人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题（含解析）

专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

   动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写动点形成的等腰三角形存在性问题模拟题。

在中考压轴题中，动点形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类。

1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），动点C在直线上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【    】

  A．1          B．2          C．3         D．4

【答案】A。

【考点】单动点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。

【解析】如图，AB的垂直平分线与直线相交于点C，则以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形。

∴AB=BC=CA。

点C的个数是1。

故选A。　

2. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：

①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．

②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）40；（2）①不存在；②或或.

【解析】

∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．

∵CD=10，∴HC=，∴BC=BH+CH=8，

∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．

=，

所以PQ不平分梯形ABCD的面积；

②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QH⊥AB，垂足为H．

解得：，（不合题意舍去），

∴，

∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10﹣2t．

∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t﹣10．

∴当5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

综上所述，或4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．

考点：1．直角梯形；2．等腰直角三角形；3．动点型．

3. 如图，在直角梯形ABCD中,AD∥CB, ,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.

（1）设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;

（2）当t为何值时,四边形ABQP是平行四边形.

（3）当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?

【答案】（1）S=96-6t（0≤t＜16）．（2）5;（3）t=或t=

【解析】

试题解析：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．

∴PM=DC=12，

∵QB=16-t，

∴s=QB•PM=（16-t）×12=96-6t（0≤t＜16）．

（2）当四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，

即21-2t=16-t，

解得：t=5，

∴当t=5时，四边形ABQP是平行四边形．

③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得t1=，t2=16（不合题意，舍去）．

综上所述，当t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．

考点：1.直角梯形；2.等腰三角形的判定；3.勾股定理；4.平行四边形的判定．

4. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度在线段OA上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒。

问：△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。

【答案】解：∵抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，

       ∴A(2，0),B(0，4),即OA=2,OB=4。

∴tan∠OAB=2。

若△AON为等腰三角形，有三种情况：  

（I）若ON=AN，如图1所示，

过点N作NQ⊥OA于点Q，

则Q为OA中点，OQ=OA=1，

∴t=。

∴t=。 

（III）若OA=AN，如图3所示，

过点N作NQ⊥OA于点Q，

设AQ=x，则AQ•tan∠OAB=2x，

在Rt△AND中，由勾股定理得：NQ2+AQ2=AN2，

即，解得x1=，x2=（舍去）。

∴x=，OD=2﹣x=2﹣。

∴t=1﹣。

综上所述，当t为秒、秒，1﹣秒时，△AON为等腰三角形。

【考点】双动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，分类思想的应用。