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初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试优秀练习题
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试优秀练习题，共24页。试卷主要包含了1 一元二次方程， 下列方程是一元二次方程的是， 一元二次方程的一般形式是， 关于x的一元二次方程， 若， 下列方程中，不含一次项的是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
21.1 一元二次方程
一、单项选择题
1. 一元二次方程x2－2（3x－2）+（x+1）=0的一般形式是（ ）
A．x2－5x+5=0B．x2+5x－5=0 C．x2+5x+5=0D．x2+5=0
2. 下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A. B. C. D.
3. 一元二次方程的一般形式是 （ ）
A. ax2＋bx＋c＝0B. ax2＋bx＋c(a≠0)
C. ax2＋bx＋c＝0(a≠0)D. ax2＋bx＋c＝0(b≠0)
4. 若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A. p＝1B. p＞0C. p≠0D. p为任意实数
5. 关于x的一元二次方程（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）＝5a的一次项系数为 （ ）
A. 8aB. －8aC. 2aD. 7a－9
6. 若（m2－4）x2＋3x－5＝0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A. m≠2B. m≠－2 C. m≠－2，或m≠2 D. m≠－2，且m≠2
7. 下列方程中，不含一次项的是（ ）
A． 3x2=4x B．（2x－1）（1+2x）=0
C．2x2=7－6x D．x（1－x）=0
8. 下列说法正确的是（ ）
A．方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程
B．方程3x2=4的常数项是4
C．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解
二、填空题
9. 把方程x(x＋1)＝2化为一般形式为 ，二次项系数是 .
10. 已知0是关于x的方程（m＋3）x2－x＋9－m2＝0的根，则m＝ .
11. 若关于x的方程kx2＋3x＋1＝0是一元二次方程，则k .
12. 若一元二次方程2x2+（k+8）x－（2k－3）=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k=
13. 若方程（m－1）x|m|+1－2x=3是关于x的一元二次方程，则m=
14. 方程3x2－x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为
15. 若x=1是方程x2+nx+m=0的根，则m+n的值是
16. 关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一个根是0，则a的值是
17. 若ax2－5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集为
18. 当m 时，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是关于x的一元一次方程；当m 时，上述方程才是关于x的一元二次方程.
19. 根据题意，列出方程：
（1）一个两位数，两个数字的和为6，这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的个位数为x，可列出关于x的方程为
（2）有一个面积为20cm2的三角形，它的一条边比这条边上的高长3cm，设这条边的长度为x，可列出关于x的方程为
三、解答题
20. 已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求的值.
21. 如果x2＋3x＋2与a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c是同一个二次三项式的两种不同形式，你能求出a，b，c的值吗？
22. 如图所示，有一个面积为120m2的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为32m，求鸡场的长和宽各为多少米. （只列方程）
23. 已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：
（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？
（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？
24. 学了一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
（1）它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
（2）它的二次项系数为5
（3）常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
答案;
一、
1---8 AACCC DBC
二、
9. x2＋x－2＝0
10. ±3
11. ≠0
12. 8
13. －1
14. －9
15. －1
16. －1
17. a＞－2且a≠0
18. ＝1 ≠1
19. （1）x（6－x）=［10（6－x）+x］
（2）x（x－3）=20
三、
20. 解：把x＝1代入一元二次方程ax2＋bx－40＝0，得a＋b－40＝0，
∴
21. 解：能，根据题意得x2＋3x＋2＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，即x2＋3x＋2＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋c)，解得
22. 解：设平行于墙的边长为x m，则垂直于墙的边长为m，由题意得x·＝120，即x2－32x＋240＝0.
23. （1）当m≠n时，方程是一元二次方程
（2）当m=n且m≠0时，方程是一元一次方程
解析：一元二次方程中ax2中的a不可能为0，即m－n≠0；而一元一次方程中ax中的a不可能为0，即m≠0。对于一元二次方程ax2+bx+c=0一定要注意“a≠0”，当二次项系数为0，而一次项系数不为0时为一元一次方程。
24. 这个方程是5x2－2x－=0（答案不唯一）
解析：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定a、c，而b的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键。
21.2解一元二次方程
一．选择题
1．把方程x2﹣6x﹣5＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）
A．（x﹣6）2＝41B．（x﹣3）2＝4C．（x﹣3）2＝14D．（x﹣3）2＝9
2．解方程x2﹣3x＝0较为合适的方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法
C．公式法D．分解因式法
3．方程x2＝x的实数根是（ ）
A．1或0B．﹣1或0C．1或﹣1D．1
4．用配方法将二次三项式a2﹣4a+3变形，结果是（ ）
A．（a﹣2）2﹣1B．（a+2）2﹣1C．（a+2）2﹣3D．（a﹣2）2﹣6
5．若关于x的方程x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＝B．m＝﹣C．m＝±D．无法确定
6．一元二次方程x2+11x﹣1＝0（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＞0）有两个不相等的实数根，则（ ）
A．m＜1B．0＜m＜1C．m＞1D．m＝1
8．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么k应满足的条件是（ ）
A．k＞﹣4B．k≥﹣4且k≠0C．k＞﹣4且k≠0D．k≤1
9．已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两不相等的实数根，且，则m的值是（ ）
A．B．﹣3C．D．
10．一个三角形两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．9B．11C．13D．9或13
二．填空题
11．将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为 ．
12．已知实数m，n是方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根，则＝ ．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若x1+x2＝3，则k的值为 ．
14．已知有序整数对（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则满足条件的有序整数对有 个．
15．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是 ．
三．解答题
16．解下列方程
（1）x2﹣2x﹣5＝0（配方法）；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）；
（3）（t﹣2）（3t﹣5）＝1（公式法）．
17．已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3＝0．
（1）若a＝1，请你解这个方程；
（2）若方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）当m为何值时，方程的两个根互为相反数？
19．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p＝0有两个不相等的实数根分别为a和b、且a2﹣ab+b2＝18．
（1）求p的值；
（2）求的值．
20．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根．
（1）试说明：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：移项，得x2﹣6x＝5，
两边都加9，得x2﹣6x+9＝14，
所以（x﹣3）2＝14．
故选：C．
2．解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
∴解方程x2﹣3x＝0较为合适的方法是分解因式法，
故选：D．
3．解：∵x2＝x，
∴x2﹣x＝0，
则x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
故选：A．
4．解：a2﹣4a+3
＝a2﹣4a+4﹣1
＝（a﹣2）2﹣1，
故选：A．
5．解：∵方程有两个相等的实数根，a＝1，b＝﹣，c＝m，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝．
故选：A．
6．解：∵a＝1，b＝11，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝112﹣4×1×（﹣1）＝125＞0，
∴一元二次方程x2+11x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4m＞0，
即m＜1；
∵m＞0，
∴0＜m＜1，
故选：B．
8．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根
∴k≠0且△＝（﹣4）2﹣4•k•（﹣1）＝16+4k≥0，
解得：k≥﹣4且k≠0，
故选：B．
9．解：根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得m＞﹣，
根据根与系数的关系的x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，
∵，
∴（x1+x2）2﹣x1x2﹣17＝0，
∴（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，
整理得3m2+4m﹣15＝0，解得m1＝，m2＝﹣3，
∵m＞﹣，
∴m的值为．
故选：C．
10．解：∵x2﹣8x+12＝0，
∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．
故选：C．
二．填空题
11．解：3x2＝5（x+2），
3x2＝5x+10，
3x2﹣5x﹣10＝0，
故答案为：3x2﹣5x﹣10＝0．
12．解：根据题意得m+n＝7，mn＝2，
所以＝＝．
故答案为．
13．解：（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＞；
（2）根据题意得x1+x2＝2k+1，
则2k+1＝3，解得k＝1．
故答案为1．
14．解：∵有序整数对（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，
∴m＝0，±1，n＝0，±1，±2，±3
∴有序整数（m，n）共有：3×7＝21（种），
∵方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则需：△＝n2﹣4m＝0，有（0，0），（1，2），（1，﹣2）三种可能，
∴满足条件的有序整数对有3个．
故答案为：3．
15．解：当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，
解得：k＝27，
此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣9）＝0，
解得：x1＝3，x2＝9，
∵3+3＝6＜9，
∴3不能为等腰三角形的腰；
当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，
解得：k＝36，
此时x1＝x2＝﹣＝6，
∵3、6、6可以围成等腰三角形，
∴k＝36．
故答案为：36．
三．解答题
16．解：（1）x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
配方得：x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2），
3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0，
x﹣2＝0，3（x﹣2）﹣x＝0，
x1＝2，x2＝3；
（3）（t﹣2）（3t﹣5）＝1，
整理得：3t2﹣11t+9＝0，
b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×9＝13，
t＝＝，
解得：t1＝，t2＝．
17．解：（1）a＝1，方程化为x2﹣5x+6＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2；
（2）设方程的另一个根为t，
则﹣2+t＝5，解得t＝7，
即方程的另一个根为7．
18．解：（Ⅰ）根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4m2＞0，
解得m＜；
（Ⅱ）设方程的两个根分别为x1、x2，
∵方程的两个根互为相反数，
∴x1+x2＝﹣（2m﹣1）＝0，
解得m＝，
而m＜，
∴没有m的值使方程的两个根互为相反数．
19．解：（1）∵a，b为方程x2﹣3x+p＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝3，ab＝p．
∵a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝32﹣3p＝18，
∴p＝﹣3，
当p＝﹣3时，△＝（﹣3）2﹣4p＝9+12＝21＞0，
∴p的值为﹣3；
（2）∵p＝﹣3，
∴ab＝﹣3，
∴＝＝＝＝﹣5．
20．解：（1）∵△＝（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）
＝1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）△ABC为直角三角形．
理由如下：
当k＝2时，方程化为x2﹣7x+12＝0，解得x1＝3，x2＝4，
即AB、AC的长为3、4，
∵32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形．
21.3实际问题与一元二次方程
一．选择题（共12小题）
1．疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，若第3周接到订单为7.8万件，设第1周到第2周的订单增长率为x，可列得方程为（ ）
A．5（1+x+1.5x）=7.8B．5（1+x×1.5x）=7.8
C．7.8（1-x）（1-1.5x）=5D．5（1+x）（1+1.5x）=7.8
2．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．（1+n）2=931B．n（n-1）=931C．1+n+n2=931D．n+n2=931
3．修建一个面积为100平方米的矩形花园，它的长比宽多10米，设宽为x米，可列方程为（ ）
A．x（x-10）=100B．2x+2（x-10）=100
C．2x+2（x+10）=100D．x（x+10）=100
4．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
5．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，商家决定降价销售，在连续两次降价x%后，售价降为810元，则x为（ ）
A．5B．10C．19D．81
6．一个跳水运动员从10m高台上跳水，他每一时刻所在高度（单位：m）与所用时间（单位：s）的关系是：h=-5（t-2）（t+1），则运动员起跳到入水所用的时间是（ ）
A．-5sB．2sC．-1sD．1s
7．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（ ）
A．10B．12C．13D．14
8．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（ ）cm．
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
9．与去年同期相比我国石油进口量增长了a%，而单价增长了0.5a%，总费用增长了15.5%，则a=（ ）
A．5B．10C．15D．20
10．若一个多边形的对角线共有14条，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．10D．14
11．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价（ ）
A．15元或20元B．10元或15元C．10元D．5元或10元
12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为0.5cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为3.75cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．2sB．3sC．4sD．5s
二．填空题（共5小题）
13．超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： ．
14．已知矩形的周长为10，面积为6，则它的对角线长为 ．
15．疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 ．
16．在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工 人．
17．一张长方形的会议桌，长3米，宽2米，有一块台布的面积是桌面面积的1.5倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，则台布各边垂下的长度是 米．（结果保留根号）
三．解答题（共5小题）
18．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
19．2020年疫情期间，长沙市教育局出台《长沙市中小学线上教学工作实施意见》，长沙市推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播教学，据统计，第一批公益课受益学生4万人次，第三批公益课受益学生4.84万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
20．阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件．
（1）已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元；
（2）小红发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件300元，买五送一，在（1）的条件下，小红想要用最优惠的价格购买38件该农产品，应选择在线上购买还是线下超市购买？
21．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；
（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
22．当今世界，心理健康已经成为成长的一个重要组成部分，受到越来越多家长的关注和重视，与之相关的产品也成为热销．5月某儿童用品超市购进A，B两款儿童减压玩具共450套进行销售，其中A款每套售价20元，B款每套售价30元．5月全部售完这批玩具，所得总销售额不低于11500元．
（1）B款玩具至少购进多少套？
（2）为了庆祝六一儿童节，6月超市进行促销优惠活动，A款玩具比5月的价格优惠a%，B款玩具比5月的价格优惠a%．活动期间，超市该种玩具销量明显增加，结果6月售出的A款玩具数量比5月总销售额最低时售出的A款数量增加了a%，售出的B款玩具数量比5月总销售额最低时售出的B款数量增加了a%，总销售额比5月最低销售额增加了a%，求a的值
参考答案
1-5：DCDAB 6-10:BBCBB 11-12:DB
（12-x）（100+20x）=1400
30%
50
18、应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．
19、：（1）：这个增长率为10%．
（2）：第四批公益课受益学生将达到5.324万人次．
20、（1）售价应定为250元；
（2）选择在线上购买更优惠．
21、：（1）纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．
（2）若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．
22、（1）B款玩具至少购进250套；
（2）a的值为40．
21.1 一元二次方程
一、单项选择题
1. 一元二次方程x2－2（3x－2）+（x+1）=0的一般形式是（ ）
A．x2－5x+5=0B．x2+5x－5=0 C．x2+5x+5=0D．x2+5=0
2. 下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A. B. C. D.
3. 一元二次方程的一般形式是 （ ）
A. ax2＋bx＋c＝0B. ax2＋bx＋c(a≠0)
C. ax2＋bx＋c＝0(a≠0)D. ax2＋bx＋c＝0(b≠0)
4. 若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A. p＝1B. p＞0C. p≠0D. p为任意实数
5. 关于x的一元二次方程（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）＝5a的一次项系数为 （ ）
A. 8aB. －8aC. 2aD. 7a－9
6. 若（m2－4）x2＋3x－5＝0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A. m≠2B. m≠－2 C. m≠－2，或m≠2 D. m≠－2，且m≠2
7. 下列方程中，不含一次项的是（ ）
A． 3x2=4x B．（2x－1）（1+2x）=0
C．2x2=7－6x D．x（1－x）=0
8. 下列说法正确的是（ ）
A．方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程
B．方程3x2=4的常数项是4
C．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解
二、填空题
9. 把方程x(x＋1)＝2化为一般形式为 ，二次项系数是 .
10. 已知0是关于x的方程（m＋3）x2－x＋9－m2＝0的根，则m＝ .
11. 若关于x的方程kx2＋3x＋1＝0是一元二次方程，则k .
12. 若一元二次方程2x2+（k+8）x－（2k－3）=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k=
13. 若方程（m－1）x|m|+1－2x=3是关于x的一元二次方程，则m=
14. 方程3x2－x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为
15. 若x=1是方程x2+nx+m=0的根，则m+n的值是
16. 关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一个根是0，则a的值是
17. 若ax2－5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集为
18. 当m 时，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是关于x的一元一次方程；当m 时，上述方程才是关于x的一元二次方程.
19. 根据题意，列出方程：
（1）一个两位数，两个数字的和为6，这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的个位数为x，可列出关于x的方程为
（2）有一个面积为20cm2的三角形，它的一条边比这条边上的高长3cm，设这条边的长度为x，可列出关于x的方程为
三、解答题
20. 已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求的值.
21. 如果x2＋3x＋2与a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c是同一个二次三项式的两种不同形式，你能求出a，b，c的值吗？
22. 如图所示，有一个面积为120m2的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为32m，求鸡场的长和宽各为多少米. （只列方程）
23. 已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：
（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？
（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？
24. 学了一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
（1）它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
（2）它的二次项系数为5
（3）常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
答案;
一、
1---8 AACCC DBC
二、
9. x2＋x－2＝0
10. ±3
11. ≠0
12. 8
13. －1
14. －9
15. －1
16. －1
17. a＞－2且a≠0
18. ＝1 ≠1
19. （1）x（6－x）=［10（6－x）+x］
（2）x（x－3）=20
三、
20. 解：把x＝1代入一元二次方程ax2＋bx－40＝0，得a＋b－40＝0，
∴
21. 解：能，根据题意得x2＋3x＋2＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，即x2＋3x＋2＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋c)，解得
22. 解：设平行于墙的边长为x m，则垂直于墙的边长为m，由题意得x·＝120，即x2－32x＋240＝0.
23. （1）当m≠n时，方程是一元二次方程
（2）当m=n且m≠0时，方程是一元一次方程
解析：一元二次方程中ax2中的a不可能为0，即m－n≠0；而一元一次方程中ax中的a不可能为0，即m≠0。对于一元二次方程ax2+bx+c=0一定要注意“a≠0”，当二次项系数为0，而一次项系数不为0时为一元一次方程。
24. 这个方程是5x2－2x－=0（答案不唯一）
解析：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定a、c，而b的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键。
21.2解一元二次方程
一．选择题
1．把方程x2﹣6x﹣5＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）
A．（x﹣6）2＝41B．（x﹣3）2＝4C．（x﹣3）2＝14D．（x﹣3）2＝9
2．解方程x2﹣3x＝0较为合适的方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法
C．公式法D．分解因式法
3．方程x2＝x的实数根是（ ）
A．1或0B．﹣1或0C．1或﹣1D．1
4．用配方法将二次三项式a2﹣4a+3变形，结果是（ ）
A．（a﹣2）2﹣1B．（a+2）2﹣1C．（a+2）2﹣3D．（a﹣2）2﹣6
5．若关于x的方程x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＝B．m＝﹣C．m＝±D．无法确定
6．一元二次方程x2+11x﹣1＝0（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＞0）有两个不相等的实数根，则（ ）
A．m＜1B．0＜m＜1C．m＞1D．m＝1
8．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么k应满足的条件是（ ）
A．k＞﹣4B．k≥﹣4且k≠0C．k＞﹣4且k≠0D．k≤1
9．已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两不相等的实数根，且，则m的值是（ ）
A．B．﹣3C．D．
10．一个三角形两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．9B．11C．13D．9或13
二．填空题
11．将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为 ．
12．已知实数m，n是方程x2﹣7x+2＝0的两不等实根，则＝ ．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若x1+x2＝3，则k的值为 ．
14．已知有序整数对（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则满足条件的有序整数对有 个．
15．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是 ．
三．解答题
16．解下列方程
（1）x2﹣2x﹣5＝0（配方法）；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）；
（3）（t﹣2）（3t﹣5）＝1（公式法）．
17．已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3＝0．
（1）若a＝1，请你解这个方程；
（2）若方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）当m为何值时，方程的两个根互为相反数？
19．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p＝0有两个不相等的实数根分别为a和b、且a2﹣ab+b2＝18．
（1）求p的值；
（2）求的值．
20．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根．
（1）试说明：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：移项，得x2﹣6x＝5，
两边都加9，得x2﹣6x+9＝14，
所以（x﹣3）2＝14．
故选：C．
2．解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
∴解方程x2﹣3x＝0较为合适的方法是分解因式法，
故选：D．
3．解：∵x2＝x，
∴x2﹣x＝0，
则x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
故选：A．
4．解：a2﹣4a+3
＝a2﹣4a+4﹣1
＝（a﹣2）2﹣1，
故选：A．
5．解：∵方程有两个相等的实数根，a＝1，b＝﹣，c＝m，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝．
故选：A．
6．解：∵a＝1，b＝11，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝112﹣4×1×（﹣1）＝125＞0，
∴一元二次方程x2+11x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4m＞0，
即m＜1；
∵m＞0，
∴0＜m＜1，
故选：B．
8．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根
∴k≠0且△＝（﹣4）2﹣4•k•（﹣1）＝16+4k≥0，
解得：k≥﹣4且k≠0，
故选：B．
9．解：根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得m＞﹣，
根据根与系数的关系的x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，
∵，
∴（x1+x2）2﹣x1x2﹣17＝0，
∴（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，
整理得3m2+4m﹣15＝0，解得m1＝，m2＝﹣3，
∵m＞﹣，
∴m的值为．
故选：C．
10．解：∵x2﹣8x+12＝0，
∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．
故选：C．
二．填空题
11．解：3x2＝5（x+2），
3x2＝5x+10，
3x2﹣5x﹣10＝0，
故答案为：3x2﹣5x﹣10＝0．
12．解：根据题意得m+n＝7，mn＝2，
所以＝＝．
故答案为．
13．解：（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＞；
（2）根据题意得x1+x2＝2k+1，
则2k+1＝3，解得k＝1．
故答案为1．
14．解：∵有序整数对（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，
∴m＝0，±1，n＝0，±1，±2，±3
∴有序整数（m，n）共有：3×7＝21（种），
∵方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则需：△＝n2﹣4m＝0，有（0，0），（1，2），（1，﹣2）三种可能，
∴满足条件的有序整数对有3个．
故答案为：3．
15．解：当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，
解得：k＝27，
此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣9）＝0，
解得：x1＝3，x2＝9，
∵3+3＝6＜9，
∴3不能为等腰三角形的腰；
当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，
解得：k＝36，
此时x1＝x2＝﹣＝6，
∵3、6、6可以围成等腰三角形，
∴k＝36．
故答案为：36．
三．解答题
16．解：（1）x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
配方得：x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2），
3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0，
x﹣2＝0，3（x﹣2）﹣x＝0，
x1＝2，x2＝3；
（3）（t﹣2）（3t﹣5）＝1，
整理得：3t2﹣11t+9＝0，
b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×9＝13，
t＝＝，
解得：t1＝，t2＝．
17．解：（1）a＝1，方程化为x2﹣5x+6＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2；
（2）设方程的另一个根为t，
则﹣2+t＝5，解得t＝7，
即方程的另一个根为7．
18．解：（Ⅰ）根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4m2＞0，
解得m＜；
（Ⅱ）设方程的两个根分别为x1、x2，
∵方程的两个根互为相反数，
∴x1+x2＝﹣（2m﹣1）＝0，
解得m＝，
而m＜，
∴没有m的值使方程的两个根互为相反数．
19．解：（1）∵a，b为方程x2﹣3x+p＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝3，ab＝p．
∵a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝32﹣3p＝18，
∴p＝﹣3，
当p＝﹣3时，△＝（﹣3）2﹣4p＝9+12＝21＞0，
∴p的值为﹣3；
（2）∵p＝﹣3，
∴ab＝﹣3，
∴＝＝＝＝﹣5．
20．解：（1）∵△＝（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）
＝1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）△ABC为直角三角形．
理由如下：
当k＝2时，方程化为x2﹣7x+12＝0，解得x1＝3，x2＝4，
即AB、AC的长为3、4，
∵32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形．
21.3实际问题与一元二次方程
一．选择题（共12小题）
1．疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，若第3周接到订单为7.8万件，设第1周到第2周的订单增长率为x，可列得方程为（ ）
A．5（1+x+1.5x）=7.8B．5（1+x×1.5x）=7.8
C．7.8（1-x）（1-1.5x）=5D．5（1+x）（1+1.5x）=7.8
2．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．（1+n）2=931B．n（n-1）=931C．1+n+n2=931D．n+n2=931
3．修建一个面积为100平方米的矩形花园，它的长比宽多10米，设宽为x米，可列方程为（ ）
A．x（x-10）=100B．2x+2（x-10）=100
C．2x+2（x+10）=100D．x（x+10）=100
4．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
5．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，商家决定降价销售，在连续两次降价x%后，售价降为810元，则x为（ ）
A．5B．10C．19D．81
6．一个跳水运动员从10m高台上跳水，他每一时刻所在高度（单位：m）与所用时间（单位：s）的关系是：h=-5（t-2）（t+1），则运动员起跳到入水所用的时间是（ ）
A．-5sB．2sC．-1sD．1s
7．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（ ）
A．10B．12C．13D．14
8．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（ ）cm．
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
9．与去年同期相比我国石油进口量增长了a%，而单价增长了0.5a%，总费用增长了15.5%，则a=（ ）
A．5B．10C．15D．20
10．若一个多边形的对角线共有14条，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．10D．14
11．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价（ ）
A．15元或20元B．10元或15元C．10元D．5元或10元
12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为0.5cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为3.75cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．2sB．3sC．4sD．5s
二．填空题（共5小题）
13．超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： ．
14．已知矩形的周长为10，面积为6，则它的对角线长为 ．
15．疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 ．
16．在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工 人．
17．一张长方形的会议桌，长3米，宽2米，有一块台布的面积是桌面面积的1.5倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，则台布各边垂下的长度是 米．（结果保留根号）
三．解答题（共5小题）
18．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
19．2020年疫情期间，长沙市教育局出台《长沙市中小学线上教学工作实施意见》，长沙市推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播教学，据统计，第一批公益课受益学生4万人次，第三批公益课受益学生4.84万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
20．阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件．
（1）已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元；
（2）小红发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件300元，买五送一，在（1）的条件下，小红想要用最优惠的价格购买38件该农产品，应选择在线上购买还是线下超市购买？
21．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；
（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
22．当今世界，心理健康已经成为成长的一个重要组成部分，受到越来越多家长的关注和重视，与之相关的产品也成为热销．5月某儿童用品超市购进A，B两款儿童减压玩具共450套进行销售，其中A款每套售价20元，B款每套售价30元．5月全部售完这批玩具，所得总销售额不低于11500元．
（1）B款玩具至少购进多少套？
（2）为了庆祝六一儿童节，6月超市进行促销优惠活动，A款玩具比5月的价格优惠a%，B款玩具比5月的价格优惠a%．活动期间，超市该种玩具销量明显增加，结果6月售出的A款玩具数量比5月总销售额最低时售出的A款数量增加了a%，售出的B款玩具数量比5月总销售额最低时售出的B款数量增加了a%，总销售额比5月最低销售额增加了a%，求a的值
参考答案
1-5：DCDAB 6-10:BBCBB 11-12:DB
（12-x）（100+20x）=1400
30%
50
18、应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．
19、：（1）：这个增长率为10%．
（2）：第四批公益课受益学生将达到5.324万人次．
20、（1）售价应定为250元；
（2）选择在线上购买更优惠．
21、：（1）纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．
（2）若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．
22、（1）B款玩具至少购进250套；
（2）a的值为40．
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