)＝2，∴b＝－4，∴原方程化为x2－4x－5＝2x－13，解得x1＝2，x2＝4.
16. 【答案】4 [解析] x＋y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴当x＝－1时，x＋y有最大值，最大值是4.
17. 【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))0
∴m的取值范围为0
三、解答题
18. 【答案】
解：①当m2－1＝0且2m＋2≠0，即m＝1时，该函数是一次函数，其图象与x轴只有一个公共点；
②当m2－1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则
Δ＝[－(2m＋2)]2－8(m2－1)＝0，
解得m1＝3，m2＝－1(舍去)．
综上所述，m的值是1或3.
19. 【答案】
解：(1)∵抛物线y＝x2－2bx＋c，
∴a＝1.
∵抛物线的顶点坐标为(2，－3)，
∴y＝(x－2)2－3.
∵y＝(x－2)2－3＝x2－4x＋1，
∴b＝2，c＝1.
(2)存在．
理由：由y＝1，得x2－2bx＋c＝1，
∴x2－2bx＋c－1＝0.
∵Δ＝4b2＋4b＋4＝(2b＋1)2＋3＞0，
∴存在两个实数x，使得y＝1.
(3)若c＝b＋2，则抛物线可化为y＝x2－2bx＋b＋2，其对称轴为直线x＝b.
①若b≤－2，则抛物线在x＝－2时取得最小值，此时－3＝(－2)2－2×(－2)b＋b＋2，
解得b＝－eq \f(9,5)，不合题意，舍去；
②若b≥2，则抛物线在x＝2时取得最小值，此时－3＝22－2×2b＋b＋2，解得b＝3；
③若－2＜b＜2，则抛物线在x＝b时取得最小值，此时eq \f(4（b＋2）－4b2,4)＝－3，
化简，得b2－b－5＝0，
解得b1＝eq \f(1＋\r(21),2)(不符合题意，舍去)，b2＝eq \f(1－\r(21),2).
综上所述，b的值为3或eq \f(1－\r(21),2).
20. 【答案】
【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出y1过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．
解：(1)∵函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，
∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分)
化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，
∴y1＝x2＋x－2；(4分)
(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，
①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，
把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，
得a2＝b；(6分)
②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，
把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，
得a2＋a＝－b；(8分)
(3)∵抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝eq \f(－a＋a＋1,2)＝eq \f(1,2)，m
∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，
∵m
∴点Q离对称轴x＝eq \f(1,2)的距离比P离对称轴x＝eq \f(1,2)的距离大，(10分)
∴|x0－eq \f(1,2)|<1－eq \f(1,2)，
∴0
【22.3实际问题与二次函数】
一．选择题
1．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（ ）
A．1mB．2mC．mD．m
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝2时有最大值3，则这个函数的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
3．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x2+50xB．y＝﹣x2+24x
C．y＝﹣x2+25xD．y＝﹣x2+26x
4．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣
5．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元B．160元C．170元D．180元
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，顶点坐标为（3，﹣2），那么该抛物线有（ ）
A．最小值﹣2B．最大值﹣2C．最小值3D．最大值3
7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①②C．②③④D．②④
8．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A．23.5mB．22.5mC．21.5mD．20.5m
9．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A．2.76米B．6.76米C．6米D．7米
10．用一根铁丝围成正方形、长方形、正三角形和圆，那么面积最大的是（ ）
A．长方形B．正方形C．正三角形D．圆
二．填空题
11．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
12．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为 ．
13．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
14．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是 ．
15．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为60m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC长为 时，能围成的矩形区域ABCD的面积最大．
三．解答题
16．已知函数y＝﹣3x2﹣2x+2，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤﹣1；
（2）x≥1；
（3）﹣1≤x≤1；
（4）﹣2≤x≤3．
17．如图，足球场上守门员徐杨在O处抛出一高球，球从离地面1m处的点A飞出，其飞行的最大高度是4m，最高处距离飞出点的水平距离是6m，且飞行的路线是抛物线一部分．以点O为坐标原点，竖直向上的方向为y轴的正方向，球飞行的水平方向为x轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．（参考数据：4≈7）
（1）求足球的飞行高度y（m）与飞行水平距离x（m）之间的函数关系式；
（2）在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？（精确到个位）
（3）若对方一名1.7m的队员在距落点C3m的点H处，跃起0.3m进行拦截，则这名队员能拦到球吗？
18．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
19．某超市以20元/千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以30元/千克销售这些绿色食品，那么每天可售出400千克．由销售经验可知，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系．
（1）试求出y与x的函数关系式；
（2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润w元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
20．某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
参考答案
一．选择题
1．解：如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，
则﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
当y＝﹣0.5时，﹣x2＝﹣0.5，
解得x＝±1，
此时水面的宽度为2m，
故选：B．
2．解：A、函数值3不是最大值，故本选项错误；
B、x＝2时有最小值3，故本选项错误；
C、x＝2时有最大值3，故本选项正确；
D、函数有最大值2，故本选项错误．
故选：C．
3．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，
则y关于x的函数表达式是：y＝x•（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．
故选：D．
4．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，
∴m≤﹣；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；
∴﹣2≤m≤﹣．
故选：C．
5．解：设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
6．解：由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，顶点坐标为（3，﹣2），
可知该抛物线有最小值﹣2，
故选：A．
7．解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；
②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：
0＝a（0﹣3）2+40，
解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
∴当t＝1.5s时，h＝﹣（1.5﹣3）2+40＝30，
∴④正确．
综上，正确的有②③④．
故选：C．
8．解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
因为a＝﹣5＜0，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
9．解：设该抛物线的解析式为y＝ax2，在正常水位下x＝10，代入解析式可得﹣4＝a×102⇒a＝﹣
故此抛物线的解析式为y＝﹣x2．
因为桥下水面宽度不得小于18米
所以令x＝9时
可得y＝＝﹣3.24米
此时水深6+4﹣3.24＝6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．
故选：B．
10．解：设铁丝的长度为a，
①当围成长方形时，设长为x，则宽为（a﹣x），则长方形的面积＝x×（a﹣x）＝﹣x（x﹣a），
当x＝a时，长方形的面积最大为，此时长方形为正方形，即正方形的面积大于长方形的面积；
②当围成正三角形时，则三角形的边长为a，
则正三角形的面积为×a×asin60°＝；
③当围成圆时，则圆的半径为，
则圆的面积为π（）2＝；
而＞＞，
即圆的面积最大，
故选：D．
二．填空题
11．解：设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．
故答案为10．
12．解：y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
13．解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
故答案为：70．
14．解：由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0，
解得：0≤x≤3．
∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y
＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x）
＝x2﹣11x+24
＝﹣，
∴当x≤ 时，y随x的增大而减小，
故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0．
故答案为：0．
15．解：如图，
∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE 面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设 BC＝x（m），BE＝FC＝a（m），则AE＝HG＝DF＝2a（m），
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝60（m），即 8a+2x＝60，
∴a＝﹣x+，3a＝﹣x+，
∴矩形区域 ABCD 的面积 S＝（﹣x+）x＝﹣x2+x，
∵a＝﹣x+
∴x＜30，
则 S＝﹣x2+x （0＜x＜30）
∵二次项系数为﹣＜0
∴当x＝﹣＝15（m）时，S 有最大值，最大值为：﹣×152+×15＝（m2）
故答案为：15m．
三．解答题
16．解：（1）∵y＝﹣3x2﹣2x+2＝﹣3（x+）2+，
∴函数y＝﹣3x2﹣2x+2的对称轴为x＝﹣，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，
∴当x≤﹣1时，函数y＝﹣3x2﹣2x+2有最大值，此时x＝﹣1，最大值为：y＝＝1；
（2）∵y＝﹣3x2﹣2x+2＝﹣3（x+）2+，
∴函数y＝﹣3x2﹣2x+2的对称轴为x＝﹣，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，
∴当x≥1时，函数y＝﹣3x2﹣2x+2有最大值，此时x＝1，最大值为：y＝﹣3；
（3）∵y＝﹣3x2﹣2x+2＝﹣3（x+）2+，
∴函数y＝﹣3x2﹣2x+2的对称轴为x＝﹣，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，
∴当﹣1≤x≤1时，函数函数y＝﹣3x2﹣2x+2有最大值和最小值，当x＝时，函数取得最大值，最大值为y＝，当x＝1时，函数取得最小值，最小值为y＝﹣3；
（4）∵y＝﹣3x2﹣2x+2＝﹣3（x+）2+，
∴函数y＝﹣3x2﹣2x+2的对称轴为x＝﹣，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，
∴当﹣2≤x≤3时，当x＝时，函数取得最大值，最大值为y＝，当x＝3时，取得最小值，最小值是y＝﹣31．
17．解：（1）当h＝4时，y＝a（x﹣6）2+4，又A（0，1）
∴1＝a（0﹣6）2+4，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）令y＝0，则0＝﹣（x﹣6）2+4，
解得：x1＝4+6≈13，x2＝﹣4+6＜0（舍去）
∴球飞行的最远水平距离是13米；
（3）当x＝13﹣3＝10时，y＝＞1.7+0.3＝2，
∴这名队员不能拦到球．
18．解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）
＝﹣2（x﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w最大值＝800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
19．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，得，
即y与x的函数关系式是y＝﹣20x+1000（30≤x≤50）；
（2）w＝（x﹣20）y
＝（x﹣20）（﹣20x+1000）
＝﹣20x2+1400x﹣20000
＝﹣20（x﹣35）2+4500，
故当x＝35时，w取得最大值，此时w＝4500，
答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．
20．解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+110，
故答案为：y＝﹣x+110；
（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，
∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（﹣x+110﹣71）x＝﹣+39x＝﹣（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：﹣（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190元或200元时，w最大，最大值是3800元．
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
－11
－2
1
－2
－5
…
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
2
0.75
0
－0.25
0
－0.25
0
m
2
…
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
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