人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题32 动态几何之双（多）动点形成的最值问题（含解析）

专题32 动态几何之双（多）动点形成的最值问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

   动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。本专题原创编写双（多）形成的最值问题模拟题。

在中考压轴题中，双（多）形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。

1. 如图1，在□ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB＝，AD＝7，AH＝. 现有两个动点E、F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动. 在点E、F运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E、F两点同时停止运动. 设运转时间为t秒.

（1）求线段AC的长；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；

（3）当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度. 在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F′，G的对应点为G′. 设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M、N两点.试问：是否存在点M、N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出线段CM的长度；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）7；（2）；（3）存在，或.

【解析】

（3）存在.

如图2，当等边△EFG的顶点E到达点C时，AE=AC=7，AF=21，EF=14.

△EFG绕点C旋转过程中，以∠MCN为底角的等腰三角形△CMN有两种情况：

①当∠CMN为等腰△CMN的另一底角时，如答图1，

过点C作CI⊥MN于点I，过N作NJ⊥CM于点J.

在△CMI中，由勾股定理得，即，

二者联立，解得，∴.

②当∠CNM为等腰△CMN的另一底角时，如答图2，

过点C作CI⊥MN于点I，过N作NJ⊥CM于点J.

在等边△CG′I中，易得.

考点：1.双动点和面动旋转问题；2.勾股定理；3. 线段垂直平分线的性质；4.等边、腰三角形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6. 旋转的性质；7.相似三角形的判定和性质；8. 等腰三角形存在性问题；9.分类思想的应用.

二.应用轴对称的性质求最值问题

2. 如图，正方形AOCB在平面直角坐标系中，点O为原点，点B在反比例函数（＞）图象上， OB=（OC＞OA）．

（1）求点B的坐标；

（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒2个单位的速度运动，同时动点F 从B开始沿BC向C以每秒1个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．当运动时间为秒时，在x轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵点B在反比例函数（＞0）图象上，

∴可设点B坐标为（，），

∵OB=，∴。

∵OC＞OA，∴点B坐标为（4，1）。

（2）存在，

∵运动时间为t=，动点E的速度为每秒2个单位，点F 的速度为每秒1个单位，

∴AE=1， BF。

∴点E的坐标为（1，1），点F的坐标为（4，）。

如图，作F点关于轴的对称点F1，得F1（4，），经过点E、F1作直线，

由E（1，1），F1（4，）可得直线EF1的解析式是，

当时，，∴P点的坐标为（3，0）。

【考点】反比例函数综合题，双动点问题，矩形的性质，勾股定理，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的应用（最短线路问题）。

3. 如图，已知二次函数的图象经过点A、B和点C．连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．

（1）请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（2）设S0是②中函数S的最大值，求出S0的值．

【答案】解：（1）∵二次函数的图象经过点A、B和点C，

∴令y=0，得x=或x=6；令x=0，得y=8。

∴A（6，0），C（0，8）。

分三种情况讨论如下，

情况1：当0≤t≤1时，如图1，

S=OP•OQ=×3t×8t=12t2。

情况2：当1＜t≤2时，如图2，

作QE⊥OA，垂足为E，

S=OP•EQ=×3t×。

。

（2）根据（1）的函数即可得出S的最大值：

当0≤t≤1时，S=12t2，函数的最大值是12；

当1＜t≤2时，S，函数的最大值是；

当2＜t＜，S=QP•OF，函数的最大值不超过。

∴。

【考点】二次函数综合题，单双动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，分类思想、数形结合思想的应用。