人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题49 实践操作问题（含解析）
展开专题49 实践操作问题
近年来，各地的中考试卷中涌现出了一类考查学生实践操作能力的好题——实践操作题，这类试题能较好体现数学课程标准所强调的“倡导学生主动参与、勤于动手、乐于探究”的新理念，为考生创设了动手实验、操作探究的空间，有效地考查了实践、创新能力，为考生提供了展示个体思维及发散创新的平台，是中考命题改革的一道亮丽风景线。
在中考中，实践操作问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图（不包括统计图表的制作）、称重、测量、空间想像等，这类试题题目灵活、新颖。
解答操作性试题，关键是审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换、位似变换，注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力，要学会运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题。
在中考压轴题中，动态几何多形式变化问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM． ②连接BE并延长交AM于点F．
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）AF=BC 证明过程见解析
【解析】解：（1）如下图所示；
（1）根据题意画出图形即可；
（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠ACB=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E在AC上，且AE=CE。
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。
①作∠DAC的平分线AM。②连接BE并延长交AM于点F。
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。
【答案】解：（1）作图如下：
（2）AF∥BC且AF=BC，理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C。∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C。
由作图可知：∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC。∴AF∥BC。
∴△AEF∽△CEB。∴。
∵AE=CE，∴AF=BC。
【考点】作图（复杂作图）, 等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行的判定，相似三角形的判定和性质。
3. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、2、3，则原直角三角形纸片的斜边长是 。
【答案】或。
【考点】图形的剪拼，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理
【分析】考虑两种情况，分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长：
4.如图1，将由5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板沿虚线剪拼成一个大正方形，需剪4
刀。
思考发现：大正方形的面积等于5个小正方形的面积和，大正方形的边长等于_______。
实践操作：如图2，将网格中5个边长为1的小正方形组成的图形纸板剪拼成一个大正方形，要求剪
两刀，画出剪拼的痕迹。
智力开发：将网格中的5个边长为1的正方形组成的十字形纸板，要求只剪2刀也拼成一个大正方形。
在图中用虚线画出剪拼的痕迹。
【答案】（1）∵小正方形的边长为1，
∴小正方形的面积为1，
∴大正方形的面积为5×1=5，
∴大正方形的边长为；
（2）如图2所示：
（3）如图3所示：
5. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】A
【解析】首先延长DC与A′D′，交于点M，由四边形ABCD是菱形、折叠的性质，易求得△BCM是等腰三角形，△D′FM是含30°角的直角三角形，然后设CF=x，D′F=DF=y，利用正切函数的知识，即可求得答案．
解：延长DC与A′D′，交于点M，
∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，
∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD，
∴∠D=180°﹣∠A=120°，
∴x=y，
∴==．
故选A．
6.已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在A′处，给出以下判断：
①当四边形A，CDF为矩形时，EF=；
②当EF=时，四边形A′CDF为矩形；
③当EF=2时，四边形BA′CD为等腰梯形；
④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF=2。
其中正确的是 （把所有正确结论序号都填在横线上）。
【答案】①③④。
【考点】折叠问题，折叠对称的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰梯形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】根据相关知识逐一作出判断：
①∵AB=1，BC=，
∴如图1，当四边形A′CDF为矩形时，CD= A′F=1，A′F⊥BC。
根据折叠的性质A′E=AB=1。
∴根据勾股定理得EF=。判断①正确。
②当EF=时，由①知，只要E、F分别在边BC、AD上，且EF与BC成450角即可，此时的EF与①中的EF平行即可，这时，除①的情况外，其它都不构成矩形。判断②错误。
③当EF=2时，
由勾股定理知BD=2，∴此时，EF与BD重合。
由折叠对称和矩形的性质知，CD=AB= A′B，且CD与 A′B不平行。
④当四边形BA′CD为等腰梯形时，由A′B=CD，∠A′BD=∠CDB=∠ABD，知点A′是点A关于BD的对称点，即A′是点A沿BD折叠得到，所以，EF与BD重合，EF=BD=2。判断④正确。
综上所述，判断正确的是①③④。
7. 操作发现
将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：AD∥BF；
（2）若AD=2，求AB的长．
【答案】解；（1）证明：如答图，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BF于点H，则AG∥DH.
【考点】旋转问题，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质。
【分析】（1）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，证明四边形ACHD是平行四边形即可。
（2）AB=x，将BG，HF用x来表示，根据BF=BG+GH+HF列式求解即可.
8. 如图，小球P从（3，0）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第一次碰到点（3，0）时，小球P所经过的路程为 ．
【答案】。
【考点】跨学科问题，点的坐标，正方形和矩形的性质，勾股定理。
