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人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试精品同步练习题
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这是一份人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试精品同步练习题，共22页。试卷主要包含了121， 一元二次方程x＝2－x的根是等内容，欢迎下载使用。
21.1一元二次方程
一．选择题
1．一元二次方程x2﹣2（x﹣2）＝3的一般形式是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣2x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣7＝0D．
A．形如ax2+bx+c＝0的方程叫做一元二次方程
B．＝0是一元二次方程
C．方程x2﹣2x＝1的常数项为0
D．在一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0
3．若关于x的方程（a+1）x2﹣ax+2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a＞0C．a＞﹣1D．a≠﹣1
4．如果0是关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根，那么a的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．±2
5．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（ ）
A．11B．12C．13D．14
6．一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．﹣2，﹣3，﹣7C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
7．如果（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
8．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜qB．p＝qC．p＞qD．不能确定
9．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2019﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2015B．2017C．2019D．2022
10．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
11．关于x的方程kx2+2x+1＝0是一元二次方程，则k应满足的条件是 ．
12．若关于x的方程ax2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是 ．
13．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则2020﹣6m2+9m的值为 ．
14．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m++3的值等于 ．
15．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根是﹣2，则n﹣2m﹣5的值为 ．
三．解答题
16．已知关于x的方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5＝0（m为常数）的一个根是1，求m的值．
17．若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，求代数式的值．
18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19．阅读理解：
由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b＜0（k≠0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b＞0（k≠0）的解集．
例，如图1，一次函数kx+b＝0（k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解是x＝1；kx+b＜0（k≠0）的解集为x＜1．
结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：
（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为 ；
（2）通过图2可以得到
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ；
②关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为 ．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：x2﹣2（x﹣2）＝3，
x2﹣2x+4﹣3＝0，
x2﹣2x+1＝0，
即一元二次方程x2﹣2（x﹣2）＝3的一般形式是x2﹣2x+1＝0，
故选：A．
2．【解答】解：A．形如ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数且a≠0）的方程叫做一元二次方程，此选项错误；
B．＝0，即x2﹣1＝0是一元二次方程，此选项正确；
C．方程x2﹣2x＝1，即x2﹣2x﹣1＝0的常数项为﹣1，此选项错误；
D．在一元二次方程中，二次项系数不能为0，此选项错误；
故选：B．
3．【解答】解：∵关于x的方程（a+1）x2﹣ax+2＝0是一元二次方程，
∴a+1≠0，
∴a≠﹣1，
故选：D．
4．【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0得a2﹣9＝0，解得a1＝﹣3，a2＝3，
而a+3≠0，
所以a的值为3．
故选：A．
5．【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，
∴m2﹣m﹣3＝0，
∴m2﹣m＝3，
∴2m2﹣2m+7＝2（m2﹣m）+7＝2×3+7＝13．
故选：C．
6．【解答】解：2y2﹣7＝3y，
2y2﹣3y﹣7＝0，
所以一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，﹣7，
故选：A．
7．【解答】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，
解得：m＝2，
故选：B．
8．【解答】解：∵x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax12﹣2x1＝c，
则p﹣q＝（ax1﹣1）2﹣（ac+1.5）
＝a2x12﹣2ax1+1﹣ac﹣1.5
＝a（ax12﹣2x1）﹣ac﹣0.5
＝ac﹣ac﹣0.5
＝﹣0.5，
∴p﹣q＜0，
∴p＜q．
故选：A．
9．【解答】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，
则a﹣b＝2，
所以原式＝2019﹣2（a﹣b）
＝2019﹣2×2
＝2019﹣4
＝2015，
故选：A．
10．【解答】解：一元二次方程只有④，共1个，
故选：A．
二．填空题
11．【解答】解：∵关于x的方程kx2+2x+1＝0是一元二次方程，
∴k≠0．
故答案为：k≠0．
12．【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
故答案为：a≠0．
13．【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
即2m2﹣3m＝1，
∴2020﹣6m2+9m＝2020﹣3（2m2﹣3m）＝2020﹣3×1＝2017．
故答案为2017．
14．【解答】解：∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2018m+1＝0，
∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，
∴m2﹣2017m++3＝2018m﹣1﹣2017m++3
＝m++2
＝+2
＝+2
＝2018+2
＝2020．
故答案为2020．
15．【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+mx+n＝0得4﹣2m+n＝0，
整理得：n﹣2m＝﹣4，
所以n﹣2m﹣5＝﹣4﹣5＝﹣9．
故答案为：﹣9．
三．解答题
16．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5＝0得1﹣6+m2﹣3m﹣5＝0，
整理得m2﹣3m﹣10＝0，
解得m1＝5，m2＝﹣2，
即m的值为5或﹣2．
17．【解答】解：∵x2﹣2x﹣15＝0，
∴（x﹣5）（x+3）＝0．
∴x＝5或x＝﹣3．
由于m是方程的一个根，所以m＝5或﹣3．
∵
＝×﹣2
＝×﹣2
＝﹣2（3+m）﹣2
＝﹣6﹣2m﹣2．
当m＝5时，原代数式无意义；
当m＝﹣3时，原式＝﹣6﹣2×（﹣3）﹣2
＝0﹣2
＝﹣2．
18．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
19．【解答】解：（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为x＞1；
（2）通过图2可以得到2＝2；
21.2 解一元二次方程
一、选择题
1. 解方程(x＋2)(x－2)＝0就相当于解方程( )
A．x＋2＝0
B．x－2＝0
C．x＋2＝0且x－2＝0
D．x＋2＝0或x－2＝0
2. 一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A. －1 B. 2 C. 1和2 D. －1和2
3. 用配方法解下列方程，其中应在方程的两边都加上4的方程是( )
A．x2－2x＝5 B．2x2－4x＝5
C．x2＋4x＝5 D．x2＋2x＝5
4. 2019·烟台 当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5. 方程x2－2020x＝0的根是( )
A．x＝2020 B．x＝0
C．x1＝2020，x2＝0 D．x＝－2020
6. 一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为( )
A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝5
C．(x－2)2＝3 D．(x－2)2＝5
7. 用因式分解法解一元二次方程x(x－1)－2(1－x)＝0，变形后正确的是( )
A．(x＋1)(x＋2)＝0 B．(x＋1)(x－2)＝0
C．(x－1)(x－2)＝0 D．(x－1)(x＋2)＝0
8. 以x＝eq \f(b±\r(b2＋4c),2)为根的一元二次方程可能是( )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
9. 若方程(x＋3)2＝m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的( )
A．1 B．4 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
10. 小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是( )
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝－1
D．有两个相等的实数根
二、填空题
11. 配方法解一元二次方程x2－2 eq \r(2)x＋1＝0，所得结果是x1＝________，x2＝________．
12. 一元二次方程4x2＝3x的解是______________．
13. 若关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．
14. 设a，b是方程x2＋x－2020＝0的两个实数根，则(a－1)(b－1)的值为________．
15. 已知关于x的方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)的一个根是eq \f(1,2)，且b2－4ac＝0，则此方程的另一个根是________．
三、解答题
16. 解方程组：
17. 用因式分解法解下列方程：
(1)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))－x＋2＝0； (2)(x－3)2－4x2＝0；
(3)(x－3)(x－1)＝3; (4)2x2－4x－30＝0.
18. 解下列方程：
(1)2x2－3x＋1＝0；
(2)3(x2＋1)－7x＝0；
(3)4x2－3x－5＝x－2；
(4)(x＋1)(x－1)＝2 eq \r(2)x.
19. 已知xy＞0，且x2－8y2＝2xy，求eq \f(5x－2y,x＋2y)的值．
20. 【阅读材料】
解方程：x4－3x2＋2＝0.
解：设x2＝m，则原方程可变形为m2－3m＋2＝0，
解得m1＝1，m2＝2.
当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1；
当m＝2时，x2＝2，解得x＝±eq \r(2).
所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝eq \r(2)，x4＝－eq \r(2).
【问题解决】
利用上述方法解方程：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.
人教版 九年级数学 21.2 解一元二次方程 针对训练 -答案
一、选择题
1. 【答案】D
2. 【答案】D 【解析】x(x－2)＝2－x⇒x(x－2)＋(x－2)＝0⇒(x－2)(x＋1)＝0⇒x1＝2，x2＝－1.
3. 【答案】C
4. 【答案】A
5. 【答案】C
6. 【答案】D
7. 【答案】D
8. 【答案】D [解析] 对照求根公式，可确定二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，－b，－c.故选D.
9. 【答案】D
10. 【答案】A [解析] 由题意得x＝－1是方程x2＋4x＋c－2＝0的一个根，
∴(－1)2＋4×(－1)＋c－2＝0，
解得c＝5.
∴原方程为x2＋4x＋5＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝42－4×1×5＝－4＜0，
∴原方程没有实数根．
二、填空题
11. 【答案】eq \r(2)－1 eq \r(2)＋1
12. 【答案】x1＝0，x2＝eq \f(3,4) [解析] 4x2＝3x，
4x2－3x＝0，
x(4x－3)＝0，
x＝0或4x－3＝0，
所以x1＝0，x2＝eq \f(3,4).
13. 【答案】1 [解析] ∵关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＝b2－4ac＞0，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k≠0，,16＋16k>0，))
解得k＞－1且k≠0，
∴k的最小整数值为1.
14. 【答案】－2018 [解析] 根据题意，得a＋b＝－1，ab＝－2020，∴(a－1)(b－1)＝ab－(a＋b)＋1＝－2020＋1＋1＝－2018.故答案为：－2018.
15. 【答案】eq \f(1,2) [解析] 由b2－4ac＝0知原方程根的判别式为0，因此原方程有两个相等的实数根．故原方程的另一个根也是eq \f(1,2).
三、解答题
16. 【答案】
解：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2， ①,x2－2xy－3y2＝0， ②))
方程①变形为y＝x－2. ③
把③代入②，得x2－2x(x－2)－3(x－2)2＝0.
整理，得x2－4x＋3＝0.
解这个方程，得x1＝1，x2＝3.
将x1＝1，x2＝3代入③，分别求得y1＝－1，y2＝1.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝1，,y1＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝3，,y2＝1.))
17. 【答案】
解：(1)x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0，∴x1＝2，x2＝1.
(2)(x－3＋2x)(x－3－2x)＝0，
(3x－3)(－x－3)＝0，∴x1＝－3，x2＝1.
(3)方程化为x2－4x＝0，
∴x(x－4)＝0，∴x1＝0，x2＝4.
(4)将原方程两边都除以2，得x2－2x－15＝0.
左边分解因式，得(x－5)(x＋3)＝0.
∴x1＝5，x2＝－3.
18. 【答案】
解：(1)b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1，
∴x＝eq \f(3±\r(1),2×2)＝eq \f(3±1,4)，即x1＝1，x2＝eq \f(1,2).
(2)化简，得3x2－7x＋3＝0，
∴b2－4ac＝(－7)2－4×3×3＝13，
∴x＝eq \f(7±\r(13),2×3)＝eq \f(7±\r(13),6)，
∴x1＝eq \f(7＋\r(13),6)，x2＝eq \f(7－\r(13),6).
(3)化简，得4x2－4x－3＝0，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×4×(－3)＝64，
∴x＝eq \f(4±\r(64),2×4)＝eq \f(1±2,2)，∴x1＝eq \f(3,2)，x2＝－eq \f(1,2).
(4)将原方程化为一元二次方程的一般形式，得
x2－2 eq \r(2)x－1＝0.
这里a＝1，b＝－2 eq \r(2)，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－2 eq \r(2))2－4×1×(－1)＝12，
∴x＝eq \f(－（－2 \r(2)）±\r(12),2×1)＝eq \f(2 \r(2)±2 \r(3),2)＝eq \r(2)±eq \r(3).
即x1＝eq \r(2)＋eq \r(3)，x2＝eq \r(2)－eq \r(3).
19. 【答案】
解：由已知，得x2－2xy－8y2＝0.
左边分解因式，得(x－4y)(x＋2y)＝0.
∵xy＞0，∴x，y同号，可见x＋2y≠0.
∴x－4y＝0，即x＝4y.
∴原式＝eq \f(5×4y－2y,4y＋2y)＝eq \f(18y,6y)＝3.
20. 【答案】
解：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.
(x2－2x)2－5(x2－2x)＋6＝0.
设x2－2x＝m，则原方程可变形为m2－5m＋6＝0，
解得m1＝3，m2＝2.
当m＝3时，x2－2x＝3，解得x＝3或x＝－1.
当m＝2时，x2－2x＝2，解得x＝1±eq \r(3).
所以原方程的解为x1＝3，x2＝－1，x3＝1＋eq \r(3)，x4＝1－eq \r(3).
21.3实际问题与一元二次方程
一．选择题
1．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（ ）
A．y＝5（1+2x）B．y＝5x2C．y＝5（1+x）2D．y＝5（1+x2）
3．某品牌服装原价每件200元，由于畅销连续两次涨价，现售价每件242元，设平均每次涨价的百分数为x，根据题意，列出方程（ ）
A．200（1+x）2＝242B．200（1+2x）＝242
C．200（1﹣x）2＝242D．242（1﹣x）2＝200
4．为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上百日提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．67500（1+2x）＝90000
B．67500×2（1+x）＝90000
C．67500+67500（1+x）+67500（1+x）2＝90000
D．67500（1+x）2＝90000
5．如表是一张月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个数（如1，2，8，9），如果圈出的四个数中的最小数与最大数的积为308，那么这四个数的和为（ ）
A．68B．72C．74D．76
6．一个研究小组有若干人，互送研究成果，若全组共送研究成果72个，这个小组共有（ ）人．
A．8B．9C．10D．72
7．由于国家出台对房屋的价格进行管理条例，我省某地的房屋价格原价为9400元/米2，通过连续两次降价a%后，售价变为9000元/米2，下列方程中正确的是（ ）
A．9400（1﹣a%2）9000B．9000（1﹣a%2）＝9400
C．9400（1+a%）2＝9000D．9400（1﹣a%）2＝9000
8．某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二，三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数为x，则由题意可得方程为（ ）
A．80（1+x）2＝340
B．80+80（1+x）2＝340
C．80（1+x）+80（1+x）2＝340
D．80+80（1+x）+80（1+x）2＝340
9．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（ ）
A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x﹣x2＝4704
C．5000﹣150x+＝4704D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704
10．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）
A．6B．﹣C．﹣2D．5﹣5
二．填空题
11．国庆期间，有n个同学互发祝福短信，每位同学都给其他同学发出一条短信，共发出72条短信，则可列出一元二次方程为 ．
12．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．设这种药品的成本的年平均下降率为x，则所列方程是： ．
13．如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，列出x满足的方程是 ．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝14cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动到点B停止，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动到点C停止．若点P，Q分别从点A，B同时出发，那么经过 秒后，S△PBQ＝16cm2．
15．某超市一月份的营业额为200万元，已知二月和三月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为 ．
三．解答题
16．随着网购平台的不断发展，某服装实体专卖店的销售额逐年下降，2017年“双十一”后的年末销售额为100万元，到2019年“双十一”后的年末销售额为36万元，求该服装实体专卖店2017年到2019年销售额的平均下降率．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，同时动点Q从点B出发，沿BC方向运动，点P，点Q的运动速度均为1cm/s．当运动时间为多少秒时，两点相距15cm？
18．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为24元/件．”
成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”
成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”
根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？
19．如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求BC的长．
20．如图，一块长和宽分别为100厘米和50厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为3600平方厘米，设截去正方形的边长为x厘米，求x的值．
参考答案
一．选择题
1．解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
∴参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
2．解：依题意，得y＝5（1+x）2．
故选：C．
3．解：依题意，得200（1+x）2＝242，
故选：A．
4．解：依题意，得67500（1+x）2＝90000，
故选：D．
5．解：设最小的数为x，则最大的数为x+8，
由题意得：x（x+8）＝308，
解得：x1＝14，x2＝﹣22（不合题意，舍去），
14+8＝22，
则四个数为：14，15，21，22，
14+15+21+22＝72，
故选：B．
6．解：设该研究小组共有x人，则每人需送（x﹣1）个研究成果，
依题意，得：x（x﹣1）＝72，
整理，得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故选：B．
7．解：设连续两次降价a%，
9400（1﹣a%）2＝9000．
故选：D．
8．解：设月平均增长率的百分数为x，
80+80（1+x）+80（1+x）2＝340．
故选：D．
9．解：依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，
故选：D．
10．解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为：
50+×4＝50+25＝75，
∴该方程的正数解为﹣×2＝5﹣5．
故选：D．
二．填空题
11．解：设该班级共有同学n名，
根据题意，得：n（n﹣1）＝72，
故答案为：n（n﹣1）＝72．
12．解：设这种药品成本的年平均下降率为x，则今年生成1吨这种药品的成本为100（1﹣x）2万元，
根据题意得，100（1﹣x）2＝81．
故答案为：100（1﹣x）2＝81．
13．解：设金色纸边的宽为xcm，列出x满足的方程是：
（50+2x）（80+2x）＝5000．
故答案为：（50+2x）（80+2x）＝5000．
14．解：14÷2＝7（秒）．
设运动时间为x秒．
当0≤x≤7时，PB＝（10﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意，得：PB•BQ＝16，
即（10﹣x）×2x＝16，
整理，得：x2﹣10x+16＝0，
解得：x1＝2，x2＝8（不合题意，舍去）；
当7＜x≤10时，BQ＝14cm，PB＝（10﹣x）cm，
依题意，得：PB•BQ＝16，
即（10﹣x）×14＝16，
解得：x＝．
故答案为：2或．
15．解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200（1+x）+200（1+x）2＝1000，
故答案为：200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000．
三．解答题
16．解：设该服装实体专卖店2017年到2019年销售额的平均下降率为x，
依题意，得：100（1﹣x）2＝36，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6（不合题意，舍去）．
答：该服装实体专卖店2017年到2019年销售额的平均下降率为40%．
17．解：设运动x秒时，它们相距15cm，依题意有，
x2+（21﹣x）2＝152，
解得x1＝9，x2＝12．
故运动9秒或12秒时，它们相距15cm．
18．解：设每件涨价x元，则每件的利润为（40﹣24+x）元，每日可售出（480﹣20x）件，
依题意，得：（40﹣24+x）（480﹣20x）＝7680，
整理，得：x2﹣8x＝0，
解得：x1＝0，x2＝8，
∴40+x＝40或48；
设每件降价y元，则每件的利润为（40﹣24﹣y）元，每日可售出（480+40y）件，
依题意，得：（40﹣24﹣y）（480+40y）＝7680，
整理，得：y2﹣4y＝0，
解得：y1＝0，y2＝4，
∴40﹣y＝40或36．
答：当定价为36元，40元或48元时，该商品每天获利7680元．
19．解：设BC＝x米（0＜x≤20），则AB＝米，
依题意，得：x•＝450，
整理，得：x2﹣100x+900＝0，
解得：x1＝10，x2＝90（不合题意，舍去）．
答：BC的长为10米．
20．解：设截去小正方形的边长x厘米，则
（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
解得x1＝5，x2＝70（不合题意舍去）．
故截去小正方形的边长为5厘米．即x的值是5．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
21.1一元二次方程
一．选择题
1．一元二次方程x2﹣2（x﹣2）＝3的一般形式是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣2x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣7＝0D．
A．形如ax2+bx+c＝0的方程叫做一元二次方程
B．＝0是一元二次方程
C．方程x2﹣2x＝1的常数项为0
D．在一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0
3．若关于x的方程（a+1）x2﹣ax+2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a＞0C．a＞﹣1D．a≠﹣1
4．如果0是关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根，那么a的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．±2
5．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（ ）
A．11B．12C．13D．14
6．一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．﹣2，﹣3，﹣7C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
7．如果（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
8．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜qB．p＝qC．p＞qD．不能确定
9．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2019﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2015B．2017C．2019D．2022
10．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
11．关于x的方程kx2+2x+1＝0是一元二次方程，则k应满足的条件是 ．
12．若关于x的方程ax2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是 ．
13．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则2020﹣6m2+9m的值为 ．
14．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m++3的值等于 ．
15．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根是﹣2，则n﹣2m﹣5的值为 ．
三．解答题
16．已知关于x的方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5＝0（m为常数）的一个根是1，求m的值．
17．若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，求代数式的值．
18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19．阅读理解：
由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b＜0（k≠0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b＞0（k≠0）的解集．
例，如图1，一次函数kx+b＝0（k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解是x＝1；kx+b＜0（k≠0）的解集为x＜1．
结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：
（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为 ；
（2）通过图2可以得到
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ；
②关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为 ．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：x2﹣2（x﹣2）＝3，
x2﹣2x+4﹣3＝0，
x2﹣2x+1＝0，
即一元二次方程x2﹣2（x﹣2）＝3的一般形式是x2﹣2x+1＝0，
故选：A．
2．【解答】解：A．形如ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数且a≠0）的方程叫做一元二次方程，此选项错误；
B．＝0，即x2﹣1＝0是一元二次方程，此选项正确；
C．方程x2﹣2x＝1，即x2﹣2x﹣1＝0的常数项为﹣1，此选项错误；
D．在一元二次方程中，二次项系数不能为0，此选项错误；
故选：B．
3．【解答】解：∵关于x的方程（a+1）x2﹣ax+2＝0是一元二次方程，
∴a+1≠0，
∴a≠﹣1，
故选：D．
4．【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0得a2﹣9＝0，解得a1＝﹣3，a2＝3，
而a+3≠0，
所以a的值为3．
故选：A．
5．【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，
∴m2﹣m﹣3＝0，
∴m2﹣m＝3，
∴2m2﹣2m+7＝2（m2﹣m）+7＝2×3+7＝13．
故选：C．
6．【解答】解：2y2﹣7＝3y，
2y2﹣3y﹣7＝0，
所以一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，﹣7，
故选：A．
7．【解答】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，
解得：m＝2，
故选：B．
8．【解答】解：∵x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax12﹣2x1＝c，
则p﹣q＝（ax1﹣1）2﹣（ac+1.5）
＝a2x12﹣2ax1+1﹣ac﹣1.5
＝a（ax12﹣2x1）﹣ac﹣0.5
＝ac﹣ac﹣0.5
＝﹣0.5，
∴p﹣q＜0，
∴p＜q．
故选：A．
9．【解答】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，
则a﹣b＝2，
所以原式＝2019﹣2（a﹣b）
＝2019﹣2×2
＝2019﹣4
＝2015，
故选：A．
10．【解答】解：一元二次方程只有④，共1个，
故选：A．
二．填空题
11．【解答】解：∵关于x的方程kx2+2x+1＝0是一元二次方程，
∴k≠0．
故答案为：k≠0．
12．【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
故答案为：a≠0．
13．【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
即2m2﹣3m＝1，
∴2020﹣6m2+9m＝2020﹣3（2m2﹣3m）＝2020﹣3×1＝2017．
故答案为2017．
14．【解答】解：∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2018m+1＝0，
∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，
∴m2﹣2017m++3＝2018m﹣1﹣2017m++3
＝m++2
＝+2
＝+2
＝2018+2
＝2020．
故答案为2020．
15．【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+mx+n＝0得4﹣2m+n＝0，
整理得：n﹣2m＝﹣4，
所以n﹣2m﹣5＝﹣4﹣5＝﹣9．
故答案为：﹣9．
三．解答题
16．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5＝0得1﹣6+m2﹣3m﹣5＝0，
整理得m2﹣3m﹣10＝0，
解得m1＝5，m2＝﹣2，
即m的值为5或﹣2．
17．【解答】解：∵x2﹣2x﹣15＝0，
∴（x﹣5）（x+3）＝0．
∴x＝5或x＝﹣3．
由于m是方程的一个根，所以m＝5或﹣3．
∵
＝×﹣2
＝×﹣2
＝﹣2（3+m）﹣2
＝﹣6﹣2m﹣2．
当m＝5时，原代数式无意义；
当m＝﹣3时，原式＝﹣6﹣2×（﹣3）﹣2
＝0﹣2
＝﹣2．
18．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
19．【解答】解：（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为x＞1；
（2）通过图2可以得到2＝2；
21.2 解一元二次方程
一、选择题
1. 解方程(x＋2)(x－2)＝0就相当于解方程( )
A．x＋2＝0
B．x－2＝0
C．x＋2＝0且x－2＝0
D．x＋2＝0或x－2＝0
2. 一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A. －1 B. 2 C. 1和2 D. －1和2
3. 用配方法解下列方程，其中应在方程的两边都加上4的方程是( )
A．x2－2x＝5 B．2x2－4x＝5
C．x2＋4x＝5 D．x2＋2x＝5
4. 2019·烟台 当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5. 方程x2－2020x＝0的根是( )
A．x＝2020 B．x＝0
C．x1＝2020，x2＝0 D．x＝－2020
6. 一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为( )
A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝5
C．(x－2)2＝3 D．(x－2)2＝5
7. 用因式分解法解一元二次方程x(x－1)－2(1－x)＝0，变形后正确的是( )
A．(x＋1)(x＋2)＝0 B．(x＋1)(x－2)＝0
C．(x－1)(x－2)＝0 D．(x－1)(x＋2)＝0
8. 以x＝eq \f(b±\r(b2＋4c),2)为根的一元二次方程可能是( )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
9. 若方程(x＋3)2＝m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的( )
A．1 B．4 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
10. 小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是( )
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝－1
D．有两个相等的实数根
二、填空题
11. 配方法解一元二次方程x2－2 eq \r(2)x＋1＝0，所得结果是x1＝________，x2＝________．
12. 一元二次方程4x2＝3x的解是______________．
13. 若关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．
14. 设a，b是方程x2＋x－2020＝0的两个实数根，则(a－1)(b－1)的值为________．
15. 已知关于x的方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)的一个根是eq \f(1,2)，且b2－4ac＝0，则此方程的另一个根是________．
三、解答题
16. 解方程组：
17. 用因式分解法解下列方程：
(1)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))－x＋2＝0； (2)(x－3)2－4x2＝0；
(3)(x－3)(x－1)＝3; (4)2x2－4x－30＝0.
18. 解下列方程：
(1)2x2－3x＋1＝0；
(2)3(x2＋1)－7x＝0；
(3)4x2－3x－5＝x－2；
(4)(x＋1)(x－1)＝2 eq \r(2)x.
19. 已知xy＞0，且x2－8y2＝2xy，求eq \f(5x－2y,x＋2y)的值．
20. 【阅读材料】
解方程：x4－3x2＋2＝0.
解：设x2＝m，则原方程可变形为m2－3m＋2＝0，
解得m1＝1，m2＝2.
当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1；
当m＝2时，x2＝2，解得x＝±eq \r(2).
所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝eq \r(2)，x4＝－eq \r(2).
【问题解决】
利用上述方法解方程：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.
人教版 九年级数学 21.2 解一元二次方程 针对训练 -答案
一、选择题
1. 【答案】D
2. 【答案】D 【解析】x(x－2)＝2－x⇒x(x－2)＋(x－2)＝0⇒(x－2)(x＋1)＝0⇒x1＝2，x2＝－1.
3. 【答案】C
4. 【答案】A
5. 【答案】C
6. 【答案】D
7. 【答案】D
8. 【答案】D [解析] 对照求根公式，可确定二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，－b，－c.故选D.
9. 【答案】D
10. 【答案】A [解析] 由题意得x＝－1是方程x2＋4x＋c－2＝0的一个根，
∴(－1)2＋4×(－1)＋c－2＝0，
解得c＝5.
∴原方程为x2＋4x＋5＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝42－4×1×5＝－4＜0，
∴原方程没有实数根．
二、填空题
11. 【答案】eq \r(2)－1 eq \r(2)＋1
12. 【答案】x1＝0，x2＝eq \f(3,4) [解析] 4x2＝3x，
4x2－3x＝0，
x(4x－3)＝0，
x＝0或4x－3＝0，
所以x1＝0，x2＝eq \f(3,4).
13. 【答案】1 [解析] ∵关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＝b2－4ac＞0，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k≠0，,16＋16k>0，))
解得k＞－1且k≠0，
∴k的最小整数值为1.
14. 【答案】－2018 [解析] 根据题意，得a＋b＝－1，ab＝－2020，∴(a－1)(b－1)＝ab－(a＋b)＋1＝－2020＋1＋1＝－2018.故答案为：－2018.
15. 【答案】eq \f(1,2) [解析] 由b2－4ac＝0知原方程根的判别式为0，因此原方程有两个相等的实数根．故原方程的另一个根也是eq \f(1,2).
三、解答题
16. 【答案】
解：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2， ①,x2－2xy－3y2＝0， ②))
方程①变形为y＝x－2. ③
把③代入②，得x2－2x(x－2)－3(x－2)2＝0.
整理，得x2－4x＋3＝0.
解这个方程，得x1＝1，x2＝3.
将x1＝1，x2＝3代入③，分别求得y1＝－1，y2＝1.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝1，,y1＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝3，,y2＝1.))
17. 【答案】
解：(1)x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0，∴x1＝2，x2＝1.
(2)(x－3＋2x)(x－3－2x)＝0，
(3x－3)(－x－3)＝0，∴x1＝－3，x2＝1.
(3)方程化为x2－4x＝0，
∴x(x－4)＝0，∴x1＝0，x2＝4.
(4)将原方程两边都除以2，得x2－2x－15＝0.
左边分解因式，得(x－5)(x＋3)＝0.
∴x1＝5，x2＝－3.
18. 【答案】
解：(1)b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1，
∴x＝eq \f(3±\r(1),2×2)＝eq \f(3±1,4)，即x1＝1，x2＝eq \f(1,2).
(2)化简，得3x2－7x＋3＝0，
∴b2－4ac＝(－7)2－4×3×3＝13，
∴x＝eq \f(7±\r(13),2×3)＝eq \f(7±\r(13),6)，
∴x1＝eq \f(7＋\r(13),6)，x2＝eq \f(7－\r(13),6).
(3)化简，得4x2－4x－3＝0，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×4×(－3)＝64，
∴x＝eq \f(4±\r(64),2×4)＝eq \f(1±2,2)，∴x1＝eq \f(3,2)，x2＝－eq \f(1,2).
(4)将原方程化为一元二次方程的一般形式，得
x2－2 eq \r(2)x－1＝0.
这里a＝1，b＝－2 eq \r(2)，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－2 eq \r(2))2－4×1×(－1)＝12，
∴x＝eq \f(－（－2 \r(2)）±\r(12),2×1)＝eq \f(2 \r(2)±2 \r(3),2)＝eq \r(2)±eq \r(3).
即x1＝eq \r(2)＋eq \r(3)，x2＝eq \r(2)－eq \r(3).
19. 【答案】
解：由已知，得x2－2xy－8y2＝0.
左边分解因式，得(x－4y)(x＋2y)＝0.
∵xy＞0，∴x，y同号，可见x＋2y≠0.
∴x－4y＝0，即x＝4y.
∴原式＝eq \f(5×4y－2y,4y＋2y)＝eq \f(18y,6y)＝3.
20. 【答案】
解：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.
(x2－2x)2－5(x2－2x)＋6＝0.
设x2－2x＝m，则原方程可变形为m2－5m＋6＝0，
解得m1＝3，m2＝2.
当m＝3时，x2－2x＝3，解得x＝3或x＝－1.
当m＝2时，x2－2x＝2，解得x＝1±eq \r(3).
所以原方程的解为x1＝3，x2＝－1，x3＝1＋eq \r(3)，x4＝1－eq \r(3).
21.3实际问题与一元二次方程
一．选择题
1．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（ ）
A．y＝5（1+2x）B．y＝5x2C．y＝5（1+x）2D．y＝5（1+x2）
3．某品牌服装原价每件200元，由于畅销连续两次涨价，现售价每件242元，设平均每次涨价的百分数为x，根据题意，列出方程（ ）
A．200（1+x）2＝242B．200（1+2x）＝242
C．200（1﹣x）2＝242D．242（1﹣x）2＝200
4．为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上百日提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．67500（1+2x）＝90000
B．67500×2（1+x）＝90000
C．67500+67500（1+x）+67500（1+x）2＝90000
D．67500（1+x）2＝90000
5．如表是一张月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个数（如1，2，8，9），如果圈出的四个数中的最小数与最大数的积为308，那么这四个数的和为（ ）
A．68B．72C．74D．76
6．一个研究小组有若干人，互送研究成果，若全组共送研究成果72个，这个小组共有（ ）人．
A．8B．9C．10D．72
7．由于国家出台对房屋的价格进行管理条例，我省某地的房屋价格原价为9400元/米2，通过连续两次降价a%后，售价变为9000元/米2，下列方程中正确的是（ ）
A．9400（1﹣a%2）9000B．9000（1﹣a%2）＝9400
C．9400（1+a%）2＝9000D．9400（1﹣a%）2＝9000
8．某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二，三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数为x，则由题意可得方程为（ ）
A．80（1+x）2＝340
B．80+80（1+x）2＝340
C．80（1+x）+80（1+x）2＝340
D．80+80（1+x）+80（1+x）2＝340
9．如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（ ）
A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x﹣x2＝4704
C．5000﹣150x+＝4704D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704
10．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）
A．6B．﹣C．﹣2D．5﹣5
二．填空题
11．国庆期间，有n个同学互发祝福短信，每位同学都给其他同学发出一条短信，共发出72条短信，则可列出一元二次方程为 ．
12．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．设这种药品的成本的年平均下降率为x，则所列方程是： ．
13．如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，列出x满足的方程是 ．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝14cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动到点B停止，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动到点C停止．若点P，Q分别从点A，B同时出发，那么经过 秒后，S△PBQ＝16cm2．
15．某超市一月份的营业额为200万元，已知二月和三月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为 ．
三．解答题
16．随着网购平台的不断发展，某服装实体专卖店的销售额逐年下降，2017年“双十一”后的年末销售额为100万元，到2019年“双十一”后的年末销售额为36万元，求该服装实体专卖店2017年到2019年销售额的平均下降率．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，同时动点Q从点B出发，沿BC方向运动，点P，点Q的运动速度均为1cm/s．当运动时间为多少秒时，两点相距15cm？
18．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为24元/件．”
成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”
成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”
根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？
19．如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求BC的长．
20．如图，一块长和宽分别为100厘米和50厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为3600平方厘米，设截去正方形的边长为x厘米，求x的值．
参考答案
一．选择题
1．解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
∴参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
2．解：依题意，得y＝5（1+x）2．
故选：C．
3．解：依题意，得200（1+x）2＝242，
故选：A．
4．解：依题意，得67500（1+x）2＝90000，
故选：D．
5．解：设最小的数为x，则最大的数为x+8，
由题意得：x（x+8）＝308，
解得：x1＝14，x2＝﹣22（不合题意，舍去），
14+8＝22，
则四个数为：14，15，21，22，
14+15+21+22＝72，
故选：B．
6．解：设该研究小组共有x人，则每人需送（x﹣1）个研究成果，
依题意，得：x（x﹣1）＝72，
整理，得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故选：B．
7．解：设连续两次降价a%，
9400（1﹣a%）2＝9000．
故选：D．
8．解：设月平均增长率的百分数为x，
80+80（1+x）+80（1+x）2＝340．
故选：D．
9．解：依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，
故选：D．
10．解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为：
50+×4＝50+25＝75，
∴该方程的正数解为﹣×2＝5﹣5．
故选：D．
二．填空题
11．解：设该班级共有同学n名，
根据题意，得：n（n﹣1）＝72，
故答案为：n（n﹣1）＝72．
12．解：设这种药品成本的年平均下降率为x，则今年生成1吨这种药品的成本为100（1﹣x）2万元，
根据题意得，100（1﹣x）2＝81．
故答案为：100（1﹣x）2＝81．
13．解：设金色纸边的宽为xcm，列出x满足的方程是：
（50+2x）（80+2x）＝5000．
故答案为：（50+2x）（80+2x）＝5000．
14．解：14÷2＝7（秒）．
设运动时间为x秒．
当0≤x≤7时，PB＝（10﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意，得：PB•BQ＝16，
即（10﹣x）×2x＝16，
整理，得：x2﹣10x+16＝0，
解得：x1＝2，x2＝8（不合题意，舍去）；
当7＜x≤10时，BQ＝14cm，PB＝（10﹣x）cm，
依题意，得：PB•BQ＝16，
即（10﹣x）×14＝16，
解得：x＝．
故答案为：2或．
15．解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200（1+x）+200（1+x）2＝1000，
故答案为：200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000．
三．解答题
16．解：设该服装实体专卖店2017年到2019年销售额的平均下降率为x，
依题意，得：100（1﹣x）2＝36，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6（不合题意，舍去）．
答：该服装实体专卖店2017年到2019年销售额的平均下降率为40%．
17．解：设运动x秒时，它们相距15cm，依题意有，
x2+（21﹣x）2＝152，
解得x1＝9，x2＝12．
故运动9秒或12秒时，它们相距15cm．
18．解：设每件涨价x元，则每件的利润为（40﹣24+x）元，每日可售出（480﹣20x）件，
依题意，得：（40﹣24+x）（480﹣20x）＝7680，
整理，得：x2﹣8x＝0，
解得：x1＝0，x2＝8，
∴40+x＝40或48；
设每件降价y元，则每件的利润为（40﹣24﹣y）元，每日可售出（480+40y）件，
依题意，得：（40﹣24﹣y）（480+40y）＝7680，
整理，得：y2﹣4y＝0，
解得：y1＝0，y2＝4，
∴40﹣y＝40或36．
答：当定价为36元，40元或48元时，该商品每天获利7680元．
19．解：设BC＝x米（0＜x≤20），则AB＝米，
依题意，得：x•＝450，
整理，得：x2﹣100x+900＝0，
解得：x1＝10，x2＝90（不合题意，舍去）．
答：BC的长为10米．
20．解：设截去小正方形的边长x厘米，则
（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
解得x1＝5，x2＝70（不合题意舍去）．
故截去小正方形的边长为5厘米．即x的值是5．
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