数学八年级上册第一章 勾股定理综合与测试同步测试题

这是一份数学八年级上册第一章 勾股定理综合与测试同步测试题，共18页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分120分；时间：120分钟）


一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）


1. 以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）


A.7、24、25B.36、12、13C.4、6、8D.3、5、3





2. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )


A.25B.14C.7D.7或25





3. 如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了( )米．





A.1B.0.5C.0.6D.0.8





4. 用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（ ）


A.c2=a2+b2B.c2=a2+2ab+b2


C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)2．





5. 如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，则以AC为边的正方形的面积S2等于（ ）





A.6B.26C.4D.24





6. 下列各组数据不是勾股数的是( )


A.2，3，4B.3，4，5C.5，12，13D.6，8，10





7. 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为( )





A.12cmB.14cmC.20cmD.24cm





8. 如图，在一块平地上，停在一辆大客车前9m处有一棵大树．在一次强风中，这棵树从离地面6m处正对大客车方向折断倒下，若倒下部分的长是10m，则大树倒下时会碰到客车吗？（ ）





A.不会B.可能会C.一定会D.无法确定





9. 有长度分别为5，7，9，12，13，15，16，20，24，25的木棒，用它来摆成直角三角形，可以重复使用，问可摆成不同的直角三角形的个数为（ ）


A.2个B.3个C.4个D.5个


10. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ）


A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④


二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ， ）


11. 在△ABC中，若a2=b2-c2，则△ABC是________三角形，________是直角；若a2




12. 一个圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10cm，底面圆的直径是5cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠绕一圈彩带回到A点，则彩带最少用________厘米．（接口处重合部分忽略不计）





13. 如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是________．





14. 如图，一个上方无盖的长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由盒外A处出发，沿着盒子面爬行到盒内的点B处，已知，AB=9，BC=9，BF=6，这只蚂蚁爬行的最短距离是________．


15. 如图，起重机吊运物体，∠ABC=90∘．若BC=5m，AC=13m，则AB=________m．





16. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．





17. 如图．是用4个全等的直角三角形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是49，小正方形的面积为1，若用a、b表示直角三角形的两条直角边(a>b)，则(a+b)2＝________．





18. 如图，长方体的长、宽、高分别是3cm、1cm、6cm，如果一只小虫从点A开始爬行，经过2个侧面爬行到另一个侧棱的中点B处，则所爬行的最短的长度为________．


三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，共计66分 ， ）


19. 如图，一只蚂蚁沿边长是3的正方体表面从顶点A爬到顶点B，求它走过的最短路程，并画出示意图．











20. 如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9.





1求CD，AB的长；


2求证：△ABC是直角三角形．

















21. 已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90∘，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2，求证：AB=BC．

















22. 如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理．




















23. 如图，有一个底面半径为6cm，高为24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？(π取整数3)











24. 消防队员进行消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12m，如图，即AD=BC=12m，此时建筑物中距地面12.8m高的P处有一被困人员需要救援，已知消防云梯车的车身高AB是3.8m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？





25. 如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC=160m，BC=120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．


甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；


乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．


（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；


（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．





参考答案


一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）


1.


【答案】


A


【解答】


解：A、72+242=252，能构成直角三角形；


B、122+132≠362，不能构成直角三角形；


C、42+62≠82，不能构成直角三角形；


D、32+32≠52，不能构成直角三角形；


故选A．


2.


【答案】


D


【解答】


解：分两种情况：


①3，4都为直角边，由勾股定理得，第三边长是42+32=5，


∴ 第三边长的平方为25.


②3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，第三边长是42-32=7，


∴ 第三边长的平方是7.


故选D．


3.


【答案】


B


【解答】


解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，


故AC=AB2-BC2=2.52-1.52=2米，


在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=(1.5+0.5)米，


故EC=DE2-CD2=2.52-22=1.5米，


故AE=AC-CE=2-1.5=0.5米．


故选B.


4.


【答案】


A


【解答】


解：由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为c，


里边的小四边形也为正方形，边长为b-a，


则有c2=12ab×4+(b-a)2，


整理得：c2=a2+b2．


故选A．


5.


【答案】


C


【解答】


∵ △ABC是直角三角形，


∴ AC2+BC2＝AB2，即S1+S2＝S3，


∴ S2＝S3-S1＝5-1＝4．


6.


【答案】


A


【解答】


解：A，22+32≠42 ，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意；


B，32+42=52，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；


C，52+122=132，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；


D，62+82=102，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意.


故选A.


7.


【答案】


D


【解答】


解：将圆柱侧面展开，如图，过ED作A的对称点A'，连接A'B，则A'B即为最短距离，





则AD=A'D=4cm.


由题意得EF=16cm，BF=CG=4cm，A'B=20cm


∴ A'C=16-4+4=16(cm)，


∴ BC=A'B2-A'C2=202-162=12(cm)，


∴ 底面周长=2BC=24(cm).


故选D.


8.


【答案】


A


【解答】


如图所示，AB＝10米，AC＝6米，根据勾股定理得，BC=AB2-AC2=102-62=8米<9米．


9.


【答案】


D


【解答】


解：∵ 52+122=132，72+242=252，92+122=152，122+162=202，152+202=252，


∴ 可摆成不同的直角三角形5个．


故选D．


10.


【答案】


B


【解答】


解：①大正方形的面积是49，则其边长是7，显然，利用勾股定理可得x2+y2=49，故选项①正确；


②小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即x-y=2，故选项②正确；


③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4×12xy+4=49，化简得2xy+4=49，故选项③正确；


④x2+y2=492xy+4=49，则x+y=94，故此选项不正确．


故选B．


二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）


11.


【答案】


直角,∠B,钝角


【解答】


解：∵ a2=b2-c2，


∴ a2+c2=b2，


∴ 这个三角形是直角三角形，b是最长边，


∴ b边所对的∠B为直角．


故答案为：直角；∠B；


在△ABC中，


∵ a2

∴ a2+c2

由余弦定理可得：csB=a2+c2-b22ac<0，


∴ ∠B为钝角，


故答案为：钝角．


12.


【答案】


102


【解答】


解：由两点间直线距离最短可知，圆锥侧面展开图AA'最短，


由题意可得出：OA=OA'=10cm，


AA'=nπ×10180=5π，


解得：n=90∘，


∴ ∠AOA'=90∘，


∴ AA'=OA2+OA'2=102(cm)，


故答案为：102．


13.


【答案】


a2+b2=c2


【解答】


解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 12ab，12ab和 12c2．


还有一个直角梯形，其面积为 12(a+b)(a+b)．


由图形可知：12(a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2，


整理得(a+b)2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，


∴ a2+b2=c2．


故答案为：a2+b2=c2．


14.


【答案】


15


【解答】


解：如图所示，


AB'=92+(6+6)2=15．


故答案为：15．


15.


【答案】


12


【解答】


解：由题意可得：AB=AC2-BC2=12(m)．


故答案为：12．


16.


【答案】


15


【解答】


解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，


过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A'，连结A'C交EH于P，连结AP，





则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，


∵ AE=A'E，A'P=AP，


∴ AP+PC=A'P+PC=A'C.


∵ CQ=12×18cm=9cm，A'Q=12cm-4cm+4cm=12cm，


在Rt△A'QC中，


由勾股定理得：A'C=122+92=15(cm)，


故答案为：15.


17.


【答案】


97


【解答】


利用勾股定理得a2+b2＝49；利用小正方形的边长得到a-b＝1，则(a-b)2＝1，


可得：2ab＝48，所以(a+b)2＝49+48＝97，


18.


【答案】


5cm


【解答】


解：分为三种情况：


①如图将正面与右面展开在同一平面，连接AB，





由勾股定理得：AB=(3+1)2+32=5(cm)；


②如图将下底面与后面展开在同一平面，连接AB，





由勾股定理得：AB=(3+1)2+32=5(cm)；


③如图将下底面与右面展开在同一平面，连接AB，





由勾股定理得：AB=


(3+3)2+12=37cm>5cm，


即从A处爬到B处的最短路程是5cm．


故答案为5cm．


三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）


19.


【答案】


解：如图所示：


将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，


AB=32+62=35．


【解答】


解：如图所示：


将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，


AB=32+62=35．


20.


【答案】


1解：∵ 在Rt△BCD中，BC=15，BD=9，


∴ CD=BC2-BD2=152-92=12．


在Rt△ADC中，AC=20，CD=12，


∴ AD=AC2-CD2=202-122=16．


∴ AB=AD+DB=16+9=25．


2证明：∵ AB=25，AC=20，BC=15，


∴ AB2=252=625，


AC2+BC2=202+152=625，


∴ AB2=AC2+BC2，


∴ △ABC是直角三角形．


【解答】


1解：∵ 在Rt△BCD中，BC=15，BD=9，


∴ CD=BC2-BD2=152-92=12．


在Rt△ADC中，AC=20，CD=12，


∴ AD=AC2-CD2=202-122=16．


∴ AB=AD+DB=16+9=25．


2证明：∵ AB=25，AC=20，BC=15，


∴ AB2=252=625，


AC2+BC2=202+152=625，


∴ AB2=AC2+BC2，


∴ △ABC是直角三角形．


21.


【答案】


证明：∵ ∠ABC=90∘，


∴ AB2+BC2=AC2，


∵ CD⊥AD，


∴ ∠ADC=90∘，


∴ AD2+CD2=AC2，


∵ AD2+CD2=2AB2，


∴ AC2=2AB2，


∴ AB2+BC2=2AB2，


∴ AB2=BC2，


∴ AB=BC．


【解答】


证明：∵ ∠ABC=90∘，


∴ AB2+BC2=AC2，


∵ CD⊥AD，


∴ ∠ADC=90∘，


∴ AD2+CD2=AC2，


∵ AD2+CD2=2AB2，


∴ AC2=2AB2，


∴ AB2+BC2=2AB2，


∴ AB2=BC2，


∴ AB=BC．


22.


【答案】


解：由图可得，12×(a+b)(a+b)=12ab+12c2+12ab，


整理得，a2+2ab+b22=2ab+c22，


∴ a2+2ab+b2=2ab+c2，


∴ a2+b2=c2．


【解答】


解：由图可得，12×(a+b)(a+b)=12ab+12c2+12ab，


整理得，a2+2ab+b22=2ab+c22，


∴ a2+2ab+b2=2ab+c2，


∴ a2+b2=c2．


23.


【答案】


解：将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，


根据题意可得：BC=24cm，AC是圆周的一半，


∴ AC=12×2×π×6=18cm，


∴ AB=AC2+BC2=30cm，


∴ 它需爬行的最短路程约是60cm．


【解答】


解：将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，


根据题意可得：BC=24cm，AC是圆周的一半，


∴ AC=12×2×π×6=18cm，


∴ AB=AC2+BC2=30cm，


∴ 它需爬行的最短路程约是60cm．


24.


【答案】


解：由题意可知：


AB=CD=3.8m，AD=12m，PC=12.8m，∠ADP=90∘，


∴ PD=PC-CD=9m，


在Rt△ADP中，AP=AD2+PD2=15m.


答：此消防车的云梯至少应伸长15米.


【解答】


解：由题意可知：


AB=CD=3.8m，AD=12m，PC=12.8m，∠ADP=90∘，


∴ PD=PC-CD=9m，


在Rt△ADP中，AP=AD2+PD2=15m.


答：此消防车的云梯至少应伸长15米.


25.


【答案】


解：(1)△ABC是直角三角形；理由如下：


∴ AC2+BC2=1602+1202=40000，AB2=2002=40000，


∴ AC2+BC2=AB2，


∴ △ABC是直角三角形，∠ACB=90∘；


（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：


∵ △ABC是直角三角形，


∴ △ABC的面积=12AB⋅CH=12AC⋅BC，


∴ CH=AC⋅BCAB=160×120200=96(m)，


∵ CH⊥AB，


∴ ∠AHC=90∘，


∴ AH=AC2-CH2=1602-962=128(m)，


∴ BH=AB-AH=72m，


∵ AC+BC=160m+120m=280m，CH+AH+BH=96m+200m=296m，


∴ AC+BC

∴ 甲方案所修的水渠较短．


【解答】


解：(1)△ABC是直角三角形；理由如下：


∴ AC2+BC2=1602+1202=40000，AB2=2002=40000，


∴ AC2+BC2=AB2，


∴ △ABC是直角三角形，∠ACB=90∘；


（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：


∵ △ABC是直角三角形，


∴ △ABC的面积=12AB⋅CH=12AC⋅BC，


∴ CH=AC⋅BCAB=160×120200=96(m)，


∵ CH⊥AB，


∴ ∠AHC=90∘，


∴ AH=AC2-CH2=1602-962=128(m)，


∴ BH=AB-AH=72m，


∵ AC+BC=160m+120m=280m，CH+AH+BH=96m+200m=296m，


∴ AC+BC

∴ 甲方案所修的水渠较短．