人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题27 动态几何之单动点形成的面积问题（含解析）

专题27 动态几何之单动点形成的面积问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

   动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。

在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

1. 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.

问题思考：

如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.

（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.

（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.

问题拓展：

（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长。

 (4)如图（3），在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.

【答案】（1）当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32；

（2）存在两个面积始终相等的三角形，图形见解析；

（3）PQ的中点O所经过的路径的长为6π；

（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为．

【解析】

试题解析：（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值．

设AP=x，则PB=8-x，

根据题意得这两个正方形面积之和=x2+（8-x）2=2x2-16x+64=2（x-4）2+32，

所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32；

（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK与△DFK．

依题意画出图形，如图所示．

设AP=a，则PB=BF=8-a．

∵PE∥BF，

∴，

即，

∴PK=，

∴DK=PD-PK= a-=，

∴S△APK=PK•PA=••a=，S△DFK=DK•EF=••（8-a）=，

∴S△APK=S△DFK；

所以PQ的中点O所经过的路径的长为：×2π×4=6π；

（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为．

如图，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形．

如图，作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O．

由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小．

在Rt△BMM′中，由勾股定理得：BM′=．

∴OM+OB的最小值为．

考点：四边形综合题．

2. 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则当y=时，x的取值是【    】

A. 1      B.        C. 1或      D.

【答案】C。

【考点】动点问题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质，分类思想的应用。

故选C。

3. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=，动点P从点B出发，沿B-C-D的路线向点D运动。设△ABP的面积为y (B、P两点重合时，△ABP的面积可以看做0)，点P运动的路程为x，则y与x之间函数关系的图像大致为【    】

A.      B.        C.       D.

【答案】C。

【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，分类思想的应用。

【分析】当点P在BC上运动时，如图1，

∵△ABP的高 ，

∴△ABP的面积。

当点P在BC上运动时，如图2，

故选C。

4. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P、Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连接PQ，设运动时间为t（t >0）秒．

（1）求线段AC的长度；

（2）当点Q从点B向点A运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：

①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；

②当l经过点B时，求t的值．

【答案】（1）5  （2），     （3）3、t＝2.5，

【解析】

试题分析：（1）在矩形ABCD中，         

由△APE∽△OPQ，得． 

②（ⅰ）如图③，当点Q从B向A运动时l经过点B，

BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP  

∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°

∴∠PBC＝∠PCB   CP＝BP＝AP＝t      

∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5　∴t＝2.5．    

（ⅱ）如图④，当点Q从A向B运动时l经过点B，

考点：矩形、相似三角形

点评：本题考查矩形，相似三角形，要求考生掌握矩形的性质，相似三角形的判定方法，会判定两个三角形相似

5.如图，已知动点A在函数(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC。直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q。当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于   ▲   _。

【答案】。

【考点】反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F。

∴图中阴影部分的面积=。

6. 如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2。试探究：是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由。

【答案】存在。

∵四边形OAPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，

∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形。

∵E点的横坐标为a，E（a，2﹣a），

∴AM=EM=2﹣a。

∴AE2=2（2﹣a）2=2a2﹣8a+8。

∵F的纵坐标为b，F（2﹣b，b），

∴BN=FN=2﹣b。∴BF2=2（2﹣b）2=2b2﹣8b+8。

∵PF=PE=a+b﹣2，

∴EF2=2（a+b﹣2）2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8。

∵ab=2，

∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16。

∴EF2=AE2+BF2。

∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边。

∴此三角形的外接圆的面积为。

∵，

∴S2=S梯形OMPF﹣S△PEF﹣S△OME，=（PF+ON）•PM﹣PF•PE﹣OM•EM

= [PF（PM﹣PE）+OM（PM﹣EM）]= （PF•EM+OM•PE）=PE（EM+OM）

=（a+b﹣2）（2﹣a+a）=a+b﹣2。

∴。

设m=a+b﹣2，则，

∵，

∴当时，有最大值，最大值为。

【考点】单动点问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，二次函数的性质，偶次幂的非负性质，转换思想的应用。