人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题30 动态 几何之面动形成的面积问题（含解析）

专题30 动态 几何之面动形成的面积问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

   动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写面动形成的面积问题模拟题。

在中考压轴题中，面动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

一.平移形成的面积问题

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).

（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．

（2）当点N落在AB边上时，求t的值．

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．

（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．

【答案】（1）t－2（2）t=4或t=（3）（4）t=或t=5或

6≤t≤8。

【解析】解：（1）t－2。

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况：

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

①当2＜t＜4时，如图（3）a所示。

DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。

∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。

∴FM=AM=t．

 ∴

。

②当＜t＜8时，如图（3）b所示。

PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，

∴FM=AM=6-t，PG=2PB=16-2t，

∴

 。

综上所述，S与t的关系式为：。

（4）在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t=或t=5或

6≤t≤8。

（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H、点P的运动过程：

依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示：

①当4＜t＜6时，此时点P在线段DE上运动，如图（4）a所示。

此阶段点P运动时间为2s，因此点H运动距离为2.5×2=5cm，而MN=2，

则此阶段中，点H将有两次机会落在线段CD上：

第一次：此时点H由M→H运动时间为（t－4）s，运动距离MH=2.5（t－4），

∴NH=2－MH=12－2.5t。

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（12－2.5t），解得t=。

第二次：此时点H由N→H运动时间为t－4－=（t－4.8）s，运动距离NH=2.5（t－4.8）=2.5t－12，

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（2.5t－12），解得t=5。

2. 两个全等的梯形纸片如图(1)摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图(2)．已知AD＝4，BC＝8，若阴影部分的面积等于四边形A′B′BA的面积，则图(2)中平移距离A′A＝       .

【答案】3。

【考点】平移的性质，一元一次方程的应用（几何问题）。

二.旋转形成的面积问题

3. 如图，在中，．将绕点按顺时针方向旋转n度后得到，此时点在边上，斜边交边于点，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为【    】

 A．　　　　   B．          C．　　     D．

【答案】D。

【考点】旋转的性质，含300角的直角三角形的的性质，三角形中位线性质，相似三角形的判定和性质。

故选D。

4. 如图所示，在直角坐标系中放置一个矩形ABCD，其中AB=2，AD=1，将矩形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为

       .

【答案】。

【考点】旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，扇形面积的计算。

二.轴对称（折叠）形成的面积问题

5. 如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=+1，AD=．

（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为　  　；

（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为　  　；

（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）

【答案】（1）。

（2）。

（3）∵∠C=90°，BC=，EC=1，∴。∴∠BEC=60°。

由翻折可知：∠DEA=45°，∴∠AEA′=75°=∠D′ED″。

∴

【解析】

          ∵由（1）知AD′=，∴BD′=1。

∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，∴B′D′=BD′=1。

∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=，∴四边形ADED′是正方形。

∴B′F=AB′=﹣1。

∴S梯形B′FED′=（B′F+D′E）•B′D′=（﹣1+）×1=。

（3）根据直角三角形的性质求出∠BEC的度数，由翻折变换的性质可得出∠DEA的度数，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧长公式即可得出结论。　

6. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则弓形OAB的面积为

　    　cm2．

【答案】。

【考点】折叠的性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。

【分析】过点O作OD⊥AB交AB于点D，