人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题23 动态几何之单动点形成的函数关系问题（含解析）
展开专题23 动态几何之单动点形成的函数关系问题
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。本专题原创编写单动点形成的函数关系问题模拟题。
在中考压轴题中，单动点形成的函数关系和图象问题命题形式主要有选择题和解答题。动点变化的载体可以是三角形、特殊四边形或圆等平面图形，也可以是直线、双曲线或抛物线等函数图象。
单动点形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
1.如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，动点M从A出发，以1cm/s的速度沿折线AB﹣BC运动，同时动点N从A出发，以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC﹣CB运动，M，N第一次相遇时同时停止运动．设△AMN的面积为y，运动时间为x，则下列图象中能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：首先根据题意，运用分类讨论的数学思想求出y关于时间x的函数关系式，问题即可解决．
点评：该命题主要考查了动点问题的函数图象及其应用问题；解题的关键是准确把握题意，运用分类讨论的数学思想正确写出函数关系式．
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点C，对称轴与x轴交于点D， 设点P（x，y）是该抛物线在x轴上方的一个动点（与点C不重合），△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
【答案】令，即，解得。
设抛物线与x轴交于点A、B，（点A在点B的左边），则A（，0）、B（，0）。
②当点P在CM之间时，即0＜x≤2，如答图2，
∵P（x，y），且点P在第一象限，∴PE=y，OE=x。
∴。
∴。
将代入上式得：。
综上所述，S关于x的函数关系式为：。
【考点】动点问题，抛物线与x的交点问题，解一元二次方程，由实际问题列函数关系式，分类思想和转换思想的应用。
3. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA．
（1）写出A、C两点的坐标；
（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；
（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）在直线解析式y=2x+2中，令y=0，得x=﹣1；x=0，得y=2，
∴A（﹣1，0），C（0，2）。
（2）当0＜m＜1时，依题意画出图形，如图1，
∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线。
∴MC=MP。
又C（0，2），M（0，m），∴P（0，2m﹣2）。
设直线l与y=2x+2交于点D，
（3）当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE，
依题意画出图形，如图2，
由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，
由勾股定理得：。
∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），
∴AQ=m，AB=a+1。
∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=。
∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB。
∴。
又∵CD•AQ=PQ•DE，∴。
∴，即，解得：。
∵1＜m＜2，∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，。
∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数，使CD•AQ=PQ•DE；若0＜a≤1，则m不存在。
【解析】
4. 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CB⊥AB，且AE = EB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止。设运动时间为t秒，y = S△EPB，则y与t的函数图象大致是【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】动点问题的函数图象，直角梯形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，分类思想的应用。
【分析】分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象：
在Rt△ADE中，，
① 点P在AD上运动时，
综上可得选项A的图象符合。故选A。
5. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P、Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连接PQ，设运动时间为t（t >0）秒．
（1）求线段AC的长度；
（2）当点Q从点B向点A运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：
①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；
②当l经过点B时，求t的值．
【答案】（1）5 （2）， （3）3、t＝2.5，
【解析】
试题分析：（1）在矩形ABCD中，
（2）过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ =3－t，
由△AHP∽△ABC，得，∴PH=，
，
.
(3) ①如图②，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，
即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，
延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，
则，
，∴PO=AO－AP=1．
由△APE∽△OPQ，得．
（ⅱ）如图④，当点Q从A向B运动时l经过点B，
考点：矩形、相似三角形
点评：本题考查矩形，相似三角形，要求考生掌握矩形的性质，相似三角形的判定方法，会判定两个三角形相似
6. 如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设CP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；
（3）若AD= a，AB=，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD内部时，求a的取值范围。
【答案】（1）∵∠QAP=∠BAD=90°，∴∠QAB=∠PAD。
又∵∠ABQ=∠ADP=90°，∴△ADP∽△ABQ。
（2）∵CP =x，CD=AB=20，∴DP =CD﹣DP=。
∵△ADP∽△ABQ，∴，即。
∴QB=。
在Rt△BMN中，由勾股定理得，
∴y与x的函数关系式为：（0＜x＜20）。
∵，
∴当x=12即CP=8时，y取得最小值为45，BM的最小值为。
（3）设PQ与AB交于点E。
∵MN为中位线，∴。
∵MN＞BE，∴，解得。即。
∵，∴。
∴当点M落在矩形ABCD愉部时，a的取值范围为：。
【考点】单动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，矩形的性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的性质，解不等式。
7. 如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=60°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域。
【答案】（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。
又∵OB=2，∴。
（3）∵BD=x，∴。
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=600。
∴∠DOE=∠2+∠3=30°。
如图2，过D作DF⊥OE，垂足为点F。
∴DF=OD=，OF=OD=。
由△BOD∽△EDF，得，即
，解得EF=x。
∴OE=。
∴。
【考点】垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质。
8.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．
（1）当t= _________ s时，点P与点Q重合；
（2）当t= _________ s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）1 （2） （3）
【解析】
试题分析：（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，
∴t+t=2，解得t=1s，
故填空答案：1．
（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；
当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，进一步分析可知此时点E与点F重合；
当点P到达B点时，此时t=2．
因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：
①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．
此时AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；
易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，
∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．
S=S梯形PDGQ=（PQ+DG）•PD=[（2t﹣2）+（t﹣2）]•t=t2﹣2t；
综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：
S=．
考点：相似形综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
点评：本题是运动型综合题，涉及到动点与动线问题．第（1）（2）问均涉及动点问题，列方程即可求出t的值；第（3）问涉及动线问题，是本题难点所在，首先要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的面积S．本题难度较大，需要同学们具备良好的空间想象能力和较强的逻辑推理能力．
