人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题31 动态几何之单动点形成的最值问题（含解析）
展开专题31 动态几何之单动点形成的最值问题
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题。
在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。
1. 如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．
【答案】（1）当t=秒时，PQ∥BO（2）①S=（0＜t＜），5②（，﹣3）
【解析】解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。
∴。
（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
②如图②所示，当S取最大值时，t=，
∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。
又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4。∴P（4，3）。
又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）。
依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）。
2. 已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E,D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设，当t 为何值时，s有最小值，并求出最小值。
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）y=-1/4 x2+3/2 x-2（2）1（3）当t=2 /3 或t=10/ 7 时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，证明见解析
【解析】解：（1）由抛物线y=ax2+bx-2得：C（0，-2），
∴OA=OC=2，
∴A（2，0），
∵△ABC的面积为2，
∴AB=2，
∴B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C（0，-2），
a=-1/4 ，
∴抛物线的解析式为y=-1/4 (x-2)(x-4)=-1/4 x2+3/2 x-2，
答：抛物线的解析式为y=-1/4 x2+3/2 x-2．
（2）解：由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，
∵ED∥BA
可得：ED /OB =CE /CO ，
即ED/4 =CE/2 ，
∴ED=2CE=2t，
②解：由题意可求：CD= 5 t，CB=2 5 ，
∴BD=2 5 - 5 t，
∵∠PBD=∠ABC，
∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：
（1）求出C的坐标，得到A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C的坐标求出a即可；
（2）①由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出EDOB =CE CO ，求出ED=2CE=2t，根据1 ED +1 OP =1 2t +1 4-2t =4 2t(4-2t) =1 -t2+2t ，求出即可；
②以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：BP AB =BD BC 和BP BD =BC BA 代入求出即可．
3. 如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（-3，4），C（-6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动，过点P作PD⊥y轴，交OB于D，连接DQ．当点P与点O重合时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t=1时，求线段DP的长；
（2）连接CD，设△CDQ的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值；
（3）运动过程中是否存在某一时刻，使△ODQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）S=，当时，S最大值=4；（3）和
【解析】
试题分析：（1）先由题意得到OA=4，AB=3，CO=6，再求出当t=1时，AP、OP的长，最后根据PD⊥y轴，AB⊥y轴，结合平行线分线段成比例即可列比例式求解；
当t=1时，AP=1，则OP=3，
∵PD⊥y轴，AB⊥y轴
∴PD∥AB
∴
∴
解得DP=；
（2）CQ=2t，AP=t，OP=4–t
作DE⊥CO于点E，则DE=OP=4–t
∴S==×2t×(4–t)=
当时，S最大值=4
（3）分两种情况讨论：
②当时，点Q在x轴正半轴上运动，
考点：本题考查的是二次函数的最值，平行线分线段成比例，相似三角形的判定
点评：解答本题的关键是熟练掌握求二次函数的最值的方法：公式法或配方法；同时熟练运用平行线分线段成比例，准确列出比例式解决问题.
4. 阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD.BE,则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ;
（2）参考小华的思考问题的方法,解决下列问题：
①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹,画出一条即可）;
②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
【答案】(1)PA+PB+PC的最小值为;
(2)①图形见解析;②当PA+PB+PC值最小时PB的长为．
【解析】
试题解析：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC,
∴△APC≌△EDC,
∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=5,∠PCD=60°,
∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB,
∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°,
∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°．
在Rt△BCE中,∵∠BCE=90°,BC=6,CE=5,
∴,
即PA+PB+PC的最小值为;
（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE.DE,则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段;
同理,DE=CE,
∴BP=PE=ED．
连接AC,交BD于点O,则AC⊥BD．
在Rt△BOC中,∵∠BOC=90°,∠OBC=30°,BC=4,
∴BO=BC•cos∠OBC=,
∴BD=2BO=,
∴BP=BD=．
即当PA+PB+PC值最小时PB的长为．
考点：几何变换综合题．
5. 如图9, 已知抛物线与轴交于A (－4，0) 和B(1，0)两点，与轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标;
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．
【答案】（1）（2）(,0) （3）（－2，－3）
故E点的坐标为(,0).
解法二：延长交轴于点，则．要使线段最长，则只须△的面积取大值时即可.
设点坐标为（，则有:
＝
＝
＝
＝
＝ ＝－
即时，△的面积取大值，此时线段最长，则点坐标为（－2，－3）
6. 己知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）点
A、点B的横坐标是一元二次方程x2-4x-12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
【答案】（1）A（-2，0），B（6，0）；(2) y=-x2+2x+6，抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；(3) P（2，4）；(4)2.
【解析】
试题分析：（1）解一元二次方程x2-4x-12=0可求A、B两点坐标；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标；
（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即为所求；
（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值．
试题解析：（1）A（-2，0），B（6，0）；
（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），
设直线AC′解析式为y=ax+b，则
，
解得，
∴y=x+2，当x=2时，y=4，
即P（2，4）；
考点：二次函数综合题．
