人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题39 动态几何之面动形成的等腰三角形存在性问题（含解析）

专题39 动态几何之面动形成的等腰三角形存在性问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

   动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写面动形成的等腰三角形存在性问题模拟题。

在中考压轴题中，面动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类。

1. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积

（1）S与吗？请说明理由．

（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？

（3）如图2，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形．

【答案】（1）相等，见解析（2），当时，S有最大值3

（3）AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，是等腰三角形

（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，是等腰三角形.……12分

（每种情况得1分）

此题考核平移的性质、四边形的面积和等腰三角形的判定

2.如图，在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点。探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出△AEM的面积；若不能，请说明理由。

【答案】解：能。

∵AB=AC=4，BC=，

∴AB2+AC2=BC2=32。

∴△ABC是等腰直角三角形。

∴∠C=450。

∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，

∴∠AME＞∠AEF。

∴AE≠AM。

当AE=EM时，如图1，则△ABE≌△ECM（SAS）。

∴CE=AB=4。

∴CM=BE=BC﹣EC=﹣4。

∴AM=6﹣。

过点E作EH⊥AC于点H，则EH=EC=。

∴S△AEM=。

∴S△AEM=。

综上所述，当△AEM是等腰三角形时，△AEM的面积为或2。

【考点】等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，全等、相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，分类思想的应用。

3. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．

（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；

（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？

【答案】(1)证明见解析. ．（2）当CM的长是或时，△OMN与△BCO相似．

【解析】

试题分析：（1）易证∠OCB=∠B，由条件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE，从而得到△COF是等腰三角形，过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，由等腰三角形的三线合一可求出CH，易证△CHF∽△BCA，从而可求出CF长．

试题解析：（1）∵∠ACB=90°，点O是AB的中点，

∴OC=0B=OA=5．

∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．

∵∠DOE=∠B，

∴∠FOC=∠OCF．

∴FC=FO．

∴△COF是等腰三角形．

过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，

（2）①若△OMN∽△BCO，如图2，

则有∠NMO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠NMO=∠B．

∵∠A=∠A，

∴△AOM∽△ACB．

∴．

∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，

∴AC=8．

∵AO=5，AC=8，AB=10，

∴AM=．

∴CM=AC-AM=．

②若△OMN∽△BOC，如图3，

则有∠MNO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠MNO=∠B．

∵∠ACO=∠A，

∴△CON∽△ACB．

∴．

∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，

∴ON=，CN=．

∵GN=，BC=6，AB=10，

∴MN=．

∴CM=CN-MN=-=．

∴当CM的长是或时，△OMN与△BCO相似．

【考点】1.圆的综合题；2.全等三角形的判定与性质；3.直角三角形斜边上的中线；4.勾股定理；5.相似三角形的判定与性质．